Energia potencial elétrica (parte 2 - envolve cálculo)

RKA2G No último vídeo, descobrimos quanto de trabalho ou quanto de energia temos de colocar em uma partícula para movê-la dentro de um campo elétrico constante. Vamos ver se conseguimos fazer a mesma coisa, agora em um campo elétrico variável. E, então, podemos descobrir o potencial elétrico de uma posição relativa à outra. Vamos dizer que temos uma carga pontual. Não precisa ser uma carga pontual, vamos simplesmente dizer que existe um campo sendo gerado por essa carga, que é "+q₁" coulombs. Se quiséssemos desenhar linhas de campo... E, claro, essa é diferente do exemplo com a placa uniformemente carregada infinita, porque esta terá um campo elétrico variável, certo? Qual é o campo elétrico desta carga? O campo elétrico vai ficar assim. É basicamente a quantidade de força que ele exerce em qualquer partícula. E sempre vai estar apontando para fora, porque assumimos que a partícula de teste em questão é sempre uma carga positiva. Então, uma carga positiva será repelida desta carga positiva. Esse campo é: constante de Coulomb, vezes carga "q₁", sobre a distância a que estamos dessa carga. Então, se eu fosse desenhar esse campo magnético de perto, ele é bastante forte. Quando nos distanciamos, ele fica um pouco mais fraco. E é sempre radialmente para fora, a partir da carga. Isso é um pouco de revisão para você. Esse é um campo vetorial que estou desenhando, onde só estou escolhendo pontos aleatoriamente e mostrando o vetor do campo nesse ponto, que está apontando para fora. Em qualquer determinado raio longe do círculo, esses vetores devem ter a mesma magnitude. Eu sei que os meus não estão exatos, mas espero que você entenda o ponto. E a magnitude desses vetores diminui com o quadrado da distância. É assim que o campo vai ficar se eu desenhar um grupo de linhas de campo vetorial. E isso faz sentido como revisão, certo? Porque conhecemos a força. Se tivéssemos outra carga de teste "q₂", sabemos que a força nessa carga de teste é apenas "q₂" vezes isto. E essa é apenas a lei de Coulomb, certo? Que a força sobre uma outra partícula "q₂" é igual ao campo elétrico vezes "q₂", que é igual a "kq₁q₂" sobre "r²". Essa é apenas a lei de Coulomb. Na verdade, isso vem da lei de Coulomb. Já que sabemos isso, vamos pegar outra partícula positiva aqui. Vamos chamá-la de "q₂". Vou escrever isso aqui em cima, porque eu já baguncei ali embaixo. Vamos dizer que essa é uma carga positiva, então, ela vai ser repelida desta "q₁". E vamos descobrir o quanto de força é necessária para empurrar esta partícula para dentro a uma certa distância. Porque o campo está empurrando-a para fora. É necessário força para empurrá-la para dentro. Vamos dizer que queremos empurrá-la para dentro. Vamos dizer que esteja a 10 metros. Vamos dizer que essa distância bem aqui, deixe-me desenhar uma linha radial. Vamos dizer que essa distância bem aqui seja de 10 metros e eu quero empurrar esta partícula por 5 metros. Então, eventualmente, chega bem aqui. É aí onde eu, eventualmente, vou colocá-la. Então, vai estar a 5 metros de distância. Quanto tempo leva para movê-la 5 metros em direção a essa carga? Bem, a maneira que você pensa sobre isso é que o campo vive mudando, certo? Mas podemos assumir, por uma distância infinitamente pequena, e vamos chamar essa distância infinitamente pequena de "dr", mudança no raio. E, como você pode ver, estamos prestes a embarcar em um pouco de cálculo integral e diferencial. Se você não entende o que tudo isso significa, talvez queira revisar ou aprender o cálculo na lista de reprodução de Cálculo. Mas quanta força é necessária para mover esta partícula a uma distância muito pequena? Vamos supor que, sobre essa distância muito pequena, o campo elétrico é mais ou menos constante. E, portanto, podemos dizer que a quantidade muito pequena de trabalho para mover por essa distância muito pequena é igual à constante de Coulomb (k) vezes q₁ vezes q₂ sobre r² vezes dr. Agora, antes de seguirmos em frente, vamos pensar uma coisa por um segundo. A lei de Coulomb nos diz que essa é a força externa que esta partícula está exercendo sobre esta partícula, ou que o campo está exercendo sobre esta partícula. A força que temos que aplicar para mover a partícula daqui até aqui tem que ser uma força interior. Ela tem que estar exatamente na direção oposta. Portanto, tem que ser negativa, porque temos que compensar completamente a força de campo. Talvez, se a partícula já estivesse se movendo um pouco, nossa força a impediria de desacelerar a partir do campo. E, se não estivesse se movendo ainda, teríamos que "cutucá-la" só uma quantidade infinitamente pequena, só para fazê-la se mover. Então, a nossa força compensaria completamente a força de campo. Eu só quero explicar que queremos colocar esse sinal negativo ali porque estamos indo na direção oposta à do campo. Então, como descobrimos a quantidade total de força? Nós descobrimos a quantidade de força para movê-la daqui até aqui. Esses "dr" são uma mudança infinitamente pequena de raio. Se quiséssemos descobrir a força total, continuamos somando-as. Qual é força para ir daqui até aqui? Em seguida, a força para ir dali até ali? Por todo o caminho até chegamos a 5 metros de distância dessa carga. E o que fazemos quando pegamos a soma desses? Assumimos que uma soma infinita de incrementos infinitamente pequenos, isso não é nada a não ser a integral. Portanto, a força total é igual à integral. Esta será uma integral definida, porque estamos começando neste ponto. Estamos somando a partir... Nosso raio é igual a 10 metros e esse é o ponto de partida para o raio igual a 5 metros. Isso pode não ser muito intuitivo por estarmos começando pelo valor mais alto e terminando no valor mais baixo, mas é isso que estamos fazendo. Estamos empurrando-o para dentro. Nós estamos pegando a integral de "-kq₁q₂" sobre "r²" vezes "dr". Todos esses são termos constantes aqui, certo? Então, poderíamos tirá-los. Essa é a mesma coisa... Não quero ficar sem espaço... Uma vez que -kq₁q₂ vezes a integral de 10 a 5 de 1 sobre o raio ao quadrado, ou 2 negativo, menos "dr". Isso é igual a menos que... Estou ficando sem espaço... "q₁q₂". Pegamos a anti-derivada. Não temos que nos preocupar com o "mais" aqui, porque é uma integral definida. "r" elevado a 2 negativo é a anti-derivada. É -r elevado a 1 negativo. Esse "r" negativo, o "menos" do -r simplesmente anula esse. Isso se torna um "r" positivo, cancelado a 1 negativo. E você o calcula em 5, em seguida o subtrai e o calcula em 10. Deixe-me apagar um pouco disso. Espaço valioso esse, para trabalhar. Dissemos que a força é igual a...? Eu vou reescrever isso. Tínhamos um "menos" aqui, mas então tínhamos um "menos", tiramos a anti-derivada e eles se cancelaram. Então, temos "kq₁q₂" vezes a anti-derivada calculada em 5. Portanto, 1/5, certo? "r" elevado a 1 negativo, então 1 sobre "r" negativo, menos a anti-derivada calculada em 10 - 1 sobre 10 é igual a... Bem, 1/5 é a mesma coisa que 2/10, certo? Então, nós temos: força é igual kq₁q₂ vezes 2/10 - 1/10, é 1/10. Portanto, é igual a kq₁q₂ sobre 10. Essa é a força para levar a partícula daqui até aqui. E assim, da mesma forma, poderíamos dizer que a energia potencial da partícula nesta... A diferença de potencial da partícula neste ponto relativo a este ponto... Que a diferença de potencial aqui é esse tanto mais alto. Será em joules, porque essa é a unidade de energia (ou força, ou potencial, porque potencial é energia, de qualquer maneira). Assim, a diferença potencial elétrica entre este ponto e este ponto, este ponto é esse valor mais alto. Vamos fazer outro exemplo e pode ser que você ache isso interessante. De algo a se pensar. A grande diferença entre... Bem, deixe-me continuar isso no próximo vídeo, porque percebo que já estou nos dez minutos. Vejo você em breve, até lá!