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Cálculo da taxa de fluxo a partir da equação de Bernoulli

Neste vídeo, resolvemos um problema envolvendo a equação de Bernoulli no qual o fluido se move por um cano de diâmetro variável. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA13C Vamos dizer que eu tenho um tubo horizontal. Na extremidade esquerda do tubo, a área da seção transversal, a área "A₁", é igual a 2 m². Digamos que ele se afunila, de modo que a área da seção transversal nesta extremidade do tubo, a área "A₂", é igual a 1/2 m². Temos alguma velocidade neste ponto do tubo, que é "v₁". E a velocidade de saída do tubo é "v₂". A pressão externa neste ponto está essencialmente sendo aplicada para a direita, para dentro do tubo. Vamos dizer que a pressão "p₁" é de 10.000 Pa (pascal). A pressão nesta extremidade, a pressão "p₂", é esta pressão externa neste ponto do tubo. Ela é igual a 6.000 Pa. Dada essa informação, digamos que eu tenha água nesse tubo. Estamos supondo que seja fluxo laminar, portanto, não existe atrito dentro do tubo e não existe turbulência. Usando isso, o que eu quero fazer é... Eu quero descobrir qual é o fluxo da água nesse tubo: quanto de volume entra no tubo por segundo ou quanto sai do tubo por segundo. Sabemos que esses serão os mesmos números, por causa da equação de continuidade. Sabemos que o fluxo, que é "φ" (phi), que é o volume por quantidade de tempo, é a mesma coisa que velocidade de entrada (v₁) vezes a área de entrada (A₁). A área de entrada é de 2, por isso é "2v₁". O que também é igual a: área de saída (A₂) vezes velocidade de saída (v₂), por isso, é igual a "1/2v₂". Poderíamos reescrever isso: esse "v₁" é igual a "1/2φ", e esse "v₂" é igual a "2φ". E isso imediatamente nos diz que "v₂" está saindo a uma taxa mais rápida. Isso é baseado no tamanho das aberturas. Sabemos por que "v₂" está saindo a uma taxa mais rápida, mas também sabemos por que temos pressão muito maior nesta extremidade que nesta extremidade e que a água está fluindo para a direita. A pressão diferencial, o gradiente de pressão, está indo para a direita, então a água vai jorrar por esta extremidade e vai entrar nesta extremidade. Vamos usar a equação de Bernoulli para descobrir qual é o fluxo através desse tubo. "p₁ + ρgh₁ + 1/2ρv₁²" é igual a "p₂ + ρgh₂ + 1/2ρv₂²". Esse tudo está nivelado, e a altura em cada extremidade é a mesma. Assim, "h₁" vai ser igual a "h₂". Essas duas expressões serão iguais, então podemos anulá-las, podemos subtrair este valor de ambos os lados, e nos resta apenas "p₁". O que é "p₁"? A "p₁" é 10.000 Pa. Isso mais "1/2ρv₁²". O que é "v₁"? É "φ/2", nós descobrimos isso aqui em cima. "10.000 Pa + 1/2ρ(φ/2)²" é igual a: "p₂", 6.000 Pa, mais "1/2ρv₂²". Descobrimos o que é "v₂": "v₂" é 2 vezes "φ²". Então, vamos simplificar um pouco. Vamos subtrair seis mil de ambos os lados e ficamos com quatro mil. Fica "4.000 + ρφ²/8", que é igual a "1/2φ² vezes 4". Portanto, esse é "2ρφ²". Poderíamos multiplicar ambos os lados dessa equação por oito, apenas para nos livrar deste denominador. Então, temos: "32.000 = 15ρφ²". Então, o que é "ρ"? Qual é a densidade da água? A densidade da água de 1.000 kg/m³. Então, este é mil. Vamos dividir ambos os lados por "15ρ". Obtemos "φ² = 32.000/15ρ". O "ρ" é 1.000, portanto, "φ² = 32.000/15.000", que é a mesma coisa que "32/15". O "φ" é igual à raiz quadrada de "32/15", e isso vai ser em metros cúbicos por segundo (m³/s). Fica "32/15 = 2,1", e a raiz quadrada de 2,1 é 1,46. Portanto, a resposta é: "φ = 1,46 m³/s". Esse é o volume de água que está entrando no sistema em qualquer instante ou saindo do sistema em qualquer instante. Podemos descobrir as velocidades também. Qual é a velocidade saindo do sistema? O que é duas vezes isto? É "2,8 m/s" saindo do sistema, e entrando nele é a metade, portanto é "0,8 m/s". Espero que isso lhe dê... Na verdade, é "0,7 m/s". Espero que isso lhe dê um pouco mais de visão sobre fluidos. E isso é tudo que vou fazer por hoje. Vejo você no próximo vídeo, vamos fazer algumas coisas sobre termodinâmica!