Bola de boliche em loop vertical

RKA2G - Imagine que você vai fazer um jogo de boliche bastante emocionante e, para isso, você coloca um looping no meio do caminho da bola, de maneira que você tem que jogá-la com velocidade suficiente para contornar o looping completamente, sem se desprender, e continuar na trilha em seguida. Quando a bola estiver no topo do looping, ela vai estar sujeita à ação de algumas forças que não deixarão que ela se desprenda dali, ou seja, que ela caia. É justamente sobre isso que nós vamos falar agora: como serão essas forças e a velocidade da bola. Vamos supor que a gente tem estes dados: que a velocidade que a bola passa no topo da trajetória é de 8 m/s, que a massa da bola é de 4 kg e vamos admitir também que o raio desta circunferência, deste círculo, seja de 2 metros. É um looping bem grande. Com estas informações, a gente pode procurar saber qual vai ser a força normal exercida pela estrutura sobre a bola. isso vai nos permitir saber o quão forte deve ser a estrutura para suportar a bola nessas condições. Este é um problema clássico envolvendo força centrípeta. E o que nós vamos fazer, em primeiro lugar, é utilizar a nossa estratégia, que é fazer um diagrama de forças. Olhando para a bola, naturalmente, a gente tem... Vamos marcar aqui em uma cor diferente... Vamos marcar que temos a força da gravidade, apontando para baixo. Fg, que é igual à massa vezes a gravidade. Também temos que ter a força normal, que é a força de contato entre a estrutura e a bola. Mas aí temos que ter um pouco de cuidado. Muitos alunos pensam que a força normal sempre aponta para cima, mas cuidado: a força normal, aqui, não vai apontar para cima. ela vai apontar para cima, por exemplo, se o objeto estivesse sobre o chão. A força normal é uma força de contato. Ela sempre empurra, nunca puxe o objeto. De fato, o que a gente tem acontecendo aqui é que a estrutura vai estar empurrando a bola para baixo, impedindo que a bola, que está em um movimento circular, voe para fora da sua trajetória. A força normal, então, está na verdade apontando para o centro do círculo. Eu vou marcá-la de uma outra cor, vou fazer de rosa. Então, eu tenho aqui a força normal. Observe que a superfície de contato está acima da bola, então, ela empurra a bola de cima para baixo. Se o objeto está sobre a superfície, esta vai empurrá-lo para cima. Se o objeto está à direita da superfície, a força normal empurra o objeto para a direita e a mesma coisa ao contrário. O que acontece aqui é que a bola vai estar empurrando a estrutura para cima e a força normal da estrutura sobre a bola a empurra para baixo. Feito este diagrama de forças, o próximo passo é usar a segunda lei de Newton. Lembrando que nós vamos usar a segunda lei de Newton em uma direção de cada vez. Neste momento, vamos estar preocupados em calcular a força normal que aponta para o centro da circunferência. Então, vamos anotar a direção da força normal para começar a resolver este problema. Observe que a gente marcou a força normal em rosa e que ela está apontando para o centro da circunferência. Logo, ela é uma força na direção centrípeta. Eu vou marcá-la de verde, um pouquinho maior. Esta é a força normal, apontando para o centro do círculo, ou seja, na direção centrípeta. Essa é a direção que nós vamos adotar na segunda lei de Newton. A segunda lei de Newton diz que a aceleração, na direção centrípeta, é a somatória das forças na direção centrípeta, dividida pela massa. Então, se eu colocar isto aqui... Vou fazer aqui, a aceleração centrípeta é igual ao somatório das forças na direção centrípeta dividido pela massa. E a aceleração centrípeta é equivalente a v²/R. Então, eu posso trocar este a꜀ por v²/R. Vou fazer em uma outra cor. Vou fazer v² e vou fazer o raio de uma outra cor: dividido por R. E a gente tem a mesma coisa do outro lado: o somatório das forças na direção centrípeta dividido pela massa. Eu vou colocar um sinal de positivo do lado da aceleração centrípeta porque a gente vai combinar que, quando temos coisas apontando para o centro do círculo, temos um sinal positivo. Portanto, o que vai apontar para o lado contrário, no sentido oposto, recebe o sinal negativo. O mesmo referencial deve ser usado para as forças que a gente vai colocar nesta fórmula. As forças apontam para o sentido do centro do círculo, certo? Então, todas elas vão receber um sinal positivo. É aqui que a maioria dos problemas exigem que você seja bastante cuidadoso. Começando pela força da gravidade, vamos ver se realmente ela aponta para o centro do círculo. Bom, temos aqui a bola, a força da gravidade, e ela vai estar apontando, com certeza, para o centro do círculo. Logo, ela vai ter um sinal positivo. Então, se a gente pegar um pouquinho mais de espaço aqui, eu vou fazer... v² dividido por R isso com sinal positivo. E agora, aqui do outro lado, a gente tem a força da gravidade, que é dada por mg. Então, temos: mais "m" vezes "g", E, de maneira similar, a força normal também vai receber um sinal positivo, porque ela está na direção do raio apontando para o centro do círculo. Então, se eu colocar aqui a força normal, eu tenho ainda... Vou fazer em outra cor... Tenho mais Fn. Isso tudo vai ser dividido pela massa. Agora eu vou isolar Fn multiplicando os dois lados pela massa e, em seguida, passar o mg para o outro lado, que vai ficar -mg. Fazendo isso, a gente tem... Vou pegar mais um pouquinho de espaço aqui e vou continuar nas coisas que eu estava usando. Então, eu tenho Fn, que vai ser igual a... A gente tem "m", que multiplica v² sobre R. e eu tenho, ainda, -mg. Colocando os números, nós vamos ter que: Fn vai ser igual a... Vamos fazer os números de branco. Eu tenho 4 kg, vezes 8 m/s ao quadrado, dividido por 2 metros isto, ainda, menos 4 kg, que é a massa, vezes 9,8 m/s², que é a gravidade. Se você fizer esta continha em uma calculadora, você vai ter que a força normal vai ser igual a 88,8 newtons. Este é o valor da força normal. Esta é a intensidade da força exercida pela estrutura do looping sobre a bola para baixo. Isso faz sentido pela terceira lei de Newton, porque a bola, ao passar por ali, vai exercer uma força para cima sobre a estrutura e a estrutura vai estar exercendo sobre a bola uma força de mesma intensidade para baixo. Agora, uma pergunta bastante interessante. Vamos dizer que a bola continuou a trajetória dela e veio parar aqui. Finjam que isto é a bola. Quando a bola chega neste ponto, ela vai estar sujeita a uma força normal maior, menor ou igual a 88,8 N? Para descobrir isso, vamos começar de novo com outro diagrama de forças. Vou pegar de novo uma cor verde, vou começar com a força da gravidade, que vai estar apontando para baixo. Tenho a força da gravidade, que é igual a mg. E agora vou ter uma força normal para este lado. Tenho uma força normal que eu fiz em rosa. E por que eu desenhei a força normal para o lado direito? É porque agora a superfície está à esquerda da bola, portanto, ela vai empurrar a bola para o lado direito. Então, agora, a força normal é horizontal, apontando para a direita. Vamos também supor que a estrutura está toda muito bem lubrificada, de modo que não tem atrito entre a bola e as suas paredes, ou seja, a gente não tem a força de atrito agindo sobre a bola. Eu vou mostrar que agora a força normal vai ser bem maior que 88,8 N. Feito o diagrama, agora a gente tem que aplicar a segunda lei de Newton. Vou colocar as forças que eu estou querendo estudar. Vou fazer isso aqui do lado. Aproveitando a tela, eu vou fazer no cantinho. Eu tenho, então... Vou fazer nas mesmas cores. v²/R, que é a aceleração centrípeta. Isto vai ser positivo, vai continuar igual. E, aqui deste lado, eu vou ter somente a força normal. Por que eu só vou ter a força normal? Porque a força da gravidade vai estar apontando para baixo, não vai estar em direção ao centro. Então, eu só vou colocar aqui a força normal. E isto vai ser dividido pela massa. Se eu multiplicar os dois lados por "m", para poder isolar a força normal, tenho que: Fn vai ser igual a... Vou fazer colorido. Eu tenho: mv²/R. Como eu não tenho -mg, a força normal é maior do que eu tinha anteriormente, bem diferente do caso que a gente tem aqui. Outro detalhe é que a velocidade da bola, neste ponto em particular, vai ser bem maior do que 8 m/s, porque, como ela estava descendo, a gravidade agiu, aumentando o módulo da velocidade. Logo, a força normal vai ser bem maior do que 88,8 N. Neste vídeo, a gente viu estratégias para calcular a força normal. Então, lembre-se de, primeiro, fazer um diagrama de forças, verificar muito bem a direção dessas forças e depois aplicar a segunda lei de Newton, de acordo com a direção das forças. Primeiro aplique a segunda lei de Newton em uma direção, se essa direção não der certo, você faz para outra direção.