Prova: Campo de uma placa infinita (parte 1)

RKA2G - Neste vídeo, vamos estudar o campo elétrico criado por um plano infinito uniformemente carregado. E por que vamos fazer isso? Uma porque aprendemos que o campo elétrico é uniforme e é muito utilizado na composição de capacitores de placas paralelas. O livro de física diz que esse campo elétrico é uniforme e nós vamos provar isso. E a base para provar isso é descobrir o que é a carga em um plano infinito carregado. Vamos representar lateralmente um plano infinito carregado. Digamos que temos uma visão lateral do plano infinito. Digamos que este plano tem uma densidade de carga sigma (σ), lembrando que essa densidade de carga é em coulombs por unidade de área, ou seja, σ = carga por área. Antes de nos aprofundarmos na matemática, se você está vendo este vídeo pela playlist de cálculo, pode ser interessante revisar a playlist de física que leva até ele e vai ficar mais fácil para você. Por outro lado, se você está assistindo este vídeo a partir da playlist de física e não assistiu aos de cálculo ainda, você não deveria assistir a este agora, porque ele vai exigir de você alguns conhecimentos que estão na playlist de cálculo. Então, vamos lá. Temos aqui o plano infinito carregado, lembrando que esta é uma vista lateral, e vamos supor aqui uma carga pontual "q". Vamos destacar aqui uma pequena área do plano e pensar sobre o efeito resultante que esta área causará na carga pontual "q". Primeiro vamos considerar que esta carga "q" está a uma altura "h" a partir do campo. Este é o ponto que fica exatamente abaixo da carga e vamos considerar que esta distância é "r". A partir disso, qual é esta distância que eu vou indicar aqui em cor-de-rosa? Para isso podemos utilizar o teorema de Pitágoras e calcular a hipotenusa deste triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa vai ser a raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos, portanto, a raiz quadrada de (r² + h²). Esta é a distância entre a área destacada e a carga de teste. Vamos agir agora um pouco intuitivamente. Se esta carga é positiva e o plano carregado também é carregado positivamente, então, a força eletrostática desta área sobre a carga vai apontar para fora da área, com esta direcção e este sentido. Ou seja, aponta radialmente para fora da área sobre a carga "q". Se eu pegar outra área à mesma distância deste ponto, a força elétrica resultante sobre a carga "q" a partir dessa área vai ser exatamente esta. E o que podemos observar, já que a densidade de carga em todo o plano infinito é constante e é simétrica em todas as direções e sentidos, as componentes horizontais ou, melhor dizendo, as componentes paralelas ao plano, vão se cancelar. Observe na vista superior do plano infinito. Tenho aqui o plano infinito (lembre-se de que ele é infinito em todas as direções). Este ponto seria a carga "q". Na vista superior não identificamos, mas ela está a uma altura "h" do plano infinito. Este ponto em cor-de-rosa representa aquela pequena área do plano que destacamos antes. Este outro ponto é outra região que eu havia indicado, ambas à mesma distância da projeção ortogonal da carga sobre o plano. E as componentes paralelas ao plano das forças eletrostáticas sobre a carga "q", provenientes das áreas indicadas, vão se cancelar. Da mesma forma, se eu tomar outra pequena região do plano infinito e o ponto simétrico em relação à projeção da carga "q" sobre o plano, as componentes paralelas ao plano vão, também, se cancelar. Com isso, a conclusão que temos é que a força eletrostática resultante sobre a carga "q" aponta para cima, perpendicularmente à direção do plano infinito. A ideia aqui era, inicialmente, você perceber que todas as componentes paralelas ao plano sobre a carga "q" se cancelam. Isso porque há infinitos pontos em todas as direções no entorno da projeção da carga "q" sobre o plano, todos simetricamente distribuídos. E, por isso, as componentes paralelas ao plano se cancelam. Tendo isso, nós vamos ter que colocar foco sobre as componentes perpendiculares à direção do plano, "verticais", nesta situação. Vamos analisar novamente este ponto e vamos dizer que, sobre a carga "q", existe um campo elétrico E₁ nesta direção. Vamos agora olhar para a componente vertical, vamos chamar de componente "y", deste campo elétrico E₁. E qual seria essa componente? Se eu souber qual é este ângulo θ, eu posso verificar que a componente "y" do campo elétrico E₁ vai ser justamente o E₁ vezes o cosseno de θ. Lembre-se de que o cosseno de um ângulo é o cateto adjacente a ele dividido pela hipotenusa. Portanto, a hipotenusa vezes o cosseno do ângulo é igual ao cateto adjacente a esse ângulo. Então, se eu quero a componente "y", a componente vertical do campo E₁ naquele ponto da carga "q", basta multiplicá-lo pelo cosseno desse ângulo θ. E como eu descubro que ângulo θ é este? Observe que aqui temos ângulos opostos pelo vértice, então, este ângulo também é θ. E, da trigonometria básica, nós sabemos que o cosseno de θ é o cateto adjacente a ele, dividido pela hipotenusa. Observe que o cateto adjacente a θ, aqui, é o "h" e a hipotenusa é este segmento rosa, que é a raiz quadrada de (h² + r²). Então, o que nós conseguimos aqui é o fato de que a componente "y" do campo elétrico devido a esta pequena região do plano infinito (vamos chamar aqui de Ey₁) é igual à magnitude do campo elétrico E₁, vezes o cosseno do ângulo θ. E isso fica igual ao campo elétrico E₁, vezes... O cosseno de θ é o cateto adjacente sobre a hipotenusa. Neste triângulo, em que conhecemos "h" e "r", "h" é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, que é a raiz quadrada de (h² + r²). Ou seja, se eu souber a magnitude do campo elétrico E₁, basta colocar aqui e eu sei obter a componente vertical desse campo elétrico naquele ponto. E com isso, nós conseguimos a componente vertical não só do campo elétrico relativo a este ponto, mas do anel que tem como centro a projeção da carga "q" sobre o plano infinito, passando por este ponto que destacamos aqui. Vou desenhar aqui para ficar mais claro. Aqui está o plano infinito novamente. Lembre-se de que ele é infinito em todas as direções. E aqui eu tenho a carga "q", flutuando em algum lugar do espaço, a uma altura "h" do plano. Esta pequena região pode ser, por exemplo, este ponto aqui e eu vou desenhar um anel com raio na projeção da carga "q" sobre o plano infinito. Ou seja, todos estes pontos do anel que estou desenhando estão à mesma distância da carga "q". Vamos, agora, olhar para a componente "y", entendendo que "y" é a direção perpendicular ao plano infinito da força elétrica agindo sobre a carga "q". Vamos tomar a área deste anel, multiplicar pela densidade de carga e obter a carga total presente neste anel. Então, posso usar a lei de Coulomb para calcular a força elétrica e também o campo elétrico naquele ponto onde está a carga "q". Podemos usar esta fórmula, que já temos aqui, e obter a componente "y" dessa força, ou mesmo do campo elétrico. Então, vamos lá. Primeiro, vamos obter a carga "q" do anel. Vou identificar como Qr. Para isso, eu preciso da área do anel e a área do anel é o comprimento da circunferência vezes a largura desse anel. O comprimento da circunferência já sabemos que é 2πr. E digamos que isto é um anel bastante estreito. Ele é infinitamente estreito. E o que seria a largura dele vamos indicar por dr. Então, temos 2πr, que é o comprimento da circunferência do anel, vezes dr nos dá a área do anel. E isto, que é a área do anel, vou multiplicar pela densidade de carga e vou obter a carga do anel. Portanto, 2πrdr vezes σ vai nos dar Qr, a carga do anel. E qual é o campo elétrico gerado pelo anel neste ponto onde se encontra a carga de prova "q"? A lei de Coulomb diz que a força eletrostática provocada pelo anel sobre a carga de prova é igual à constante de Coulomb (k), vezes a carga do anel (Qr), vezes a carga (q) da carga de prova, dividido pelo quadrado da distância entre o anel e a carga de prova. Qual é a distância entre qualquer ponto do anel e a carga de prova? Observe que este poderia ser um ponto no anel e este, outro ponto no anel. Então, esta distância, ou seja, a distância de qualquer ponto do anel até a carga de prova, esta distância, pelo teorema de Pitágoras, é a raiz quadrada de (r² + h²). que é o que já tínhamos escrito ali atrás. Então, temos "k" vezes a carga do anel, vezes a carga da carga de prova, isso dividido pela distância entre o anel e a carga de prova elevada ao quadrado. Vai ser h² + r², cancelamos a raiz quadrada. Agora, se eu quiser saber a magnitude do campo elétrico naquele ponto onde está a carga de prova, basta dividir a força pela carga. Vou identificar por Er o campo elétrico devido ao anel. E, por ser a força eletrostática dividido por "q", que é a carga da carga de prova, vamos ter simplesmente: "k" (constante de Coulomb), vezes Qr (a carga do anel), dividido por (h² + r²). Qual é a carga Qr, a carga do anel? É tudo isso que temos aqui: 2πrdr vezes σ. Lembre-se de que o que nós obtivemos até aqui é a magnitude deste vetor, que é o campo elétrico naquele ponto onde está a carga de prova. Agora nós vamos tomar esta expressão e multiplicar pelo cosseno do ângulo θ, que é o que temos aqui e vamos chegar à componente "y" do campo elétrico naquele ponto. Como o cosseno de θ já vimos que é "h" sobre a raiz quadrada de (h² + r²), basta multiplicar aqui e agora vamos simplificar esta expressão um pouco. O denominador vai ficar h² + r², tudo isso elevado a 3/2. E o numerador vai ficar kh e a carga do anel, que é 2πrdr vezes σ, que temos aqui em cima. Só escrevendo em outra ordem: 2πσrdr. Com isso, nós calculamos a componente vertical, a componente "y", do campo elétrico a uma altura "h" do plano infinito. Mas observe que esse campo elétrico é só relativo ao anel de raio "r" com centro na projeção ortogonal da carga de prova sobre o plano infinito. Como o vídeo está ficando extenso, vamos parar aqui e continuar no próximo. Mas você já pode imaginar o que vamos fazer. Como, até agora, nós olhamos para o campo elétrico gerado somente por um anel sobre o plano infinito, nós vamos poder integrar essa ideia em todo o plano, ou seja, poderemos olhar para o campo elétrico gerado por todos os anéis, com todos os raios possíveis a partir do zero, preenchendo o plano infinito, obtendo assim, todo o campo elétrico gerado pelo plano infinito a uma altura "h" dele. Até o próximo vídeo!