qual o valor de g? em todos os exemplos foi utilizado apenas g.

G é a aceleração da gravidade, é a intensidade do campo gravitacional em um determinado ponto. Geralmente, o ponto é perto da superfície de um corpo massivo. Um exemplo é a aceleração da gravidade na Terra ao nível do mar e à latitude de 45° ,(g) possuindo o valor aproximado de 9,80665 m/s². Só utilizar esse valor. Espero ter ajudado.

Quais as unidades de cada equação

Nessa de Bernoulli no final será metros por segundo m/s. Se entendi a pergunta espero ter ajudado.

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O que é a equação de Bernoulli?

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Esta equação lhe dará o poder de analisar um fluido indo para cima e para baixo através de todo tipo de tubos diferentes.

O que é o princípio de Bernoulli?

O princípio de Bernoulli é uma declaração aparentemente contraintuitiva sobre como a velocidade de um fluido está relacionada à pressão do fluido. Muitas pessoas acham que o princípio de Bernoulli não está correto, mas isso deve ser por causa de um mal-entendido sobre o que o princípio de Bernoulli de fato diz. O princípio de Bernoulli diz o seguinte,

Princípio de Bernoulli: dentro de um fluxo de fluido horizontal, pontos de velocidade de fluido mais alta terão menos pressão que pontos de velocidade de fluido mais baixa.

Não é preciso ser horizontal, mas a variação da altura do fluido durante o fluxo não pode ser tão drástica, caso contrário as variações na energia potencial gravitacional se tornarão importantes e provavelmente prejudicarão a precisão do princípio de Bernoulli.

O princípio de Bernoulli pode ser mais geral se você levar em consideração a energia potencial gravitacional. O resultado é a chamada equação de Bernoulli (que vamos derivar mais adiante nesse artigo).

Então, dentro de um tubo de água horizontal que varia de diâmetro, as regiões nas quais a água está se movendo rápido terão menos pressão do que regiões nas quais a água está se movendo devagar. Isso parece contraintuitivo para muitas pessoas, já que elas associam velocidades altas com pressões elevadas. Mas, vamos mostrar na próxima seção que essa é outra forma de dizer que a água vai aumentar sua velocidade se há mais pressão atrás dela do que na sua frente. Na seção abaixo, vamos derivar o princípio de Bernoulli, mostrar o que ele representa com mais precisão, e esperamos torná-lo um pouco menos misterioso.

Como você pode derivar o princípio de Bernoulli?

Os fluidos incompressíveis precisam aumentar sua velocidade quando eles chegam a uma seção estreita para manter uma taxa de fluxo de volume constante. É por isso que um bocal estreito em uma mangueira faz a água sair mais rápido. Mas algo deve estar incomodando você a respeito desse fenômeno. Se a água está aumentando sua velocidade em uma parte estreita, ela também está ganhando energia cinética. De onde vem essa energia cinética extra? Do bocal? Do tubo?

A única forma de dar energia cinética para alguma coisa é realizar trabalho nela. Isso é expresso pelo princípio de energia do trabalho.

W_{e x t e r n o} = Δ K = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

Então, se uma porção do fluido está aumentando sua velocidade, algo externo ao fluido deve estar realizando trabalho sobre ele. Que força está realizando trabalho no fluido? Bem, na maioria dos sistemas do mundo real, há várias forças dissipativas que poderiam realizar trabalho negativo, mas para simplificar vamos considerar que essas forças viscosas são desprezíveis e que temos um fluxo contínuo e perfeitamente laminar (sem agitação). Fluxo laminar (sem agitação) significa que o fluido flui em camadas paralelas sem cruzar seus caminhos. Em um fluxo laminar contínuo, não há agitação ou vórtices no fluido.

Boa pergunta. Digzer que o fluxo de um fluido não tem resistência, é completamente não viscoso, não tem turbulência e não há perda de energia por dissipação é uma consideração muito forte e agora, provavelmente, é uma boa hora para alertarmos você de que a dinâmica dos fluidos é conhecida por ser um tópico difícil de aplicar com precisão em nosso confuso mundo real. A complexidade das situações do mundo real podem tornar a modelagem precisa do fluxo de fluidos difícil em quaisquer situações nas quais podem ocorrer turbulência, viscosidade, atrito interno e vórtices.

Horace Lamb, que em 1895 publicou o influente texto Hidrodinâmica, reconheceu as dificuldades e a complexidade da dinâmica dos fluidos se comparada a outros tópicos da física. Ele é responsável por uma citação famosa

^{[1]}

por ter dito, já no fim da vida, "Agora sou um homem velho, e quando eu morrer e for para o céu há duas coisas que espero compreender. Uma é a eletrodinâmica quântica, e a outra é o movimento turbulento dos fluidos. E sobre a primeira eu estou bastante otimista."

Em poucas palavras, mesmo que o estudo do movimento de fluidos ideal necessite de considerações que podem não ser satisfeitas em vários casos complexos do mundo real, as teorias derivadas a partir dessas considerações simplistas ainda podem ser uma ferramenta útil para análises qualitativas, estimativas e um bom ponto de início para descrever situações mais complexas.

^{[1]}

Davidson, P. A. (2004). Turbulência: Uma introdução para cientistas e engenheiros. Oxford University Press

Ok, então vamos considerar que não temos perda de energia devido a forças dissipativas. Nesse caso, quais forças não dissipativas poderiam realizar trabalho em nosso fluido para que sua velocidade aumentasse? A pressão do fluido ao redor vai fazer uma força que pode realizar trabalho e aumentar a velocidade de uma porção do fluido.

Considere o diagrama abaixo que mostra água fluindo por fluxos da esquerda para a direita. Conforme o volume de água destacado entra na região constringida, sua velocidade aumenta. A força da pressão

P_{1}

no lado esquerdo da água em destaque empurra para a direita e faz trabalho positivo, já que empurra na mesma direção do movimento do fluido. A força da pressão

P_{2}

no lado direito do fluido em destaque empurra para a esquerda e faz trabalho negativo, já que empurra na direção oposta do movimento do fluido.

Sabemos que a água deve aumentar sua velocidade (devido à equação da continuidade) e portanto ter um trabalho resultante positivo. Então, o trabalho realizado pela força da pressão do lado esquerdo deve ser maior que o trabalho negativo realizado pela força da pressão do lado direito. Isso significa que a pressão no lado mais largo/devagar

P_{1}

deve ser maior que a pressão no lado mais estreito/rápido

P_{2}

Ok, isso é um pouco mais sutil. O trabalho é dado por

W = F d

, e a força é dada por

F = P A

. Isso significa que podemos escrever,

W = F d = P A d

Agora você pode pensar que, já que a pressão

P_{1}

no lado esquerdo está empurrando a porção sombreada para uma área de superfície maior

A

, o trabalho realizado pela água no lado esquerdo vai ser maior mesmo se as pressões forem iguais em ambos os lados. Mas as distâncias

d

pelas quais as forças vão agir também serão diferentes. Quando a porção de água entrar na parte estreita ela será alongada e a força da pressão do lado direito

P_{2}

será exercida por uma distância maior que a força da pressão do lado esquerdo

P_{1}

. Esses dois fatores confusos são cancelados, já que o volume total da porção de água permanece o mesmo ao longo de todo o trajeto. Então, o efeito de ter uma área de superfície maior não conta para o trabalho resultante positivo que deve ser realizado. A pressão da água no lado esquerdo

P_{1}

deve ser maior que

P_{2}

para que o trabalho resultado realizado na porção do fluido seja positivo.

Você também deve imaginar o que aconteceria se o fluido estivesse fluindo da direita para a esquerda, na região mais larga. Nesse caso, o trabalho realizado pela água em

P_{1}

seria negativo, já que ele exerce uma força oposta à direção do fluxo. O trabalho negativo realizado seria maior que o agora positivo trabalho realizado pela água no lado

P_{2}

e o fluido diminuiria sua velocidade ao entrar na região maior. Isso de fato acontece. Fluidos diminuem sua velocidade ao entrar em uma região mais larga.

Essa relação inversa entre a pressão e a velocidade em um ponto em um fluido é chamada de princípio de Bernoulli.

Princípio de Bernoulli: Em pontos ao longo de um fluxo de corrente horizontal, regiões de maior pressão têm velocidade de fluido menor e pontos de pressão menor têm velocidade de fluido maior.

Pode ser conceitualmente mais simples pensar no princípio de Bernoulli como o fato de que um fluido fluindo de uma região com maior pressão para uma região com pressão menor será acelerado devido à força resultante na direção do movimento.

A ideia de que regiões nas quais o fluido está se movendo rápido têm pressões menores pode parecer estranha. Certamente, um fluido que se move rápido e atinge você deve aplicar mais pressão ao seu corpo do que um fluido que se move devagar, certo? Sim, isso é verdade. Mas estamos falando de duas pressões diferentes. A pressão a qual se refere o princípio de Bernoulli é a pressão interna do fluido que seria exercida em todas as direções durante o fluxo, incluindo nos lados do tubo. Ela é diferente da pressão que um fluido exerceria em você caso você entrasse na frente dele e parasse seu movimento.

Observe que o princípio de Bernoulli não diz que um fluxo que se movimenta rapidamente não pode ter pressões significativamente altas. Ele apenas diz que a pressão em uma região com velocidade menor do mesmo sistema de fluxo deve ter uma pressão ainda maior que a região com movimento mais rápido.

O que é a equação de Bernoulli?

A equação de Bernoulli é, em sua essência, uma forma mais geral e matemática do princípio de Bernoulli que também leva em consideração variações na energia potencial gravitacional. Vamos derivar essa equação na próxima seção, mas antes disso, vamos dar uma olhada na equação de Bernoulli e ver o que ela diz e como podemos usá-la.

A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a velocidade e a altura de quaisquer dois pontos (1 e 2) em um fluxo constante de fluido de densidade

ρ

. A equação de Bernoulli é normalmente escrita da seguinte forma,

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

As variáveis

P_{1}

v_{1}

h_{1}

referem-se à pressão, velocidade e altura do fluido no ponto 1, ao passo que as variáveis

P_{2}

v_{2}

h_{2}

referem-se à pressão, velocidade e altura do fluido no ponto 2, como visto no diagrama abaixo. O diagrama abaixo mostra uma escolha particular de dois pontos (1 e 2) no fluido, mas a equação de Bernoulli serve para quaisquer dois pontos do fluido.

Ao usar a equação de Bernoulli, como você determina onde escolher os pontos? Escolher um dos pontos como a posição na qual você quer encontrar uma variável desconhecida é obrigatório. Caso contrário, como você vai calcular essa variável? Você normalmente vai escolher um segundo ponto em uma posição sobre a qual você tem alguma informação, ou na qual o fluido está aberto à atmosfera, já que a pressão nesse ponto é conhecida como a pressão atmosférica

P_{a t m} = 1, 01 \times 10^{5} P a

Observe que

h

se refere à altura do fluido acima um nível arbitrário que você pode escolher da forma que lhe for conveniente. Normalmente é mais fácil escolher o menor entre os dois pontos (1 ou 2) como o ponto no qual a altura

h = 0

. O

P

se refere a esse ponto. Você pode escolher usar a pressão manométrica ou absoluta, mas seja qual for o tipo de pressão que você escolher (manométrica ou absoluta), você precisa usá-lo também no outro lado da equação. Você não pode inserir a pressão manométrica no ponto 1 e calcular a pressão no ponto 2, o valor obtido será a pressão manométrica no ponto 2 (e não a pressão absoluta).

Os termos

\frac{1}{2} ρ v^{2}

ρ g h

na equação de Bernoulli se parecem com a energia cinética

\frac{1}{2} m v^{2}

e a energia potencial

m g h

, somente com a massa

m

substituída pela densidade

ρ

. Então não é surpreendente que a equação de Bernoulli seja o resultado da aplicação da conservação de energia em um fluxo de fluido. Vamos derivar a equação de Bernoulli usando a conservação de energia na próxima seção.

Como você deriva a equação de Bernoulli?

Considere o seguinte diagrama no qual a água vai da esquerda para a direita em um cano que varia em área e altura. Como antes, a velocidade da água vai aumentar e ganhar energia cinética

K

em constrições do cano, já que a taxa de fluxo do volume deve ser mantida para um fluido incompressível mesmo que essas seções de constrição se movam para cima. Mas agora, como a constrição também faz com que o fluido se mova para cima, a água vai ganhar energia potencial gravitacional

U_{g}

e energia cinética

K

. Vamos derivar a equação de Bernoulli definindo a energia ganha pelo fluido como igual ao trabalho externo feito no fluido.

Vamos supor que o sistema de energia que estamos considerando é composto pelos volumes de água 1 e 2, bem como o fluido entre esses volumes. Se consideramos que o fluxo do fluido não tem resistência, não é viscoso e não há forças dissipativas que afetam o fluxo, então qualquer energia extra

Δ (K + U)_{s i s t e m a}

adicionada ao sistema será resultado de um trabalho externo

(W_{e x t e r n o})

realizado no fluido pela pressão das forças ao seu redor.

Há duas maneiras de fazer essa derivação. Você pode dizer que a força da gravidade realiza um trabalho externo no fluido, caso no qual você não poderia dizer que o sistema inclui a energia potencial gravitacional entre a água e a Terra.

Ou, escolhendo a convenção que temos aqui, podemos dizer que nosso sistema inclui a energia potencial gravitacional entre a água e a Terra, sendo no caso o trabalho realizado pela força gravitacional interno ao sistema, e não externo. Como o trabalho realizado pela força gravitacional é interno, ele não afeta a energia geral

(K + U_{g})

do nosso sistema.

Podemos expressar isso matematicamente como,

W_{e x t e r n o} = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

Primeiro, vamos tentar encontrar o trabalho externo feito

W_{e x t e r n o}

na água. Nenhuma água entre os pontos 1 e 2 pode realizar trabalho externo, já que toda essa água faz parte de nosso sistema de energia. As únicas pressões que podem realizar trabalho externo diretamente em nosso sistema são

P_{1}

P_{2}

, como mostrado no diagrama. A água em

P_{1}

à esquerda do volume 1 vai realizar trabalho positivo, já que a força aponta para a mesma direção do movimento do fluido. A água em

P_{2}

à direita do volume 2 vai realizar trabalho negativo em nosso sistema, já que ela empurra na direção oposta ao movimento do fluido.

Para simplificar, vamos considerar o caso no qual a força da pressão da água à esquerda do volume 1 empurra o volume 1 por toda sua extensão

d_{1}

. Considerando que o fluido é incompressível, isso deve deslocar um volume de água igual em todas as outras partes do sistema, fazendo com que o volume 2 seja deslocado por uma distância

d_{2}

O trabalho pode ser calculado com

W = F d

. Podemos inserir a fórmula da força da pressão

F = P A

na fórmula do trabalho para obter

W = P A d

. Então, o trabalho positivo realizado em nosso sistema pela água próxima ao ponto 1 será

W_{1} = P_{1} A_{1} d_{1}

e o trabalho realizado pela água próxima ao ponto 2 será

W_{2} = - P_{2} A_{2} d_{2}

A força da pressão

F_{1} = P_{1} A_{1}

próxima ao ponto 1 está empurrando na mesma direção do movimento do fluido, então o trabalho que ela faz em nosso sistema é positivo.

Da mesma forma, a força da pressão

F_{2} = P_{2} A_{2}

próxima ao ponto 2 está empurrando na direção oposta ao movimento do fluido, então o trabalho que ela realiza em nosso sistema é negativo.

Ah, você também pode estar se perguntando para onde o

c o s θ

foi na fórmula para o trabalho

W = F d c o s θ

. Como nossas pressões estão exercendo forças na mesma direção e na direção contrária ao movimento, o termo

c o s θ

será

c o s (0) = + 1

c o s (180) = - 1

. Em nossa derivação, simplesmente incluímos os sinais positivo e negativo ao invés de incluir o termo

c o s θ

Usando essas expressões para o trabalho no lado esquerdo de nossa fórmula da energia do trabalho

W_{r e s u l t a n t e} = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

temos,

P_{1} A_{1} d_{1} - P_{2} A_{2} d_{2} = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

Mas os termos

A_{1} d_{1}

A_{2} d_{2}

devem ser iguais, já que eles representam os volumes do fluido deslocado próximo ao ponto 1 e ao ponto 2. Se considerarmos o fluido incompressível, um volume igual de fluido deve ser deslocado em todas as partes do fluido, incluindo a parte superior. Assim,,

V_{1} = A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2} = V_{2}

. Podemos simplesmente escrever o termo do volume como

V

, já que os volumes são iguais. Isso simplifica o lado esquerdo da fórmula de energia do trabalho para,

P_{1} V - P_{2} V = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

Isso cuida do lado esquerdo. Agora temos que lidar com o lado direito dessa equação. Essa é uma parte sutil e crucial da derivação. Lembre-se de que nosso sistema inclui não apenas as porções sombreadas de água próximas dos pontos 1 e 2, mas também toda a água entre esses dois pontos. Como vamos fazer para explicar toda a alteração na energia cinética e na energia potencial gravitacional de todas as partes desse grande sistema?

Bem, temos que fazer mais uma consideração para finalizar a derivação. Vamos considerar que o fluxo do fluido é constante. Por "fluxo constante", queremos dizer que a velocidade do fluido passando por um ponto em particular no tubo não varia. Em outras palavras, se você ficasse parado observando uma parte em particular do tubo transparente, você veria novas porções de água passando por você o tempo todo, mas se o fluxo é contínuo, toda a água teria a mesma velocidade ao passar por esse ponto em particular.

Não, não é esse o significado. As moléculas de água ainda variam sua velocidade conforme se movem pelo tubo. Para fluxo constante estamos considerando que essas variações serão as mesmas para qualquer molécula de água que viaja pelo fluxo.

Se houvesse um fluxo não contínuo, as alterações de velocidade nas moléculas de água que atravessam o cano seriam diferentes das futuras moléculas que vão atravessar o cano. Isso poderia acontecer se o fluxo do fluido fosse resultado de uma bomba, fazendo o sistema fornecer uma pressão variada ao longo do tempo.

Então, como a ideia de fluxo contínuo nos ajuda a descobrir a variação na energia do grande sistema de fluido? Considere o diagrama abaixo. A energia de nosso sistema consiste no fluido cinza (volume 1, volume 2 e todo o fluido entre eles). Na primeira imagem, o sistema tem uma quantidade de energia total

(K + U)_{i n i c i a l}

. Na segunda imagem, todo o sistema tem trabalho realizado nele, ganha energia, desloca-se para a direita e agora tem uma energia total diferente

(K + U)_{f i n a l}

. Mas observe que a energia do fluido entre as linhas tracejadas será a mesma que era antes do trabalho ser feito, considerando um fluxo constante. A água teve sua posição e velocidade alteradas na região entre as linhas tracejadas, mas isso aconteceu de forma que ela vai continuar se movendo com a mesma velocidade (por exemplo,

v_{a}

v_{b}

) e tem a mesma altura que a água anterior tinha nessa posição. A única coisa que está diferente em nosso sistema é que o volume 2 agora se estende em uma seção do tubo na qual ele não estava anteriormente, e agora nada em nosso sistema ocupa a posição antiga, atrás do volume 1.

Em geral, isso significa que a variação total da energia do sistema pode ser encontrada simplesmente considerando as energias dos pontos extremos. Ou seja, podemos usar as energias cinética e potencial

(K_{2} + U_{2})

que agora existem no volume 2 após o trabalho ser realizado e subtrair as energias cinética e potencial

(K_{1} + U_{1})

que não mais existem por trás do volume 1 depois da realização do trabalho. Em outras palavras,

Δ (K + U)_{s i s t e m a} = (K_{2} + U_{2}) - (K_{1} + U_{1})

Temos aqui uma outra forma de pensar sobre isso. A água ao redor de nosso sistema realizou algum trabalho em nosso sistema. Isso alterou a energia total do sistema. Mas quando você olha para a configuração final do fluido você vê que, convenientemente, as duas regiões do meio do sistema entre as linhas tracejadas têm exatamente a mesma energia

E_{i g u a l}

que elas tinham antes do trabalho ser realizado (já que o fluxo era constante). Essa energia

E_{i g u a l}

é cancelada quando encontramos a diferença entre o total das energias final e inicial e as únicas energias que precisamos considerar são as variações nas extremidades.

Se isso ainda parece uma mágica da matemática, você precisa saber que toda a derivação da equação de Bernoulli pode ser feita usando as leis de Newton, sem mencionar energia. A matemática pode ficar um pouco mais confusa, mas há menos saltos conceituais que precisam ser feitos e você acaba obtendo o mesmo resultado.

Usando isso no lado direito da fórmula da energia do trabalho

P_{1} V - P_{2} V = Δ (K + U)_{s i s t e m a}

temos,

P_{1} V - P_{2} V = (K_{2} + U_{2}) - (K_{1} + U_{1})

Agora, vamos substituir nas fórmulas pela energia cinética

K = \frac{1}{2} m v^{2}

e pela energia potencial gravitacional

U_{g} = m g h

pra obter,

P_{1} V - P_{2} V = (\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + m_{2} g h_{2}) - (\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + m_{1} g h_{1})

Nessa equação

P_{1}

P_{2}

representam as pressões do fluido nos volumes 1 e 2 respectivamente. As variáveis

v_{1}

v_{2}

representam as velocidades do fluido nos volumes 1 e 2 respectivamente. E

h_{1}

h_{2}

representam a altura do fluido nos volumes 1 e 2 respectivamente.

Mas como estamos considerando que o fluido é incompressível, as massas deslocadas de volumes 1 e 2 devem ser iguais

m_{1} = m_{2} = m

. Então, retirando o que está subscrito nos

m

s temos,

P_{1} V - P_{2} V = (\frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2}) - (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1})

Podemos dividir ambos os lados por

V

e remover os parênteses para obter,

P_{1} - P_{2} = \frac{\frac{1}{2} m v_{2}^{2}}{V} + \frac{m g h_{2}}{V} - \frac{\frac{1}{2} m v_{1}^{2}}{V} - \frac{m g h_{1}}{V}

Podemos simplificar essa equação observando que a massa do fluido deslocado dividida pelo volume do fluido deslocado é a densidade do fluido

ρ = \frac{m}{V}

. Substituindo

\frac{m}{V}

por

ρ

temos,

P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} - ρ g h_{1}

Agora, vamos simplesmente reorganizar a fórmula usando álgebra para colocar todos os termos que se referem ao mesmo ponto no espaço do mesmo lado da equação para obter,

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

E, finalmente, aí está. Essa é a equação de Bernoulli! Ela diz que se você somar a pressão

P

mais a densidade da energia cinética

\frac{1}{2} ρ v^{2}

mais a densidade da energia potencial gravitacional

ρ g h

em quaisquer 2 pontos de um fluxo, elas serão iguais.

A densidade de energia é como chamamos os termos

\frac{1}{2} ρ v^{2}

ρ g h

, já que eles são energias de massas divididas pelo volume que essas massas ocupam. Matematicamente, a única diferença entre densidade de energia e energia é que ao invés da massa

m

, temos a densidade

ρ

na fórmula.

densidade da energia cinética = \frac{\frac{1}{2} m v^{2}}{V} = \frac{1}{2} ρ v^{2}

densidade da energia potencial = \frac{m g h}{V} = ρ g h

Fisicamente, a diferença é que a densidade da energia mostra a densidade da energia em um ponto no espaço, enquanto a energia representa a energia que existe dentro de um volume do espaço. Você sempre pode multiplicar ou dividir pelo volume para alterar entre uma e outra (supondo que a densidade da energia é constante em todo o volume considerado).

A equação de Bernoulli pode ser vista como a lei de conservação de energia para um fluxo de fluido. Vimos que a equação de Bernoulli é o resultado do fato de que qualquer ganho de energia cinética ou potencial em um sistema de fluido é causado pelo trabalho feito no sistema por outro fluido não viscoso. Você deve ter em mente que tivemos que fazer várias suposições para que essa derivação funcione. Tivemos que considerar um fluxo sem agitação e nenhuma força dissipativa, já que caso contrário haveria geração de energia térmica. Tivemos que considerar um fluxo constante, já que caso contrário nosso truque para cancelar as energias da seção do meio não teria funcionado. Tivemos que considerar a incompressibilidade, já que caso contrário os volumes e as massas não seriam necessariamente iguais.

Como a quantidade

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h

é a mesma em todos os pontos em um fluxo, outra forma de escrever a equação de Bernoulli é,

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = constante

Essa constante será diferente para sistemas de fluido diferentes, mas para um dado fluxo de fluido constante e não dissipativo, o valor de

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h

será o mesmo em qualquer ponto ao longo do fluxo.

Como o princípio de Bernoulli é um resultado da equação de Bernoulli?

Aqui, devemos observar que o princípio de Bernoulli está contido na equação de Bernoulli. Se começarmos com,

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

e considerarmos que não há alteração na altura do fluido, os termos

ρ g h

são cancelados se os subtrairmos de ambos os lados.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

Ou poderíamos escrever isso como,

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} = constante

Essa fórmula destaca o princípio de Bernoulli, já que se a velocidade

v

de um fluido é maior em uma dada região do fluxo, a pressão

P

deve ser menor nessa região (que é o princípio de Bernoulli). Um aumento na velocidade

v

deve ser acompanhado por uma diminuição simultânea na pressão

P

para que a soma seja sempre o mesmo número constante.

Como são os exemplos resolvidos envolvendo a equação de Bernoulli?

Exemplo 1: Projetos de suco de beterraba

Você tem um restaurante e está pesquisando novas maneiras de entregar bebidas aos clientes. Uma proposta é um tubo que vai entregar suco de beterraba de densidade

1.090 \frac{k g}{m^{3}}

por todo o restaurante. Uma seção do tubo é mostrada abaixo. As plantas do projeto dizem que a velocidade e a pressão manométrica do suco de beterraba no ponto 1 são

3, 00 m/s

12.300 Pa

respectivamente. O suco de beterraba no ponto 2 está

1, 20 m

mais alto que o fluido no ponto 1 e está se movendo com uma velocidade de

0, 750 m/s

. Você pode ver nos projetos o número que representa a pressão do suco de beterraba no ponto 2.

Use a equação de Bernoulli para descobrir a pressão manométrica do suco de beterraba no ponto 2.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} (primeiro, comece com a equação de Bernoulli)

P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - ρ g h_{2} (solução algébrica da equação de Bernoulli para P_{2})

Nesse ponto, precisamos escolher uma linha de referência

h = 0

. Vamos escolher a altura no ponto 1 para ser

h = 0

. Is faz com que

h_{1} = 0

h_{2} = 1, 2 m

. Usando esses valores para a altura, temos,

P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g (0 m) - \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - ρ g (1, 2 m) (colocamos os valores de h_{1} e h_{2})

Podemos remover os termos com zero e inserir valores numéricos nas outras variáveis para obter,

P_{2} = 12.300 Pa + \frac{1}{2} (1.090 \frac{k g}{m^{3}}) (3, 00 m/s)^{2} - \frac{1}{2} (1.090 \frac{k g}{m^{3}}) (0, 750 m/s)^{2} - (1.090 \frac{k g}{m^{3}}) g (1, 20 m)

P_{2} = 4.080 Pa (calcule e comemore)

Observação: sabemos que essa é a pressão manométrica no ponto 2, ao invés da pressão absoluta, já que usamos a pressão manométrica para o ponto 1. Se quiséssemos a pressão absoluta, poderíamos adicionar a pressão atmosférica

(1, 01 \times 10^{5} Pa)

à resposta.

Exemplo 2: Engenharia da fonte de água

Um grande hotel pediu para você construir uma fonte que é alimentada por um cano cilíndrico de diâmetro

15 cm

que transporta água horizontalmente a

8, 00 m

abaixo do solo. O cano vira para cima e finalmente solta água da extremidade cilíndrica de

5, 00 cm

de diâmetro do cano, que está localizado a

1, 75 m

acima do solo, com uma velocidade de

32, 0 m/s

. A água tem uma densidade de

1, 000 \frac{k g}{m^{3}}

Qual pressão manométrica é necessária no cano horizontal subaquático grande para essa fonte?

Esses problemas envolvendo a equação de Bernoulli são complicados, então devemos desenhar um diagrama da situação e escolher dois pontos de interesse. (Esse diagrama não está em escala)

Vamos escolher o ponto próximo ao fundo do cano como ponto 1, já que é nele que queremos determinar a pressão, e vamos escolher a parte superior do cano por onde a água emerge como ponto 2, já que nos foi dada informação sobre a velocidade da água nesse ponto.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} (primeiro, comece com a equação de Bernoulli)

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} - ρ g h_{1} (solução algébrica para a pressão P_{1})

Não sabemos a velocidade da água no ponto 1. Vamos precisar descobrir a velocidade

v_{1}

primeiro, antes de podermos usar a equação de Bernoulli para calcular a pressão no ponto 1.

Podemos fazer isso usando a equação da continuidade

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

, já que a água é incompressível. Sabemos que a área seccional transversal de um tubo cilíndrico pode ser encontrada com

A = π r^{2}

, então inserindo as áreas na equação da continuidade obtemos,

(π r_{1}^{2}) v_{1} = (π r_{2}^{2}) v_{2}

Quando calculamos a velocidade

v_{1}

π

é cancelado e ficamos com,

v_{1} = (\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}) v_{2}

Usando os raios dos canos, podemos calcular a velocidade no ponto 1 para obter,

v_{1} = \frac{(2, 50 cm)^{2}}{(7, 50 cm)^{2}} (32, 0 m/s) = 3, 56 m/s

Como os quadrados dos raios são divididos uns pelos outros, as unidades podem ser canceladas e você vai ficar com uma proporção pura que multiplica a velocidade

v_{2}

. Essa proporção será a mesma se convertemos ambos os raios para metros, ou se os deixarmos em centímetros .

Na verdade, não precisamos nem converter os diâmetros para raios, já que o fator extra de 2 na relação

d = 2 \times r

também seria cancelado. Então, multiplicar

v_{2}

pela razão dos diâmetros ao quadrado daria o mesmo resultado.

Agora que temos a velocidade no ponto 1, podemos usar isso em nossa equação de Bernoulli reorganizada para obter,

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ (32 m/s)^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ (3, 56 m/s)^{2} - ρ g h_{1} (colocamos as velocidades)

Podemos escolher a linha de referência

h = 0

no ponto 1, que faz com que

h_{1} = 0 m

h_{2} = 8, 00 m + 1, 75 m = 9, 75 m

Como escolhemos o ponto 1 como o ponto de referência

h = 0

, vamos medir todas as alturas a partir desse ponto. Como o ponto 2 está

1, 75 m

acima do solo, e o solo está

8, 00 m

acima do ponto 1, a altura total do ponto 2 é

9, 75 m

Também poderíamos ter escolhido o solo como

h = 0

. Isso resultaria em

h_{1} = - 8, 00 m

h_{2} = 1, 75 m

. De qualquer forma, a resposta obtida no final seria a mesma.

Usando esses valores em nossa equação de Bernoulli reorganizada, retiramos o termo

ρ g h_{1}

(já que ele é zero) e obtemos,

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ (32 m/s)^{2} + ρ g (9, 75 m) - \frac{1}{2} ρ (3, 56 m/s)^{2} (colocamos os valores de h)

Tudo o que precisamos fazer agora é descobrir a pressão

P_{2}

no ponto 2. Vamos argumentar que a pressão no ponto 2 deve ser a pressão atmosférica, já que a água emergiu na atmosfera. Essa é uma suposição que precisa ser feita em vários problemas que envolvem a equação de Bernoulli. Sempre que um ponto está aberto à atmosfera, esse ponto deve estar sob a pressão atmosférica. Podemos usar pressões absolutas na equação de Bernoulli e dizer que

P_{2} = 1.01 \times 10^{5} P a

, ou podemos usar pressões manométricas e dizer que

P_{2} = 0

(já que a pressão manométrica mede a pressão sobre a pressão atmosférica). Sempre que podemos incluir zeros, nossa vida fica mais fácil, então vamos usar a pressão manométrica e usar

P_{2} = 0

. Isso faz com que nossa equação de Bernoulli reorganizada fique parecida com,

P_{1} = \frac{1}{2} ρ (32 m/s)^{2} + ρ g (9, 75 m) - \frac{1}{2} ρ (3, 56 m/s)^{2} (usamos P_{2} = 0)

Agora, podemos usar a densidade da água

ρ = 1.000 \frac{k g}{m^{3}}

e a magnitude da aceleração da gravidade

g = + 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

para obter,

P_{1} = \frac{1}{2} (1.000 \frac{k g}{m^{3}}) (32 m/s)^{2} + (1.000 \frac{k g}{m^{3}}) (+ 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (9, 75 m) - \frac{1}{2} (1.000 \frac{k g}{m^{3}}) (3, 56 m/s)^{2}

P_{1} = 6, 01 \times 10^{5} P a (calcule e comemore)

Observação: o que encontramos foi a pressão manométrica, já que usamos

P_{2} = 0

. Se tivéssemos usado

P_{2} = 1, 01 \times 10^{5} Pa

teríamos calculado a pressão absoluta no ponto 1.

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Liliane Navarro
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “qual o valor de g? em tod...” de Liliane Navarro
qual o valor de g? em todos os exemplos foi utilizado apenas g.
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- leo.b2u
  Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “G é a aceleração da gravi...” de leo.b2u
  G é a aceleração da gravidade, é a intensidade do campo gravitacional em um determinado ponto. Geralmente, o ponto é perto da superfície de um corpo massivo. Um exemplo é a aceleração da gravidade na Terra ao nível do mar e à latitude de 45° ,(g) possuindo o valor aproximado de 9,80665 m/s². Só utilizar esse valor. Espero ter ajudado.
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Fernando Lang da Silveira
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Sugiro olharem em http://...” de Fernando Lang da Silveira
Sugiro olharem em http://www.if.ufrgs.br/cref/?area=questions&id=323
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Jorge M. da Silva
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Quais as unidades de cada...” de Jorge M. da Silva
Quais as unidades de cada equação
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- leo.b2u
  Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Nessa de Bernoulli no fin...” de leo.b2u
  Nessa de Bernoulli no final será metros por segundo m/s. Se entendi a pergunta espero ter ajudado.
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mikhaelbragameinke
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Se eu não tenho P1 e P2, ...” de mikhaelbragameinke
Se eu não tenho P1 e P2, mas tenho P1-P2 = x (no caso eu sei o x) eu tenho como calcular p1 e p2 num tubo de bernoulli onde a diferença de altura é 0?
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Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Quais são as unidades de ...” de Fabricio Gegenheimer
Quais são as unidades de medida?
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