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Física do ensino médio
Cálculo da velocidade vetorial usando energia
Aprenda a calcular a velocidade vetorial de lançamento de um objeto usando a energia total de um sistema. A energia que é conservada pode ser transferida de um objeto para outro dentro de um sistema, alterando as características de cada objeto, como a velocidade vetorial.
Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - Olá! Tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma
aula de Ciências da Natureza. Nesta aula, vamos resolver um
exemplo que tem como objetivo calcular a velocidade a partir
da energia cinética. Neste exemplo, temos uma mola aqui que tem uma constante elástica
de 4 newtons por metro. Sabendo disso, eu peguei um
objeto de massa igual a 10 g e coloquei aqui na extremidade dessa mola. E aí, a empurrei para baixo a fim
de comprimi-la em 10 cm. Depois de ter feito isso,
eu simplesmente soltei a mola. O que eu quero saber aqui é o módulo da velocidade deste
objeto de massa igual a 10 g assim que a mola não tiver
nem comprimida e nem esticada, ou seja, eu quero saber um módulo
da velocidade desta bola quando ela estiver sendo lançada. Pause este vídeo e veja se você
consegue descobrir isso. Eu vou te dar uma dica: a energia neste primeiro momento,
ou seja, a energia total, tem ser igual à energia total
no segundo momento. Não se esqueça que nós não podemos
nem criar e nem destruir energia. Ok, conseguiu pensar um pouco sobre isso? Vamos pensar nisso juntos agora. Inicialmente, vamos observar
o primeiro cenário, ou seja, o primeiro momento. No momento 1, qual será a energia total? Bem, vai ser a soma da energia
potencial gravitacional, ou seja, mg vezes a altura
no momento 1 (mg h₁), mais a energia potencial elástica, que é 1/2 vezes a constante elástica (x) vezes a deformação da mola
no momento 1 (Δx), ou seja, quando a mola estiver comprimida
no momento 1, ao quadrado, mais a energia cinética. Então, temos aqui:
1/2 vezes a massa da esfera (m), vezes o módulo da velocidade
no momento 1 (v) ao quadrado. Isto aqui tem que ser igual a o quê? Como acabamos de falar, tem que ser igual à energia
total no momento 2. E qual vai ser essa energia? Bem, teremos aqui a energia potencial
gravitacional no momento 2, mais a energia potencial elástica
no momento 2, mais a energia cinética no momento 2. Agora vamos pensar sobre quais
dessas variáveis conhecemos e quais precisamos resolver. Afinal, temos a massa,
que é igual a 10 g, e também temos aceleração da gravidade
perto da superfície da Terra, que é aproximadamente 9,8 m/s². A constante elástica da mola é 4 N/m. Eu sempre gosto de lembrar o que
a unidade de medida newton significa. 1 N = 1 kg m/s². Então, isto também é igual a 4 kg m/s². E também temos um metro aqui. Repare que estas unidades
de medida serão canceladas. Fazer isso é útil porque nos lembra que queremos que tudo esteja
em quilogramas e metros. Com isso em mente, eu vou reescrever
a massa aqui como 0,01 kg. Agora vamos pensar sobre
o que está acontecendo especificamente em cada um
destes momentos. Qual vai ser a altura?
A altura Inicial? Bem, eu não forneci isso. Mas o que realmente importa
é a diferença entre h₁ e h₂. Então, podemos definir h₁ aqui
como sendo igual a zero. Vou escrever isso aqui:
h₁ = 0. Ao fazer isso, qual vai ser o valor de h₂? h₂ vai ser igual a 10 cm. Mas lembre-se: queremos que tudo
esteja em quilogramas e metros. Então, 10 cm é a mesma coisa que 0,1 m. Agora, qual é a deformação
da mola no momento 1? Bem, isso será 10 cm. Mas, mais uma vez, queremos
escrever isso em termos de metros. Então, eu vou escrever
isso aqui como 0,1 m. E qual é a deformação da
mola no momento 2? Bem, a mola está em sua
posição de equilíbrio, então, ela não está nem comprimida
e nem alongada. Sendo assim, a deformação
da mola será igual a zero: 0 m. Agora, qual é a velocidade, ou pelo menos
o módulo da velocidade, no momento 1? Bem, o objeto está em repouso. Então, a velocidade é 0 m/s. E qual é o módulo da velocidade
no momento 2? Bem, é exatamente isso
que queremos resolver. Então, esta é a velocidade de lançamento. Sabendo disso, vamos ver se conseguimos
simplificar e resolver para v₂. Sabemos que h₁ = 0. Então, este termo aqui é zero. Sabemos que v₁ também é zero. Então, cancelamos este termo, também. Sabemos que Δx no momento 2
é igual a zero, isso cancela este termo aqui. Agora podemos reescrever tudo isso. Eu vou usar apenas uma cor aqui
para fazer as coisas mais rápidas, ok? Temos 1/2 vezes "k" vezes (Δx₁)², isso sendo igual a "m" vezes "g" vezes h₂, mais 1/2 vezes "m" vezes v₂². Agora vamos tentar resolver
isto aqui para v₂. Inicialmente, vamos subtrair mgh₂
de ambos os lados. Assim, teremos aqui
1/2 vezes "k" vezes (Δx₁)² menos mgh₂, isso sendo igual a 1/2 vezes mv₂². Agora, se multiplicarmos ambos
os lados por 2/m, isso vai eliminar este 1/2m aqui. Então, vou fazer isso. Eu estou fazendo duas etapas
ao mesmo tempo aqui. Uma maneira de pensar nisso é que eu estou multiplicando
o inverso do coeficiente aqui no v². Bem aqui é m/2, então, o inverso é 2/m. E eu preciso ter certeza de que vou
multiplicar todos os termos por isto. O que temos agora? Isto vai ser igual a, vamos ver; Vai ser "k" vezes Δx₁², sobre "m", menos 2 vezes gh₂, e isso sendo igual a v₂². Agora, para resolver para
a velocidade de lançamento, que é nosso objetivo principal, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Ao fazer isso, teremos aqui,
v₂, que é a velocidade de lançamento, sendo igual à raiz quadrada de: a constante elástica vezes Δx₁²,
sobre a massa do objeto, isso menos duas vezes o campo
gravitacional "g" vezes h₂. Agora precisamos apenas substituir
os valores que temos aqui. Ao fazer isso, temos que a velocidade
de lançamento v₂ vai ser igual a: a raiz quadrada da constante
elástica da mola, que é 4 kg/s², vezes o Δx₁, que sabemos que é 0,1 m². Ao elevar esse valor ao quadrado,
teremos aqui 0,01 m². Aí, tudo isto aqui sobre a massa,
que é 0,01 kg. Aí, isto menos duas vezes 9,8 m/s², vezes a altura no segundo momento,
que sabemos que é 0,1 m. Então, colocamos aqui: 0,1 m. Vamos dar uma olhada
nas unidades primeiro, apenas para ter certeza de que estamos
fazendo tudo certinho. Este quilograma vai se cancelar
com este quilograma aqui. Ao fazer isso, teremos algo em
termos de metro ao quadrado dividido por segundo ao quadrado. E aqui teremos algo em termos
de metro ao quadrado por segundo ao quadrado, também. Então, tudo isso faz sentido. Teremos uma diferença aqui entre valores com unidades em m²/s². Tirando a raiz quadrada disto aqui,
vamos obter metros por segundo, que é a unidade de medida
do módulo da velocidade. Agora só temos que pegar a nossa
calculadora e calcular isso. 0,01 será cancelado. Então, esta parte aqui vai ser apenas 4. Eu vou colocar o 4 aqui. Aí, isto menos
2 vezes 9,8, vezes 0,1, que vai ser igual a isto aqui. Aí, tiramos a raiz quadrada deste valor. Ao tirar a raiz quadrada,
chegamos a este valor aqui. Ou seja, que a velocidade é
aproximadamente igual a 1,43 m/s. Vou colocar isso aqui:
aproximadamente 1,43 m/s. E pronto, terminamos! Espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que conversamos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço e dizer que te encontro na próxima. Então, até lá!