Demonstração de cálculo da fórmula da aceleração centrípeta

RKA2G - O que quero fazer neste vídeo é um cálculo da famosa fórmula da aceleração centrípeta, que nos diz que o módulo da aceleração centrípeta, a direção real mudará, estará sempre apontando para dentro. O módulo é igual ao módulo da velocidade ao quadrado, dividido pelo raio. Quero deixar claro que esta é uma fórmula escalar, ou seja, aborda o módulo da aceleração e o módulo da velocidade. Se fossem vetores, teríamos setas sobre eles. Estamos trabalhando com grandezas escalares. Vamos imaginar um objeto em órbita ao redor de um planeta, por exemplo. Suponhamos que tal objeto esteja ao redor dele no sentido anti-horário. Então, vamos especificar o vetor posição em função do tempo, que mudará em função do tempo. Para os fins desta demonstração, vamos considerar o seguinte: um eixo y, um eixo x. O ângulo entre o eixo x positivo e o vetor será o Teta (θ). Vamos considerar que o objeto estará em órbita com um raio "r". Portanto, o módulo do vetor posição não mudará, mesmo que a direção mude. Isso acontecerá em um circulo de raio "r". O módulo do vetor posição, que está mudando em função do tempo, será "r". Como podemos expressar o vetor posição em relação às suas componentes em um tempo determinado? Podemos escrever o vetor posição... Vou escrevê-lo em notação de versores. Se, neste momento, algo aqui lhe parecer estranho, você pode rever alguns vídeos antigos sobre trigonometria. Bem, o módulo é "r". E θ, o ângulo. Este vetor em azul será o módulo da componente x. Será, então, "r" cosseno θ. Isto faz parte da trigonometria básica. Já vimos como dividir vetores em suas componentes. E a componente y deste vetor será "r" seno θ. Portanto, o vetor posição em um tempo qualquer pode ser expresso como um módulo de suas componentes x e y. O módulo da componente x será "r" cosseno θ. Podemos dizer que θ está em função do tempo, ou seja, o objeto está se movendo. Então, será multiplicado pelo vetor da unidade "i". Novamente, notação de versores. Isso quer dizer que a componente x está em direção positiva x. E somamos ao módulo da componente y, ou seja, "r" seno θ, que está em função do tempo. Esclarecendo: função do tempo aplica-se ao ângulo θ e está indo na direção "j". Portanto, agora temos a posição em função de θ, que na verdade está em função do tempo. Qual é a derivada do vetor posição em relação ao tempo? Esse será o vetor velocidade em função do tempo. Temos que obter a derivada de cada uma das partes em relação ao tempo e aplicar a regra da cadeia. Então, temos: "r" (trata-se de uma constante), a derivada do cosseno θ "t", em relação ao θt. Enfim, só estou aplicando a regra da cadeia. E, pela regra da cadeia, também podemos multiplicar pela derivada de θ em relação ao tempo. Então, temos uma mudança na direção x. E, na direção y, faremos algo muito parecido. Na direção y, utilizaremos a mesma derivada. Temos "r", a derivada de seno em relação ao θ, que aqui será o seno θ em relação ao tempo, E então, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pelo valor que está mudando em relação a "t". Assim, multiplicamos tudo por "j". Bom, a gente pode perceber algo aqui. dθ/dt é a velocidade angular. É a taxa em que o ângulo muda em relação ao tempo, é a velocidade angular. E, para os fins deste vídeo, esta é uma suposição que teremos de aplicar nesta fórmula. Consideramos que ômega (ω) que é a taxa de mudança do ângulo em relação ao tempo, é constante. Portanto, essa é uma suposição que estamos considerando nesta prova. Vamos supor que ω, então, seja constante. E, se ω é constante, o tratamos literalmente como constante e podemos fatorar esta expressão. Então, vamos pôr em evidência o ωr desta expressão. Podemos reescrever a sua velocidade em função do tempo. Neste primeiro termo, o sinal de menos foi fatorado, o "r" foi fatorado. O ω foi posto em evidência e ficamos com seno θt. Não é obrigatório explicitar que θ esteja em função do tempo. Então, multiplicamos seno θt por "i". E, como fatoramos o sinal negativo, o -ωr, agora temos um sinal negativo. Com isso, fatoramos o -ωr. Agora vamos obter a derivada disso em relação ao tempo. Se pegarmos a derivada da velocidade em relação ao tempo, sabendo que aceleração está em função do tempo, e isso porque o módulo é constante, mas a direção real está mudando, será igual a -ωr. Então, qual é a derivada de seno θt? A derivada de seno em relação a θ, aplicando a regra da cadeia, será o cosseno θt. E ainda com a regra da cadeia, multiplicaremos pela derivada de θ em relação ao tempo. Poderíamos escrever dθ/dt, mas volto a dizer: aqui será ω. Então, multiplicamos por ω. E, claro, na direção "i". Em seguida, obteremos o cosseno θt em relação a θ. Assim, temos o seno θ. Mas, como temos um sinal negativo antes de cosseno θ, o seno θ será positivo. Então, aplicamos novamente a regra da cadeia, ou seja, multiplicamos por ω. E temos tudo isso multiplicado por "j". Agora vamos fatorar este outro ω e temos algo interessante aqui: obtemos a aceleração. Fatorando o outro ω, o vetor aceleração em função do tempo é igual a -ω²r, que multiplica cosseno θt mais seno θt vezes "j". Mas a que se refere tudo isso? Especificamente, se distribuirmos o "r", teremos exatamente a fórmula que montamos no início. É o vetor posição em função do tempo. Conseguimos um resultado interessante. Obtivemos que o vetor aceleração em função do tempo é igual à velocidade angular constante negativa ao quadrada. Na verdade, é o módulo da velocidade angular, que neste exemplo estamos considerando ser uma constante, multiplicada pelo vetor posição. A aceleração em função do tempo é -ω² vezes a posição em função do tempo. E, só para ficar claro, a velocidade angular é tratada como um pseudo-vetor. Tende a tratada como escalar, principalmente quando estamos trabalhando em duas dimensões, como neste caso. Vamos supor que esta seja uma grandeza escalar constante. O que queremos fazer agora é relacionar a versão escalar disto, obter o módulo dos dois lados. Então, temos que o módulo do vetor aceleração, que chamarei de a꜀, é igual a... Podemos dizer que é igual ao módulo de ω negativo ao quadrado, mas, quando se obtém um módulo, é como se obtivéssemos o valor absoluto. De fato, o valor absoluto é a versão de uma dimensão do módulo, que será ω positivo ao quadrado. Não importa a direção, mas o tamanho real. Mas o módulo de ω² é simplesmente ω². Podemos nos livrar do sinal negativo, então, temos: módulo da aceleração é igual a -ω² vezes a posição, que é igual ao módulo de ω² vezes o módulo da posição. E o módulo do vetor posição, que vimos no início deste vídeo, é "r", o raio. Assim, teremos o raio do círculo no qual o objeto está girando. Aceleração centrípeta é igual a ω² vezes "r". Também sabemos que a velocidade angular (ou, para ser mais específico, o módulo da velocidade angular) é igual ao módulo da velocidade. Outra forma de pensar sobre isso é a velocidade do objeto dividida pelo raio do círculo no qual o objeto está girando. Dessa forma, podemos substituir ω²r por (v/r)²r. E este será o módulo da aceleração, que é a aceleração centrípeta. A aceleração direcionada para o centro. Assim, temos aceleração centrípeta igual a (v²/r²)r. Conseguimos cancelar "r" com r² e ficamos com v²/r. Pronto. O módulo da aceleração centrípeta é igual o módulo da velocidade ao quadrado, dividido pelo raio. É isso.