O que é taxa de fluxo de volume?

Você pode ouvir o termo taxa de fluxo volumétrico e achar que se trata de algo chato, mas a taxa de fluxo volumétrico lhe mantém vivo. Vou lhe dizer daqui a pouco, mas primeiro vamos definir taxa de fluxo volumétrico. A taxa de fluxo de volumétrico $Q$‍ de um líquido é definida como o volume de fluido que atravessa uma dada área de seção transversal por unidade de tempo. O termo área de seção transversal é apenas um termo chique frequentemente usado para descrever a área através da qual algo está fluindo, por exemplo, a área circular dentro da linha tracejada no diagrama abaixo.

Dado que a taxa de fluxo volumétrico mede a quantidade de volume que atravessa uma área por tempo, a equação para a taxa de fluxo volumétrico adquiri esta cara:

Em unidades do S.I. (Sistema Internacional), a taxa de fluxo volumétrico tem unidades de metros cúbico por segundo, ${\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{s}}}$‍, lhe informando o número de metros cúbicos de fluido que escoa por segundo.

Então como a taxa de fluxo de volume mantém você vivo? Seu coração bombeia um volume de sangue aproximadamente igual ao volume de uma lata de refrigerante a cada quatro segundos.

Acontece que há uma alternativa útil ao invés de escrever a taxa de fluxo volumétrico como $Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍.

O volume de uma porção do fluido num tubo pode ser escrito como $V=Ad$‍, onde $A$‍ é a área da seção transversal do fluido e $d$‍ é a largura desta porção de fluido, veja o diagrama abaixo. Podemos substituir esta fórmula para o volume $V$‍ na taxa de fluxo volumétrico para obter o seguinte:

Mas o termo ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ é apenas o comprimento do volume de fluido dividido pelo tempo que o fluido levou para fluir através de seu comprimento, que é simplesmente a velocidade do fluido. Então, podemos substituir ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ com $v$‍ na equação anterior e obteremos

$A$‍ é a área da seção transversal do tubo e $v$‍ é a velocidade do fluido nessa seção. Temos, então, uma nova fórmula para a taxa de fluxo volumétrico $Q=Av$‍ que é frequentemente mais útil do que a definição original, porque a área $A$‍ é fácil de se determinar. A maioria dos tubos são cilíndricos—o que significa que a área pode ser encontrada por $A=\pi r^2$‍— e a velocidade v do fluido é uma quantidade de especial interesse em muitas situações.

Tome cuidado, pois agora estamos lidando com dois termos muito parecidos. O volume é representado pela letra maiúscula $V$‍, e a velocidade é representada pela letra minúscula $v$‍. As pessoas normalmente confundem a notação de volume $V$‍ e velocidade $v$‍ porque elas são muito parecidas.

Acontece que a maioria dos líquidos é praticamente incompressível. Isso significa que um galão de leite pode ser colocado num recipiente de mesmo volume de forma diferente, mas você não pode espremer todo o galão de leite num recipiente com metade do volume de um galão, não importa o quanto você tente.

Como líquidos são incompressíveis, qualquer porção de líquido fluindo por um tubo poderia variar de forma, mas ela deve manter o mesmo volume. Isso é verdade mesmo se o diâmetro do tubo for alterado. No diagrama abaixo, o volume V do líquido na esquerda muda de forma ao entrar em uma seção estreita do cano, mas ele se mantém com o mesmo volume, já que líquidos são incompressíveis.

Líquidos devem manter seu volume conforme eles fluem em uma tubulação, uma vez que são quase incompressíveis. Isso significa que o volume de líquido que flui para dentro de uma tubulação em um determinado período de tempo deve ser igual ao volume de líquido que flui para fora na mesma quantidade de tempo. Por exemplo, se em uma hora você bombeia $2m^3$‍ de água em um tubo que já está cheio de água, $2m^3$‍ tem que fluir para fora daquele tubo durante essa mesma hora. As únicas alternativas seriam o líquido se comprimir dentro da tubulação—o que não poderia acontecer—ou o tubo inchar—que supomos não acontecer se o tubo é rígido. Lembre-se, você não está confinado ao considerar pontos apenas no início ou no final do tubo, esse argumento funciona tão bem para a água entrando e saindo de quaisquer duas seções da tubulação.

Então, a taxa de fluxo de volume $Q$‍ para um fluido incompressível em um ponto ao longo de um cano é a mesma que em qualquer outro ponto ao longo do cano.

Isso pode ser representado matematicamente com a fórmula $Q=constante$‍, ou—escolhendo quaisquer dois pontos na tubulação—podemos afirmar matematicamente que a taxa de fluxo volumétrico é a mesma em quaisquer dois pontos escrevendo

Agora, se substituirmos a fórmula $Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍, encontraremos

Alternativamente, poderíamos substituir a forma alternativa da taxa de fluxo volumétrico, $Q=Av$‍, dentro da fórmula, $Q_1=Q_2$‍, o que nos daria

Essa equação é conhecida como a equação de continuidade para líquidos incompressíveis—as duas equações anteriores também são, às vezes, referidas como equação de continuidade. A equação não é realmente tão misteriosa como o nome sugere, já que a encontramos simplesmente exigindo que volumes sejam incompressíveis conforme fluem através de uma tubulação.

A equação é bastante útil, em particular nessa forma, porque ela diz que o valor de $Av$‍ é constante por todo o cano. Em outras palavras, não importa o lugar do cano que você escolhe para calcular $Av$‍, o valor será sempre o mesmo número para um dado cano, se o fluido for incompressível.

Então, se a área, $A$‍, de uma seção de tubo diminui, a velocidade, $v$‍, do líquido deve aumentar para que o produto, $Av$‍, permaneça o mesmo. Isso significa que fluidos aceleram quando chegam à uma seção estreita de um tubo e desaceleram quando alcançam uma seção mais larga. Isso coincide com a experiência cotidiana—pense sobre o que acontece se você bloquear uma porção do tubo de água com seu polegar, reduzindo eficazmente a sua área, $A$‍. A água deve sair com maior velocidade, $v$‍, para garantir que a taxa de fluxo volumétrico, $Av$‍, permanece a mesma. Eis o porquê dos bocais estreitos ligados à mangueiras que reduzem a área ($A$‍) causarem um aumento significativo na velocidade, $v$‍, do fluido nesse ponto.

Uma mulher muito rica e que ama refrigerante constrói sua casa com um tubo cilíndrico que transporta refrigerante de guaraná do térreo para seu quarto no primeiro andar. O refrigerante entra na casa pelo andar de baixo, através de um tubo com uma seção reta de área de 0,0036 m${}^2$‍, onde está viajando com uma velocidade de 0,48 metros por segundo. No quarto da senhora rica, o tubo da torneira por qual sai o refrigerante tem uma área de 0,0012 m${}^2$‍.

Nota: Poderíamos também ter resolvido esse problema só de notar que a área, $A_2$‍, da tubulação no quarto era ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ da área da tubulação de baixo, $A_1$‍. Isso significa que a velocidade do refrigerante tem que ser três vezes mais rápida na tubulação do quarto, comparada com a tubulação do andar de baixo para que o fator $Av$‍ permaneça o mesmo.

Um chef quer se certificar de que ele sempre terá leite de coco pronto para todas as suas receitas de bolinho. Ele cria, então, um tubo cilíndrico que vai da despensa para a cozinha. O cano na despensa tem um raio de 4 cm, onde o leite de coco tem uma velocidade de 0,25 metros por segundo. O leite de coco sai do cano na cozinha com uma velocidade de 1 metro por segundo.

Nota: Substituímos o valor do raio, $r_1=4\text{ cm}$‍, em unidades de centímetros, o que quer dizer que nossa resposta está em unidades de centímetros.