O que é força de empuxo?

Alguma vez você já derrubou seus óculos de natação na parte mais funda da piscina e tentou nadar até lá para pegá-los? Essa experiência pode ser frustrante, porque a água tenta empurrar você de volta para a superfície enquanto você nada em direção ao fundo. O nome dessa força para cima em objetos submersos em fluidos é força de empuxo.

Então, por que os fluidos exercem uma força de empuxo para cima em objetos submersos? Isso tem a ver com diferenças na pressão entre o fundo do objeto submerso e a parte superior. Vamos supor que alguém derrubou uma lata de feijões em uma piscina com água.

Como a pressão $(P_{manométrica}=\rho gh)$‍ aumenta conforme você vai mais para o fundo em um fluido, a força da pressão exercida para baixo na parte superior da lata de feijões será menor que a força da pressão exercida para cima no fundo da lata.

Essencialmente, isso é simples. A razão de haver uma força de empuxo é devida ao fato inegável de que o fundo (isto é, a parte mais submersa) de um objeto está a uma profundidade sempre maior em comparação à parte superior do objeto. Isso significa que a força para cima feita pela água tem que ser maior que a força para baixo feita pela água.

Saber na teoria o motivo de haver uma força de empuxo é bom, mas também devemos estar aptos a descobrir como determinar o tamanho exato da força de empuxo.

Podemos começar com o fato de que a água no topo da lata está a empurrando para baixo $F_{parabaixo}$‍, e a água no fundo da lata está a empurrando para cima $F_{paracima}$‍. Podemos encontrar a força total exercida na lata pela pressão da água que aponta para cima (a qual chamamos de força de empuxo $F_{empuxo}$‍) simplesmente calculando a diferença entre as magnitudes da força para cima $F_{paracima}$‍ e da força para baixo $F_{parabaixo}$‍.

Podemos relacionar essas forças à pressão usando a definição de pressão $P={\displaystyle \frac{F}{A}}$‍ que pode ser calculada para a força para obter $F=PA$‍ . Assim, a força exercida para cima no fundo da lata será $F_{paracima}=P_{fundo}A$‍ e a força exercida para baixo no topo da lata será $F_{parabaixo}=P_{topo}A$‍. Substituindo essas expressões para cada $F$‍ na equação anterior, respectivamente, obtemos,

Podemos usar a fórmula da pressão manométrica hidrostática $P_{manométrica}=\rho gh$‍ para encontrar expressões para as pressões direcionadas para cima e para baixo. A força da pressão direcionada para cima no fundo da lata é $P_{fundo}=\rho g{h}_{fundo}$‍ e a força da pressão direcionada para baixo no topo da lata é $P_{topo}=\rho g{h}_{topo}$‍ . Podemos substituir isso na equação anterior para cada pressão, respectivamente, para obter,

Observe que todos os termos dessa equação contêm a expressão $\rho gA$‍. Então podemos simplificar essa fórmula tirando o fator comum $\rho gA$‍ para obter,

Agora, o termo $h_{fundo}-h_{topo}$‍ é importante e algo interessante está prestes a acontecer por causa dele. A diferença entre a profundidade do fundo da lata $h_{fundo}$‍ e a profundidade do topo da lata $h_{topo}$‍ é igual à altura da lata. (Veja o diagrama abaixo)

Então, podemos substituir $(h_{fundo}-h_{topo})$‍ na fórmula anterior pela altura da lata $h_{lata}$‍ para obter,

Esta é uma parte interessante. Como $A\times h$‍ é igual ao volume de um cilindro, podemos substituir o termo $A{h}_{lata}$‍ por um volume $V$‍ . Nosso primeiro instinto pode ser associar esse volume ao volume da lata. Mas observe que esse volume também vai ser igual ao volume da água deslocada pela lata. Quando falamos em água deslocada, referimo-nos ao volume de água que estava no volume do espaço agora ocupado pela lata.

Então vamos substituir o termo $Ah$‍ por um volume $V$‍, mas devemos escrever esse volume como volume da lata ou volume do fluido deslocado? Isso é importante, porque os dois volumes podem ser diferentes se o objeto estiver parcialmente submerso no fluido. A resposta é que devemos usar o volume do fluido deslocado $V_{fluido}$‍ na fórmula porque o fluido deslocado é o fator que determina a força de empuxo.

Isso funciona. Essa fórmula nos dá a força de empuxo em uma lata de feijões (ou em qualquer outro objeto) submersa por inteiro ou parcialmente em um fluido. Vejamos o que temos agora. Observe como a força de empuxo depende apenas da densidade do fluido $\rho$‍ no qual o objeto está submerso, da aceleração da gravidade $g$‍ e do volume do fluido deslocado $V_f$‍.

Surpreendentemente, a força de empuxo não depende da profundidade total do objeto submerso. Em outras palavras, enquanto a lata de feijões estiver completamente submersa, empurrá-la mais para o fundo não vai alterar a força de empuxo. Isso pode parecer estranho, já que a pressão fica maior conforme a profundidade aumenta. Mas a ideia chave é que as pressões no topo e no fundo da lata vão aumentar igualmente e, portanto, serão anuladas, resultando na mesma força total de empuxo.

Algo pode parecer errado nisso tudo. Alguns objetos definitivamente afundam, mas acabamos de provar que há uma força que aponta para cima em todos os objetos submersos. Como um objeto pode afundar se há uma força para cima atuando sobre ele? Bem, definitivamente há uma força de empuxo para cima em todo objeto submerso, mesmo naqueles que afundam. Para os objetos que afundam, o peso deles é maior que a força de empuxo. Se seu peso fosse menor que a força de empuxo, eles flutuariam. É possível provar que se a densidade de um objeto completamente submerso (independentemente de sua forma) for maior que a densidade do fluido no qual ele está colocado, o objeto vai afundar.

A forma como você normalmente vai ver a fórmula da força de empuxo escrita é com o $g$‍ e o $V$‍ reorganizados, assim,

Quando você reorganiza a fórmula dessa maneira, você pode observar algo incrível. O termo $\rho V_f$‍ é a densidade do fluido deslocado multiplicada pelo volume do fluido deslocado. Como a definição de densidade $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$‍ pode ser reorganizada como $m=\rho V$‍, isso significa que o termo $\rho V_f$‍ corresponde à massa do fluido deslocado. Assim, se quisermos, podemos substituir o termo $\rho V_f$‍ por $m_f$‍ na equação anterior para obter,

Mas veja só! A massa do fluido deslocado vezes a magnitude da aceleração da gravidade é simplesmente o peso do fluido deslocado. Assim, podemos reescrever a fórmula da força do empuxo como,

Essa equação, quando descrita em palavras, é chamada de princípio de Arquimedes. O princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo em um objeto é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto. A simplicidade e o poder dessa ideia são impressionantes. Se você quiser saber a força de empuxo de um objeto, você só precisa determinar o peso do fluido deslocado pelo objeto.

O fato de que ideias simples e belas (ainda que não óbvias) como essa são resultado de uma progressão lógica com base em princípios físicos é parte da razão pela qual as pessoas acham a física tão útil, poderosa e interessante. E o fato de que ela foi descoberta por Arquimedes de Siracusa há mais de 2.000 anos, antes das leis de Newton, é no mínimo impressionante.

Às vezes as pessoas esquecem que a densidade $\rho$‍ na fórmula da força de empuxo $F_e=\rho V_{f}g$‍ se refere à densidade do fluido deslocado, não à densidade do objeto submerso.

As pessoas frequentemente esquecem que o volume na fórmula de empuxo se refere ao volume do líquido deslocado (ou o volume submerso do objeto), e não necessariamente a todo o volume do objeto.

Às vezes as pessoas pensam que a força de empuxo aumenta conforme aumenta a profundidade do objeto submerso em um fluido. Mas a força de empuxo não depende da profundidade. Ela depende apenas do volume do fluido deslocado $V_f$‍, da densidade do fluido $\rho$‍ e da aceleração da gravidade $g$‍.

Muitas pessoas, quando perguntadas sobre o princípio de Arquimedes, normalmente ficam confusas antes de começar uma discussão sobre pessoas pulando nuas para fora de banheiras. Então, veja se você entende o princípio de Arquimedes bem o suficiente para descrevê-lo claramente: "Todo objeto sofre empuxo para cima por meio de uma força igual ao peso do fluido que o objeto desloca."

Um gnomo de jardim de $0,650\text{ kg}$‍ foi mergulhar um pouco e, quando percebeu, encontrava-se no fundo de um lago de água pura com profundidade de $35,0\text{ m}$‍. O gnomo de jardim é sólido (não tem buracos) e ocupa um volume total de $1,44\times {10}^{-3}{\text{ m}}^3$‍ . A densidade da água no lago é de $1000{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ .

Um cubo, com o qual você desenvolveu um forte sentimento de companheirismo, tem uma massa total de $2,33\text{kg}$‍ .

Sabemos que, para flutuar, a força de empuxo quando o objeto está submerso deve ser igual à magnitude do peso do cubo. Então, colocamos isso na forma de equação, como,

Um grande balão esférico cheio de hélio e com o desenho de uma vaca não pode sair flutuando porque está preso ao chão por uma corda. A estrutura plástica do balão mais todo o gás hélio do balão tem uma massa total de $9,20\text{ kg}$‍ . O diâmetro do balão é de $3,50\text{ m}$‍ . A densidade do ar é de $1,23{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ .

Esse exemplo é um pouco mais difícil, então primeiro devemos desenhar um diagrama de corpo livre (isto é, um diagrama de forças) para o balão. Aqui também temos vários nomes, então poderíamos incluir nossas variáveis conhecidas no diagrama para que possamos visualizá-las. (Observe que, nesse caso, o fluido deslocado é o ar).

Como o balão esférico de vaquinha não está acelerando, as forças devem estar em equilíbrio (isto é, não há força resultante). Então podemos começar declarando que as magnitudes do total das forças para cima e para baixo são iguais.