Cálculo da velocidade vetorial usando energia

RKA2JV - Olá! Tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de Ciências da Natureza. Nesta aula, vamos resolver um exemplo que tem como objetivo calcular a velocidade a partir da energia cinética. Neste exemplo, temos uma mola aqui que tem uma constante elástica de 4 newtons por metro. Sabendo disso, eu peguei um objeto de massa igual a 10 g e coloquei aqui na extremidade dessa mola. E aí, a empurrei para baixo a fim de comprimi-la em 10 cm. Depois de ter feito isso, eu simplesmente soltei a mola. O que eu quero saber aqui é o módulo da velocidade deste objeto de massa igual a 10 g assim que a mola não tiver nem comprimida e nem esticada, ou seja, eu quero saber um módulo da velocidade desta bola quando ela estiver sendo lançada. Pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso. Eu vou te dar uma dica: a energia neste primeiro momento, ou seja, a energia total, tem ser igual à energia total no segundo momento. Não se esqueça que nós não podemos nem criar e nem destruir energia. Ok, conseguiu pensar um pouco sobre isso? Vamos pensar nisso juntos agora. Inicialmente, vamos observar o primeiro cenário, ou seja, o primeiro momento. No momento 1, qual será a energia total? Bem, vai ser a soma da energia potencial gravitacional, ou seja, mg vezes a altura no momento 1 (mg h₁), mais a energia potencial elástica, que é 1/2 vezes a constante elástica (x) vezes a deformação da mola no momento 1 (Δx), ou seja, quando a mola estiver comprimida no momento 1, ao quadrado, mais a energia cinética. Então, temos aqui: 1/2 vezes a massa da esfera (m), vezes o módulo da velocidade no momento 1 (v) ao quadrado. Isto aqui tem que ser igual a o quê? Como acabamos de falar, tem que ser igual à energia total no momento 2. E qual vai ser essa energia? Bem, teremos aqui a energia potencial gravitacional no momento 2, mais a energia potencial elástica no momento 2, mais a energia cinética no momento 2. Agora vamos pensar sobre quais dessas variáveis conhecemos e quais precisamos resolver. Afinal, temos a massa, que é igual a 10 g, e também temos aceleração da gravidade perto da superfície da Terra, que é aproximadamente 9,8 m/s². A constante elástica da mola é 4 N/m. Eu sempre gosto de lembrar o que a unidade de medida newton significa. 1 N = 1 kg m/s². Então, isto também é igual a 4 kg m/s². E também temos um metro aqui. Repare que estas unidades de medida serão canceladas. Fazer isso é útil porque nos lembra que queremos que tudo esteja em quilogramas e metros. Com isso em mente, eu vou reescrever a massa aqui como 0,01 kg. Agora vamos pensar sobre o que está acontecendo especificamente em cada um destes momentos. Qual vai ser a altura? A altura Inicial? Bem, eu não forneci isso. Mas o que realmente importa é a diferença entre h₁ e h₂. Então, podemos definir h₁ aqui como sendo igual a zero. Vou escrever isso aqui: h₁ = 0. Ao fazer isso, qual vai ser o valor de h₂? h₂ vai ser igual a 10 cm. Mas lembre-se: queremos que tudo esteja em quilogramas e metros. Então, 10 cm é a mesma coisa que 0,1 m. Agora, qual é a deformação da mola no momento 1? Bem, isso será 10 cm. Mas, mais uma vez, queremos escrever isso em termos de metros. Então, eu vou escrever isso aqui como 0,1 m. E qual é a deformação da mola no momento 2? Bem, a mola está em sua posição de equilíbrio, então, ela não está nem comprimida e nem alongada. Sendo assim, a deformação da mola será igual a zero: 0 m. Agora, qual é a velocidade, ou pelo menos o módulo da velocidade, no momento 1? Bem, o objeto está em repouso. Então, a velocidade é 0 m/s. E qual é o módulo da velocidade no momento 2? Bem, é exatamente isso que queremos resolver. Então, esta é a velocidade de lançamento. Sabendo disso, vamos ver se conseguimos simplificar e resolver para v₂. Sabemos que h₁ = 0. Então, este termo aqui é zero. Sabemos que v₁ também é zero. Então, cancelamos este termo, também. Sabemos que Δx no momento 2 é igual a zero, isso cancela este termo aqui. Agora podemos reescrever tudo isso. Eu vou usar apenas uma cor aqui para fazer as coisas mais rápidas, ok? Temos 1/2 vezes "k" vezes (Δx₁)², isso sendo igual a "m" vezes "g" vezes h₂, mais 1/2 vezes "m" vezes v₂². Agora vamos tentar resolver isto aqui para v₂. Inicialmente, vamos subtrair mgh₂ de ambos os lados. Assim, teremos aqui 1/2 vezes "k" vezes (Δx₁)² menos mgh₂, isso sendo igual a 1/2 vezes mv₂². Agora, se multiplicarmos ambos os lados por 2/m, isso vai eliminar este 1/2m aqui. Então, vou fazer isso. Eu estou fazendo duas etapas ao mesmo tempo aqui. Uma maneira de pensar nisso é que eu estou multiplicando o inverso do coeficiente aqui no v². Bem aqui é m/2, então, o inverso é 2/m. E eu preciso ter certeza de que vou multiplicar todos os termos por isto. O que temos agora? Isto vai ser igual a, vamos ver; Vai ser "k" vezes Δx₁², sobre "m", menos 2 vezes gh₂, e isso sendo igual a v₂². Agora, para resolver para a velocidade de lançamento, que é nosso objetivo principal, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Ao fazer isso, teremos aqui, v₂, que é a velocidade de lançamento, sendo igual à raiz quadrada de: a constante elástica vezes Δx₁², sobre a massa do objeto, isso menos duas vezes o campo gravitacional "g" vezes h₂. Agora precisamos apenas substituir os valores que temos aqui. Ao fazer isso, temos que a velocidade de lançamento v₂ vai ser igual a: a raiz quadrada da constante elástica da mola, que é 4 kg/s², vezes o Δx₁, que sabemos que é 0,1 m². Ao elevar esse valor ao quadrado, teremos aqui 0,01 m². Aí, tudo isto aqui sobre a massa, que é 0,01 kg. Aí, isto menos duas vezes 9,8 m/s², vezes a altura no segundo momento, que sabemos que é 0,1 m. Então, colocamos aqui: 0,1 m. Vamos dar uma olhada nas unidades primeiro, apenas para ter certeza de que estamos fazendo tudo certinho. Este quilograma vai se cancelar com este quilograma aqui. Ao fazer isso, teremos algo em termos de metro ao quadrado dividido por segundo ao quadrado. E aqui teremos algo em termos de metro ao quadrado por segundo ao quadrado, também. Então, tudo isso faz sentido. Teremos uma diferença aqui entre valores com unidades em m²/s². Tirando a raiz quadrada disto aqui, vamos obter metros por segundo, que é a unidade de medida do módulo da velocidade. Agora só temos que pegar a nossa calculadora e calcular isso. 0,01 será cancelado. Então, esta parte aqui vai ser apenas 4. Eu vou colocar o 4 aqui. Aí, isto menos 2 vezes 9,8, vezes 0,1, que vai ser igual a isto aqui. Aí, tiramos a raiz quadrada deste valor. Ao tirar a raiz quadrada, chegamos a este valor aqui. Ou seja, que a velocidade é aproximadamente igual a 1,43 m/s. Vou colocar isso aqui: aproximadamente 1,43 m/s. E pronto, terminamos! Espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e dizer que te encontro na próxima. Então, até lá!