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O que é a equação de Bernoulli?

Esta equação lhe dará o poder de analisar um fluido indo para cima e para baixo através de todo tipo de tubos diferentes.

O que é o princípio de Bernoulli?

O princípio de Bernoulli é uma declaração aparentemente contraintuitiva sobre como a velocidade de um fluido está relacionada à pressão do fluido. Muitas pessoas acham que o princípio de Bernoulli não está correto, mas isso deve ser por causa de um mal-entendido sobre o que o princípio de Bernoulli de fato diz. O princípio de Bernoulli diz o seguinte,
Princípio de Bernoulli: dentro de um fluxo de fluido horizontal, pontos de velocidade de fluido mais alta terão menos pressão que pontos de velocidade de fluido mais baixa.
Então, dentro de um tubo de água horizontal que varia de diâmetro, as regiões nas quais a água está se movendo rápido terão menos pressão do que regiões nas quais a água está se movendo devagar. Isso parece contraintuitivo para muitas pessoas, já que elas associam velocidades altas com pressões elevadas. Mas, vamos mostrar na próxima seção que essa é outra forma de dizer que a água vai aumentar sua velocidade se há mais pressão atrás dela do que na sua frente. Na seção abaixo, vamos derivar o princípio de Bernoulli, mostrar o que ele representa com mais precisão, e esperamos torná-lo um pouco menos misterioso.

Como você pode derivar o princípio de Bernoulli?

Os fluidos incompressíveis precisam aumentar sua velocidade quando eles chegam a uma seção estreita para manter uma taxa de fluxo de volume constante. É por isso que um bocal estreito em uma mangueira faz a água sair mais rápido. Mas algo deve estar incomodando você a respeito desse fenômeno. Se a água está aumentando sua velocidade em uma parte estreita, ela também está ganhando energia cinética. De onde vem essa energia cinética extra? Do bocal? Do tubo?
A única forma de dar energia cinética para alguma coisa é realizar trabalho nela. Isso é expresso pelo princípio de energia do trabalho.
Wexterno=ΔK=12mvf212mvi2
Então, se uma porção do fluido está aumentando sua velocidade, algo externo ao fluido deve estar realizando trabalho sobre ele. Que força está realizando trabalho no fluido? Bem, na maioria dos sistemas do mundo real, há várias forças dissipativas que poderiam realizar trabalho negativo, mas para simplificar vamos considerar que essas forças viscosas são desprezíveis e que temos um fluxo contínuo e perfeitamente laminar (sem agitação). Fluxo laminar (sem agitação) significa que o fluido flui em camadas paralelas sem cruzar seus caminhos. Em um fluxo laminar contínuo, não há agitação ou vórtices no fluido.
Ok, então vamos considerar que não temos perda de energia devido a forças dissipativas. Nesse caso, quais forças não dissipativas poderiam realizar trabalho em nosso fluido para que sua velocidade aumentasse? A pressão do fluido ao redor vai fazer uma força que pode realizar trabalho e aumentar a velocidade de uma porção do fluido.
Considere o diagrama abaixo que mostra água fluindo por fluxos da esquerda para a direita. Conforme o volume de água destacado entra na região constringida, sua velocidade aumenta. A força da pressão P1 no lado esquerdo da água em destaque empurra para a direita e faz trabalho positivo, já que empurra na mesma direção do movimento do fluido. A força da pressão P2 no lado direito do fluido em destaque empurra para a esquerda e faz trabalho negativo, já que empurra na direção oposta do movimento do fluido.
Sabemos que a água deve aumentar sua velocidade (devido à equação da continuidade) e portanto ter um trabalho resultante positivo. Então, o trabalho realizado pela força da pressão do lado esquerdo deve ser maior que o trabalho negativo realizado pela força da pressão do lado direito. Isso significa que a pressão no lado mais largo/devagar P1 deve ser maior que a pressão no lado mais estreito/rápido P2.
Essa relação inversa entre a pressão e a velocidade em um ponto em um fluido é chamada de princípio de Bernoulli.
Princípio de Bernoulli: Em pontos ao longo de um fluxo de corrente horizontal, regiões de maior pressão têm velocidade de fluido menor e pontos de pressão menor têm velocidade de fluido maior.
Pode ser conceitualmente mais simples pensar no princípio de Bernoulli como o fato de que um fluido fluindo de uma região com maior pressão para uma região com pressão menor será acelerado devido à força resultante na direção do movimento.
A ideia de que regiões nas quais o fluido está se movendo rápido têm pressões menores pode parecer estranha. Certamente, um fluido que se move rápido e atinge você deve aplicar mais pressão ao seu corpo do que um fluido que se move devagar, certo? Sim, isso é verdade. Mas estamos falando de duas pressões diferentes. A pressão a qual se refere o princípio de Bernoulli é a pressão interna do fluido que seria exercida em todas as direções durante o fluxo, incluindo nos lados do tubo. Ela é diferente da pressão que um fluido exerceria em você caso você entrasse na frente dele e parasse seu movimento.
Observe que o princípio de Bernoulli não diz que um fluxo que se movimenta rapidamente não pode ter pressões significativamente altas. Ele apenas diz que a pressão em uma região com velocidade menor do mesmo sistema de fluxo deve ter uma pressão ainda maior que a região com movimento mais rápido.

O que é a equação de Bernoulli?

A equação de Bernoulli é, em sua essência, uma forma mais geral e matemática do princípio de Bernoulli que também leva em consideração variações na energia potencial gravitacional. Vamos derivar essa equação na próxima seção, mas antes disso, vamos dar uma olhada na equação de Bernoulli e ver o que ela diz e como podemos usá-la.
A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a velocidade e a altura de quaisquer dois pontos (1 e 2) em um fluxo constante de fluido de densidade ρ. A equação de Bernoulli é normalmente escrita da seguinte forma,
P1+12ρv12+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2
As variáveis P1, v1 e h1 referem-se à pressão, velocidade e altura do fluido no ponto 1, ao passo que as variáveis P2, v2 e h2 referem-se à pressão, velocidade e altura do fluido no ponto 2, como visto no diagrama abaixo. O diagrama abaixo mostra uma escolha particular de dois pontos (1 e 2) no fluido, mas a equação de Bernoulli serve para quaisquer dois pontos do fluido.
Ao usar a equação de Bernoulli, como você determina onde escolher os pontos? Escolher um dos pontos como a posição na qual você quer encontrar uma variável desconhecida é obrigatório. Caso contrário, como você vai calcular essa variável? Você normalmente vai escolher um segundo ponto em uma posição sobre a qual você tem alguma informação, ou na qual o fluido está aberto à atmosfera, já que a pressão nesse ponto é conhecida como a pressão atmosférica Patm=1,01×105Pa.
Observe que h se refere à altura do fluido acima um nível arbitrário que você pode escolher da forma que lhe for conveniente. Normalmente é mais fácil escolher o menor entre os dois pontos (1 ou 2) como o ponto no qual a altura h=0. O P se refere a esse ponto. Você pode escolher usar a pressão manométrica ou absoluta, mas seja qual for o tipo de pressão que você escolher (manométrica ou absoluta), você precisa usá-lo também no outro lado da equação. Você não pode inserir a pressão manométrica no ponto 1 e calcular a pressão no ponto 2, o valor obtido será a pressão manométrica no ponto 2 (e não a pressão absoluta).
Os termos 12ρv2 e ρgh na equação de Bernoulli se parecem com a energia cinética 12mv2 e a energia potencial mgh, somente com a massa m substituída pela densidade ρ. Então não é surpreendente que a equação de Bernoulli seja o resultado da aplicação da conservação de energia em um fluxo de fluido. Vamos derivar a equação de Bernoulli usando a conservação de energia na próxima seção.

Como você deriva a equação de Bernoulli?

Considere o seguinte diagrama no qual a água vai da esquerda para a direita em um cano que varia em área e altura. Como antes, a velocidade da água vai aumentar e ganhar energia cinética K em constrições do cano, já que a taxa de fluxo do volume deve ser mantida para um fluido incompressível mesmo que essas seções de constrição se movam para cima. Mas agora, como a constrição também faz com que o fluido se mova para cima, a água vai ganhar energia potencial gravitacional Ug e energia cinética K. Vamos derivar a equação de Bernoulli definindo a energia ganha pelo fluido como igual ao trabalho externo feito no fluido.
Vamos supor que o sistema de energia que estamos considerando é composto pelos volumes de água 1 e 2, bem como o fluido entre esses volumes. Se consideramos que o fluxo do fluido não tem resistência, não é viscoso e não há forças dissipativas que afetam o fluxo, então qualquer energia extra Δ(K+U)sistema adicionada ao sistema será resultado de um trabalho externo (Wexterno) realizado no fluido pela pressão das forças ao seu redor.
Podemos expressar isso matematicamente como,
Wexterno=Δ(K+U)sistema
Primeiro, vamos tentar encontrar o trabalho externo feito Wexterno na água. Nenhuma água entre os pontos 1 e 2 pode realizar trabalho externo, já que toda essa água faz parte de nosso sistema de energia. As únicas pressões que podem realizar trabalho externo diretamente em nosso sistema são P1 e P2, como mostrado no diagrama. A água em P1 à esquerda do volume 1 vai realizar trabalho positivo, já que a força aponta para a mesma direção do movimento do fluido. A água em P2 à direita do volume 2 vai realizar trabalho negativo em nosso sistema, já que ela empurra na direção oposta ao movimento do fluido.
Para simplificar, vamos considerar o caso no qual a força da pressão da água à esquerda do volume 1 empurra o volume 1 por toda sua extensão d1. Considerando que o fluido é incompressível, isso deve deslocar um volume de água igual em todas as outras partes do sistema, fazendo com que o volume 2 seja deslocado por uma distância d2.
O trabalho pode ser calculado com W=Fd. Podemos inserir a fórmula da força da pressão F=PA na fórmula do trabalho para obter W=PAd. Então, o trabalho positivo realizado em nosso sistema pela água próxima ao ponto 1 será W1=P1A1d1 e o trabalho realizado pela água próxima ao ponto 2 será W2=P2A2d2.
Usando essas expressões para o trabalho no lado esquerdo de nossa fórmula da energia do trabalho Wresultante=Δ(K+U)sistema temos,
P1A1d1P2A2d2=Δ(K+U)sistema
Mas os termos A1d1 e A2d2 devem ser iguais, já que eles representam os volumes do fluido deslocado próximo ao ponto 1 e ao ponto 2. Se considerarmos o fluido incompressível, um volume igual de fluido deve ser deslocado em todas as partes do fluido, incluindo a parte superior. Assim,, V1=A1d1=A2d2=V2. Podemos simplesmente escrever o termo do volume como V, já que os volumes são iguais. Isso simplifica o lado esquerdo da fórmula de energia do trabalho para,
P1VP2V=Δ(K+U)sistema
Isso cuida do lado esquerdo. Agora temos que lidar com o lado direito dessa equação. Essa é uma parte sutil e crucial da derivação. Lembre-se de que nosso sistema inclui não apenas as porções sombreadas de água próximas dos pontos 1 e 2, mas também toda a água entre esses dois pontos. Como vamos fazer para explicar toda a alteração na energia cinética e na energia potencial gravitacional de todas as partes desse grande sistema?
Bem, temos que fazer mais uma consideração para finalizar a derivação. Vamos considerar que o fluxo do fluido é constante. Por "fluxo constante", queremos dizer que a velocidade do fluido passando por um ponto em particular no tubo não varia. Em outras palavras, se você ficasse parado observando uma parte em particular do tubo transparente, você veria novas porções de água passando por você o tempo todo, mas se o fluxo é contínuo, toda a água teria a mesma velocidade ao passar por esse ponto em particular.
Então, como a ideia de fluxo contínuo nos ajuda a descobrir a variação na energia do grande sistema de fluido? Considere o diagrama abaixo. A energia de nosso sistema consiste no fluido cinza (volume 1, volume 2 e todo o fluido entre eles). Na primeira imagem, o sistema tem uma quantidade de energia total (K+U)inicial. Na segunda imagem, todo o sistema tem trabalho realizado nele, ganha energia, desloca-se para a direita e agora tem uma energia total diferente (K+U)final. Mas observe que a energia do fluido entre as linhas tracejadas será a mesma que era antes do trabalho ser feito, considerando um fluxo constante. A água teve sua posição e velocidade alteradas na região entre as linhas tracejadas, mas isso aconteceu de forma que ela vai continuar se movendo com a mesma velocidade (por exemplo, va e vb) e tem a mesma altura que a água anterior tinha nessa posição. A única coisa que está diferente em nosso sistema é que o volume 2 agora se estende em uma seção do tubo na qual ele não estava anteriormente, e agora nada em nosso sistema ocupa a posição antiga, atrás do volume 1.
Em geral, isso significa que a variação total da energia do sistema pode ser encontrada simplesmente considerando as energias dos pontos extremos. Ou seja, podemos usar as energias cinética e potencial (K2+U2) que agora existem no volume 2 após o trabalho ser realizado e subtrair as energias cinética e potencial (K1+U1) que não mais existem por trás do volume 1 depois da realização do trabalho. Em outras palavras, Δ(K+U)sistema=(K2+U2)(K1+U1).
Usando isso no lado direito da fórmula da energia do trabalho P1VP2V=Δ(K+U)sistema temos,
P1VP2V=(K2+U2)(K1+U1)
Agora, vamos substituir nas fórmulas pela energia cinética K=12mv2 e pela energia potencial gravitacional Ug=mgh pra obter,
P1VP2V=(12m2v22+m2gh2)(12m1v12+m1gh1)
Nessa equação P1 e P2 representam as pressões do fluido nos volumes 1 e 2 respectivamente. As variáveis v1 e v2 representam as velocidades do fluido nos volumes 1 e 2 respectivamente. E h1 e h2 representam a altura do fluido nos volumes 1 e 2 respectivamente.
Mas como estamos considerando que o fluido é incompressível, as massas deslocadas de volumes 1 e 2 devem ser iguais m1=m2=m. Então, retirando o que está subscrito nos ms temos,
P1VP2V=(12mv22+mgh2)(12mv12+mgh1)
Podemos dividir ambos os lados por V e remover os parênteses para obter,
P1P2=12mv22V+mgh2V12mv12Vmgh1V
Podemos simplificar essa equação observando que a massa do fluido deslocado dividida pelo volume do fluido deslocado é a densidade do fluido ρ=mV. Substituindo mV por ρ temos,
P1P2=12ρv22+ρgh212ρv12ρgh1
Agora, vamos simplesmente reorganizar a fórmula usando álgebra para colocar todos os termos que se referem ao mesmo ponto no espaço do mesmo lado da equação para obter,
P1+12ρv12+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2
E, finalmente, aí está. Essa é a equação de Bernoulli! Ela diz que se você somar a pressão P mais a densidade da energia cinética 12ρv2 mais a densidade da energia potencial gravitacional ρgh em quaisquer 2 pontos de um fluxo, elas serão iguais.
A equação de Bernoulli pode ser vista como a lei de conservação de energia para um fluxo de fluido. Vimos que a equação de Bernoulli é o resultado do fato de que qualquer ganho de energia cinética ou potencial em um sistema de fluido é causado pelo trabalho feito no sistema por outro fluido não viscoso. Você deve ter em mente que tivemos que fazer várias suposições para que essa derivação funcione. Tivemos que considerar um fluxo sem agitação e nenhuma força dissipativa, já que caso contrário haveria geração de energia térmica. Tivemos que considerar um fluxo constante, já que caso contrário nosso truque para cancelar as energias da seção do meio não teria funcionado. Tivemos que considerar a incompressibilidade, já que caso contrário os volumes e as massas não seriam necessariamente iguais.
Como a quantidade P+12ρv2+ρgh é a mesma em todos os pontos em um fluxo, outra forma de escrever a equação de Bernoulli é,
P+12ρv2+ρgh=constante
Essa constante será diferente para sistemas de fluido diferentes, mas para um dado fluxo de fluido constante e não dissipativo, o valor de P+12ρv2+ρgh será o mesmo em qualquer ponto ao longo do fluxo.

Como o princípio de Bernoulli é um resultado da equação de Bernoulli?

Aqui, devemos observar que o princípio de Bernoulli está contido na equação de Bernoulli. Se começarmos com,
P1+12ρv12+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2
e considerarmos que não há alteração na altura do fluido, os termos ρgh são cancelados se os subtrairmos de ambos os lados.
P1+12ρv12=P2+12ρv22
Ou poderíamos escrever isso como,
P+12ρv2=constante
Essa fórmula destaca o princípio de Bernoulli, já que se a velocidade v de um fluido é maior em uma dada região do fluxo, a pressão P deve ser menor nessa região (que é o princípio de Bernoulli). Um aumento na velocidade v deve ser acompanhado por uma diminuição simultânea na pressão P para que a soma seja sempre o mesmo número constante.

Como são os exemplos resolvidos envolvendo a equação de Bernoulli?

Exemplo 1: Projetos de suco de beterraba

Você tem um restaurante e está pesquisando novas maneiras de entregar bebidas aos clientes. Uma proposta é um tubo que vai entregar suco de beterraba de densidade 1.090kgm3 por todo o restaurante. Uma seção do tubo é mostrada abaixo. As plantas do projeto dizem que a velocidade e a pressão manométrica do suco de beterraba no ponto 1 são 3,00 m/s e 12.300 Pa respectivamente. O suco de beterraba no ponto 2 está 1,20 m mais alto que o fluido no ponto 1 e está se movendo com uma velocidade de 0,750 m/s. Você pode ver nos projetos o número que representa a pressão do suco de beterraba no ponto 2.
Use a equação de Bernoulli para descobrir a pressão manométrica do suco de beterraba no ponto 2.
P1+12ρv12+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2(primeiro, comece com a equação de Bernoulli)
P2=P1+12ρv12+ρgh112ρv22ρgh2(solução algébrica da equação de Bernoulli para P2)
Nesse ponto, precisamos escolher uma linha de referência h=0. Vamos escolher a altura no ponto 1 para ser h=0. Is faz com que h1=0 e h2=1,2 m. Usando esses valores para a altura, temos,
P2=P1+12ρv12+ρg(0 m)12ρv22ρg(1,2m)(colocamos os valores de h1 e h2)
Podemos remover os termos com zero e inserir valores numéricos nas outras variáveis para obter,
P2=12.300 Pa+12(1.090kgm3)(3,00 m/s)212(1.090kgm3)(0,750 m/s)2(1.090kgm3)g(1,20 m)
P2=4.080 Pa(calcule e comemore)
Observação: sabemos que essa é a pressão manométrica no ponto 2, ao invés da pressão absoluta, já que usamos a pressão manométrica para o ponto 1. Se quiséssemos a pressão absoluta, poderíamos adicionar a pressão atmosférica (1,01×105 Pa) à resposta.

Exemplo 2: Engenharia da fonte de água

Um grande hotel pediu para você construir uma fonte que é alimentada por um cano cilíndrico de diâmetro 15 cm que transporta água horizontalmente a 8,00 m abaixo do solo. O cano vira para cima e finalmente solta água da extremidade cilíndrica de 5,00 cm de diâmetro do cano, que está localizado a 1,75 m acima do solo, com uma velocidade de 32,0 m/s. A água tem uma densidade de 1,000kgm3.
Qual pressão manométrica é necessária no cano horizontal subaquático grande para essa fonte?
Esses problemas envolvendo a equação de Bernoulli são complicados, então devemos desenhar um diagrama da situação e escolher dois pontos de interesse. (Esse diagrama não está em escala)
Vamos escolher o ponto próximo ao fundo do cano como ponto 1, já que é nele que queremos determinar a pressão, e vamos escolher a parte superior do cano por onde a água emerge como ponto 2, já que nos foi dada informação sobre a velocidade da água nesse ponto.
P1+12ρv12+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2(primeiro, comece com a equação de Bernoulli)
P1=P2+12ρv22+ρgh212ρv12ρgh1(solução algébrica para a pressão P1)
Não sabemos a velocidade da água no ponto 1. Vamos precisar descobrir a velocidade v1 primeiro, antes de podermos usar a equação de Bernoulli para calcular a pressão no ponto 1.
Podemos fazer isso usando a equação da continuidade A1v1=A2v2, já que a água é incompressível. Sabemos que a área seccional transversal de um tubo cilíndrico pode ser encontrada com A=πr2, então inserindo as áreas na equação da continuidade obtemos,
(πr12)v1=(πr22)v2
Quando calculamos a velocidade v1 o π é cancelado e ficamos com,
v1=(r22r12)v2
Usando os raios dos canos, podemos calcular a velocidade no ponto 1 para obter,
v1=(2,50 cm)2(7,50 cm)2(32,0 m/s)=3,56 m/s
Agora que temos a velocidade no ponto 1, podemos usar isso em nossa equação de Bernoulli reorganizada para obter,
P1=P2+12ρ(32 m/s)2+ρgh212ρ(3,56 m/s)2ρgh1(colocamos as velocidades)
Podemos escolher a linha de referência h=0 no ponto 1, que faz com que h1=0 m e h2=8,00 m+1,75 m=9,75 m.
Usando esses valores em nossa equação de Bernoulli reorganizada, retiramos o termo ρgh1 (já que ele é zero) e obtemos,
P1=P2+12ρ(32 m/s)2+ρg(9,75 m)12ρ(3,56 m/s)2(colocamos os valores de h)
Tudo o que precisamos fazer agora é descobrir a pressão P2 no ponto 2. Vamos argumentar que a pressão no ponto 2 deve ser a pressão atmosférica, já que a água emergiu na atmosfera. Essa é uma suposição que precisa ser feita em vários problemas que envolvem a equação de Bernoulli. Sempre que um ponto está aberto à atmosfera, esse ponto deve estar sob a pressão atmosférica. Podemos usar pressões absolutas na equação de Bernoulli e dizer que P2=1.01×105Pa, ou podemos usar pressões manométricas e dizer que P2=0 (já que a pressão manométrica mede a pressão sobre a pressão atmosférica). Sempre que podemos incluir zeros, nossa vida fica mais fácil, então vamos usar a pressão manométrica e usar P2=0. Isso faz com que nossa equação de Bernoulli reorganizada fique parecida com,
P1=12ρ(32 m/s)2+ρg(9,75 m)12ρ(3,56 m/s)2(usamos P2=0)
Agora, podemos usar a densidade da água ρ=1.000kgm3 e a magnitude da aceleração da gravidade g=+9,8ms2 para obter,
P1=12(1.000kgm3)(32 m/s)2+(1.000kgm3)(+9,8ms2)(9,75 m)12(1.000kgm3)(3,56 m/s)2
P1=6,01×105Pa(calcule e comemore)
Observação: o que encontramos foi a pressão manométrica, já que usamos P2=0. Se tivéssemos usado P2=1,01×105 Pa teríamos calculado a pressão absoluta no ponto 1.

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