Taxa de fluxo de volume e a equação da continuidade

RKA13C Tudo que fizemos até agora foi com fluidos parados ou fluidos estáticos. E temos lidado com pressão estática. Estávamos tentando descobrir o que acontece quando tudo está parado. Agora vamos trabalhar com o que acontece quando o fluido está realmente se movendo. Vamos imaginar um tubo. Vamos dizer que uma das extremidades do tubo tem uma área maior que a outra extremidade ou pelo menos uma área diferente. Esta é uma extremidade do tubo, e esta é outra extremidade do tubo. Ele está cheio de algum fluido, algum líquido, na verdade, em nosso exemplo. Portanto, tem um monte de líquido nesse tubo. Vamos dizer que esta área na entrada é chamada de "área de entrada" (Aₑ). Essa é a área de abertura para dentro do tubo. Esta vamos chamar de "área de saída" (Aₛ), é a área de abertura que sai do tubo. Vamos pensar sobre o que acontece se esse líquido realmente estiver se movendo. Vamos dizer que ele está se movendo para dentro do tubo com uma velocidade "v" de entrada (vₑ). Vamos pensar sobre quanto volume se move para dentro do tubo após "t" segundos. Depois de "t" segundos, se você pensar sobre isso, você teria este tanto de área. Se você pensar sobre o que estava aqui, isso, então, será movido para a direita por quanto? Poderíamos voltar para a nossa fórmula cinemática básica: distância é igual à taxa de deslocamento vezes tempo (d = r vezes t). A distância que alguma coisa percorre é igual à velocidade vezes tempo (d = v vezes t), portanto, depois de "t" segundos, qualquer fluido que estava aqui teria estado em uma área desse tamanho aproximadamente. Qualquer fluido que estava ali teria se movido quanto para a direita? Ele teria percorrido... Vamos supor que o tubo não mude de diâmetro ou de raio daqui até aqui. Ele teria, então, percorrido velocidade vezes tempo. Portanto, "vₑ" vezes "t". Poderia ser metros ou qualquer que seja a nossa unidade de comprimento. Após "t" segundos, basicamente, este tanto de água se deslocou para dentro do tubo. Você poderia imaginar um cilindro de água aqui. Mais uma vez, eu sei que fiz isso parecer que está ficando mais largo o tempo todo, mas vamos supor que a sua largura não muda tanto assim ao longo dos "t" segundos ou quaisquer que sejam as unidades de tempo que estamos olhando. Qual é o volume desse cilindro de água? O volume é a área de entrada sobre os "t" segundos, é igual à área ou o lado esquerdo do cilindro. Bom, deixe-me desenhar o cilindro em uma cor mais vibrante para que você possa descobrir o volume. Portanto, é igual a este lado, o lado esquerdo do cilindro, a área de entrada, vezes o comprimento do cilindro. Esta é a velocidade do fluido vezes o tempo que estamos medindo, vezes "vₑ" vezes "t". Essa é a quantidade de volume que entrou. Se esse volume entrasse no tubo... Mais uma vez, aprendemos em alguns vídeos atrás que a definição de líquido é "um fluido incompressível". Não é como se nenhum fluido pudesse sair do tubo, e todo o fluido simplesmente ficasse espremido. O mesmo volume de fluido teria saído do tubo, de modo que deve ser igual ao volume de saída (Vₛ). Tudo que entra no tubo tem que ser igual ao volume que sai do tubo. Uma coisa que estamos supondo nesta fração de tempo com a qual estamos lidando, é que também não existe atrito nesse líquido ou nesse fluido, de modo que ele não está turbulento, nem viscoso. Um fluido viscoso é uma coisa que tem bastante atrito interno e ele não se move naturalmente sem alguma resistência. Quando algo não é viscoso, não tem resistência interna, e se move realmente sem nenhuma turbulência, é chamado de "fluxo laminar". Essa é uma boa palavra para conhecer, é o oposto de fluxo viscoso. Diferentes coisas têm diferentes viscosidades, e, provavelmente, vamos ver mais sobre isso. Por exemplo, cauda ou pasta de amendoim tem uma viscosidade muito, muito alta. Até mesmo o vidro é um fluido com uma viscosidade muito, muito alta. Eu acho que existem alguns tipos de compostos e campos magnéticos que você poderia criar, que têm fluxo laminar perfeito, mas essa é uma situação perfeita. Nestas circunstâncias, o volume de entrada, porque o fluido não pode ser comprimido, é incompressível. Tem que ser igual, então, ao volume de saída. Qual é o volume de saída ao longo deste período? Da mesma maneira, poderíamos desenhar esse cilindro maior, que é a área de saída... Depois de "t" segundos, quanta água saiu? Qualquer que seja a água que estava aqui, no início do nosso período de tempo, terá saído. Podemos imaginar o cilindro aqui. Qual é a largura do cilindro? Qual será a velocidade com que o líquido sai no lado direito? "V" maiúsculo é para o volume, e "v" minúsculo é para a velocidade, portanto, vai ser a velocidade de saída, esse é um "v" minúsculo, vezes o mesmo tempo. Então qual é o volume que saiu em nosso tempo "t"? Vai ser apenas esta área vezes esta largura. Então, o volume de saída sobre esse mesmo período de tempo é igual a: a área de saída desse tubo vezes a velocidade de saída vezes tempo. Mais uma vez, eu vivo dizendo isso, mas esse é o grande momento do "aha!", está nesta quantidade de tempo. O volume neste cilindro tem que ser igual ao volume neste cilindro. Talvez não seja tão largo ou algo assim, mas seus volumes são os mesmos. Você não pode receber mais água aqui, de repente, do que está entrando. E, da mesma forma, não pode colocar mais água no lado esquerdo do que está saindo no lado direito, porque é incompressível, esses dois volumes são iguais. Por isso, sabemos que a área na abertura para o lado esquerdo do tubo vezes a velocidade de entrada vezes a duração do tempo de que estamos falando é igual a: a área de saída vezes a velocidade de saída vezes a duração do tempo do qual estamos falando. É o mesmo tempo em ambos os lados dessa equação, então, poderíamos dizer que a área de entrada vezes a velocidade de entrada é igual a área de saída vezes a velocidade de saída. Em hidrodinâmica, isso é chamado de "equação de continuidade" e leva a algumas coisas interessantes. Nós vamos resolver alguns problemas sobre isso em um segundo. Uma coisa que eu quero apresentar nesse ponto também é: qual é o volume por segundo? Porque isso também é uma coisa com a qual vamos lidar em um segundo, provavelmente no próximo vídeo, porque estou prestes a ficar sem tempo. Nós já dissemos que, em "t" segundos, temos essa quantidade de volume entrando, e que o que entra é o mesmo que sai. Qual é o volume por segundo? É esse grande "V" maiúsculo. E, por quantidade de tempo... Chamamos isso de "fluxo". Vamos aprender bastante sobre fluxo, especialmente quando começarmos a fazer cálculo vetorial. Mas fluxo é quanto um volume atravessa uma superfície em uma quantidade de tempo. Neste caso, a superfície é o lado esquerdo do cilindro, e estamos dizendo quanto o atravessa em quantidade de tempo. Descobrimos que é esse volume de entrada que atravessa a cada "t" segundos, e isso é chamado de "fluxo". Provavelmente, você já ouviu falar do capacitor de fluxo, do filme "De volta para o futuro", e talvez possamos pensar sobre o que estavam tentando insinuar. Vamos ver se conseguimos usar o fluxo e essas ideias para chegar a algumas outras equações interessantes. Sabemos que o volume por tempo é igual ao fluxo, esse é um "V" maiúsculo. "V" é igual a fluxo, e, de fato, a variável que as pessoas geralmente usam para fluxo é phi (ϕ). E, claro, é metros cúbicos por segundo (m³/s), essa é sua unidade. Sabemos que área de entrada vezes velocidade de entrada, um "v" minúsculo, é igual a área de saída vezes velocidade de saída. Isso é chamado de "equação da continuidade". Ela vale sempre que temos fluxo laminar. Na verdade, estou prestes a ficar sem tempo. No próximo vídeo, vou usar um pouco dessas informações para descobrir quanto de energia existe em um determinado sistema onde temos fluido passando por um tubo. Vejo você em breve!