Derivação da equação de Bernoulli - parte 1

RKA13C Vamos dizer que tenhamos um tubo de novo, e esta é a abertura. Temos um fluido que passa por ele, o fluido está indo a uma velocidade "v₁", a pressão entrando no tubo é "p₁", e a área dessa abertura do tubo é "A₁". Poderia até ir para cima... A outra extremidade é, na verdade, ainda menor. O fluido, o líquido, está saindo do tubo com velocidade "v₂". A pressão que ele exerce quando sai é... Se houvesse uma membrana do lado de fora, quanta pressão ele exerceria sobre ela quando ele a empurra para fora? É "p₂". E, na área da abertura menor, ela não precisa ser menor, é "A₂". Vamos dizer que esta abertura está, em média, a uma altura "h"₁. E a água que sai por esta abertura está, em média, a uma altura "h₂". Nós não vamos nos preocupar muito com o diferencial entre a parte superior do tubo e a parte inferior. Vamos supor que esses "h" são muito maiores em relação ao tamanho do tubo. Com isso configurado... Lembre-se, existe um fluido passando por essa coisa. Vamos voltar para o que continua a aparecer, que é a lei da conservação de energia, que está em qualquer sistema fechado. A quantidade de energia que você coloca em alguma coisa é igual à quantidade de energia que você tira. Portanto, a energia que entra é igual à energia que sai. Qual é a energia que você coloca em um sistema? Ou com qual energia o sistema começa nesta extremidade? É o trabalho (τₑ) que você coloca mais a energia potencial neste ponto do sistema (EPₑ) mais a energia cinética (ECₑ) neste ponto do sistema. Então sabemos, a partir da conservação de energia, que isso tem que ser igual ao trabalho de saída (τₛ) mais a energia potencial de saída (EPₛ) mais a energia cinética de saída (ECₛ). Muitas vezes, no passado, dissemos que "EPₑ + ECₑ" é igual a "EPₛ + ECₛ", mas a energia inicial do sistema também pode ser realizada pelo trabalho, então, apenas acrescentamos "τ" a essa equação que nos diz que a energia inicial é igual à energia final. Com essa informação, vamos ver se conseguimos fazer alguma coisa interessante com esse tubo que eu desenhei. Então, qual é o trabalho que está sendo colocado dentro desse sistema? O trabalho é força vezes distância, então vamos focar nisso. É a força de entrada (Fₑ) multiplicada pela distância de entrada (dₑ). Assim, ao longo de um período de tempo "t", o que foi feito? Aprendemos no último vídeo que, durante um período de tempo "t", o fluido aqui pode ser movido até aqui. Qual é esta distância? Esta quantidade é a velocidade de entrada vezes qualquer que seja a quantidade de tempo com o qual estamos lidando, de modo que "t", então... Esta é a distância. Qual é a força? A força é apenas a pressão vezes a área, e podemos descobrir isso apenas dividindo força por área e, em seguida, multiplicando por área. Então obtemos a força de entrada (F₁) dividida pela área de entrada vezes a área de entrada. Sim, é dividido e multiplicado pelo mesmo número, isto é pressão, e isto é área. É igual à distância de entrada sobre essa quantidade de tempo, e, então, vezes velocidade vezes tempo. Então, "τ₁ = p₁ vezes A₁ vezes v₁ vezes t". E quanto é esta área vezes velocidade vezes tempo vezes esta distância (d)? É o volume do fluido que fluir para dentro sobre essa quantidade de tempo. Então, isso é igual ao volume do fluido sobre esse período de tempo. Portanto, poderíamos chamar isso de "volume de entrada", esse é o volume de entrada. Sabemos que a densidade (ρ) é apenas massa (m) por volume (V). Ou que o volume vezes a densidade é igual à massa. Ou sabemos que o volume é igual à massa dividida pela densidade. O trabalho que estou colocando no sistema, eu sei que estou fazendo um monte de coisas loucas, mas faz sentido até agora, é igual à pressão de entrada vezes a quantidade de volume de fluido que se moveu ao longo desse período de tempo. Esse volume de fluido é igual a: massa de fluido que entrou nesse período de tempo, chamaremos isso de "massa de entrada" (m₁), dividida pela densidade. Esperamos que isso faça um pouco de sentido. Como sabemos, o volume de entrada vai ser igual ao volume de saída, portanto, a massa de entrada, porque a densidade não muda, é igual à massa de saída (m₂). Assim, não temos que escrever uma entrada e uma saída para a massa, a massa será constante. Em qualquer quantidade dada de tempo, a massa que entra no sistema tem que ser equivalente à massa que sai do sistema. Lá vamos nós! Temos uma expressão interessante para o trabalho sendo colocado no sistema. Qual é a energia potencial do sistema no lado esquerdo? A energia potencial do sistema será igual àquela mesma massa de fluido sobre a qual eu falei vezes a gravidade (g) vezes a altura de entrada (h₁). Altura inicial, h₁. A energia cinética inicial (ECₑ) do fluido é igual à massa do fluido, esta massa bem aqui, desse mesmo volume de cilindro para o qual continua apontando, vezes a velocidade do fluido ao quadrado. Lembrando-nos disso, dá energia cinética dividida por 2. Então, qual é a energia total nesse ponto no sistema ao longo desse período de tempo? Quanta energia foi para dentro do sistema? Ela vai ser o trabalho realizado, que é a pressão de entrada... Estou ficando sem espaço, então deixe-me apagar tudo isso. Provavelmente, eu vou ficar sem tempo, mas tudo bem, é melhor do que ficar confuso. De volta para o que estávamos fazendo, então, a energia total entrando no sistema é o trabalho que está sendo feito para dentro do sistema, e eu reescrevi isso neste formato, que é a pressão de entrada, chamaremos isso de "p₁", vezes a massa dividida pela densidade do líquido, seja ele o que for. Esse é o trabalho de entrada mais... Qual é a energia potencial? Eu escrevi aqui, essa é apenas "mgh", onde "m" é a massa desse volume de fluido, "h" é sua altura média, e você quase poderia pensar na altura do centro de massa acima da superfície do planeta. Uma vez que temos "g" aqui, supomos que estamos na Terra, portanto isso é "h₁", porque a altura realmente muda. Então, isso é a energia potencial de entrada mais a energia cinética, "mv₁²", sobre 2. Essa é energia cinética de entrada. Sabemos que isso tem que ser igual à energia que sai do sistema. Isso vai ser a mesma coisa no lado da saída. Isso vai ser igual ao trabalho de saída. Então, isso será a pressão de saída vezes a massa dividida pela densidade mais a energia potencial de saída. Será apenas "mgh₂" mais a energia cinética de saída, que será "mv₂²", dividido por 2. Bom, acabei de perceber que meu tempo acabou, vou continuar isso no próximo vídeo. Vejo você em breve!