O que aceleração centrípeta?

Pode um objeto acelerar se está se movendo com velocidade escalar constante? Sim! Muitas pessoas acham isso um contra-senso no início porque se esquecem que mudança na direção do movimento de um objeto—mesmo se o objeto é mantido numa velocidade escalar constante—ainda conta como aceleração.

Aceleração é uma mudança de velocidade vetorial, quer na sua magnitude—isto é, velocidade escalar—ou na sua direção, ou em ambas. Em movimento circular uniforme, a direção da velocidade vetorial muda constantemente, então sempre haverá uma aceleração associada, mesmo que a velocidade escalar possa ser constante. Você mesmo experimenta essa aceleração quando você vira uma esquina em seu carro—se você segura o volante firme durante uma curva e vira numa velocidade escalar constante, você estará em movimento circular uniforme. O que você nota é uma aceleração lateral, porque você e o carro estão mudando de direção. Quanto mais acentuada a curva e quanto maior a velocidade escalar, mais notável será essa aceleração. Nesta seção, examinaremos a direção e magnitude dessa aceleração.

A figura abaixo mostra um objeto se movendo em uma trajetória circular a uma velocidade escalar constante. A direção da velocidade vetorial instantânea é mostrada em dois pontos ao longo do caminho. A aceleração é no sentido da mudança de velocidade vetorial, que aponta diretamente para o centro de rotação—o centro da trajetória circular. Esta direção é mostrada com o diagrama vetorial na figura. Chamamos a aceleração de um objeto movendo-se em movimento circular uniforme—resultado de uma força resultante externa — de aceleração centrípeta $a_c$‍; centrípeta significa "em direção ao centro" ou "buscando o centro".

O sentido da aceleração centrípeta é em direção ao centro do círculo, mas qual é a sua magnitude? Observe que o triângulo formado pelos vetores da velocidade e o triângulo formado pelos raios $r$‍ e $\mathrm{\Delta }s$‍ são semelhantes. Ambos os triângulos $ABC$‍ e $PQR$‍ são triângulos isósceles, com dois lados iguais. Os dois lados iguais do triângulo da velocidade vetorial são as velocidades escalares $v_1=v_2=v$‍. Usando as propriedades de dois triângulos semelhantes, obtemos ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{r}}$‍.

Aceleração é ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$‍, então resolvemos primeiro a expressão acima para $\mathrm{\Delta }v$‍:

Se dividirmos ambos os lados por $\mathrm{\Delta }t$‍, temos o seguinte:

Finalmente, observando que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}=a_c$‍ (aceleração centrípeta) e que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}=v$‍ (velocidade escalar linear ou tangencial), vemos que a magnitude da aceleração centrípeta é $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$‍.

Essa é a aceleração de um objeto em um círculo de raio $r$‍ a uma velocidade escalar $v$‍. Então, a aceleração centrípeta é maior em altas velocidades escalares e em curvas acentuadas—raios menores—como você nota quando dirige um carro. É um pouco surpreendente, entretanto, que $a_c$‍ seja proporcional à velocidade escalar ao quadrado, implicando, por exemplo, que é quatro vezes mais difícil fazer uma curva a 100 km/h do que a 50 km/h. Uma curva acentuada tem um raio pequeno, então $a_c$‍ é maior para curvas mais fechadas, como você deve ter notado.

Uma centrífuga é um dispositivo rotativo usado para separar amostras de diferentes densidades. Alta aceleração centrípeta diminui significativamente o tempo que leva para a separação ocorrer e possibilita a separação com amostras pequenas. Centrífugas são usadas em uma variedade de aplicações na ciência e na medicina, incluindo a separação das suspensões unicelulares tais como bactérias, vírus e células sanguíneas de um meio líquido e a separação de macromoléculas—tais como o DNA e proteína—de uma solução.

Centrífugas são muitas vezes avaliadas em termos de sua aceleração centrípeta em relação à aceleração da gravidade, $g$‍; a máxima aceleração centrípeta, centenas de milhares de vezes maior que $g$‍. é possível no vácuo. Centrífugas humanas, centrífugas extremamente grandes, têm sido utilizadas para testar a tolerância dos astronautas aos efeitos das acelerações maiores do que a gravidade da Terra.

Qual é a magnitude da aceleração centrípeta de um carro seguindo uma curva, veja a figura abaixo, de raio 500 m a uma velocidade escalar de 25 m/s—cerca de 90 km/h? Compare a aceleração com a da gravidade para esta curva consideravelmente suave em alta velocidade.

Calcule a aceleração centrípeta de um ponto a 7,5 cm do eixo de uma ultracentrífuga girando a $7,5\times {10}^4$‍ rotações por minuto.