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Derivação da equação de Bernoulli - parte 1

Transcrição de vídeo

vamos dizer que tenhamos um tubo de novo e essa é a abertura temos um fluido que passa por ele o flu está indo a uma velocidade de 1 a pressão entrando no tubo é p 1 ea área dessa abertura do tubo é a 1 poderia ir para cima ea outra extremidade é na verdade ainda menor o fluido o líquido está saindo do tubo com velocidade v2 a pressão que exerce quando sai é se houvesse uma membrana no lado de fora seria quanta pressão ele exerceria sobre a mesma quando ele empurra para fora então é p2 e na área da abertura menor ela não precisa ser menor é a 2 vamos dizer que essa abertura está a uma altura em média de h1 ea água que sai por essa abertura está em média a uma altura de h2oh nós não vamos nos preocupar muito com o diferencial entre a parte superior do tubo ea parte inferior vamos supor que esses a gás são muito maiores em relação ao tamanho do tubo com isso configurado e lembre se existe um fluido passando por essa coisa vamos voltar para o que continua a parecer que a lei da conservação de energia que está em qualquer sistema fechado a quantidade de energia que você coloque em alguma coisa é igual à quantidade de energia que você tira portanto a energia que entra é igual a energia que sai qual é a energia que você coloque um sistema ou com um qual a energia o sistema começa nesse extremidade é o trabalho que você coloca mais a energia potencial nesse ponto do sistema mas a energia cinética nesse ponto do sistema então sabemos a partir da conservação de energia que isso tem que ser igual o trabalho de saída mas a energia potencial de saída mas a energia cinética de saída muitas vezes no passado dissemos que a energia potencial inicial + energia cinética inicial é igual a energia potencial final mas a energia cinética final mas a energia inicial do sistema também pode ser realizada pelo trabalho então apenas acrescentamos trabalho essa equação que nos diz que a energia inicial é igual a energia final com essa informação vamos ver se conseguimos fazer alguma coisa interessante com esse tubo que eu desenhei então qual é o trabalho que está sendo colocado dentro desse sistema o trabalho é força vezes distância então vamos focar isso é a força de entrada multiplicada pela distância de entrada e assim ao longo de um período de tempo te o que foi feito aprendemos no último vídeo que durante um período de tempo te o fluido aqui pode ser movido até aqui com essa distância essa quantidade é a velocidade de entrada vezes qualquer que seja a quantidade de tempo com o qual estamos lidando de modo que te então essa é a distância qual é a força à força é apenas a pressão vezes a área e podemos descobrir isso apenas dividindo força por área em seguida multiplicar por área então obtemos a força de entrada dividida pela área de entrada vezes a área de entrada sim é dividido e multiplicado pelo mesmo número isso é pressão isso é a área é igual à distância de entrada sobre essa quantidade de tempo então vezes velocidade vezes tempo então o trabalho de entrada é igual à pressão de entrada vezes a área de entrada vezes a velocidade de entrada vezes tempo enquanto é essa área visível cidade vezes tempo vezes essa distância esse é o volume do fluido que fluir para dentro sobre essa quantidade de tempo então isso é igual o volume do fluido sobre esse período de tempo portanto poderíamos chamar isso de volume de entrada esse é o volume de entrada sabemos que a densidade é apenas massa por volume o que volume vezes densidade é igual à massa ou sabemos que o volume é igual à massa dividido pela densidade o trabalho que eu estou colocando no sistema eu sei que estou fazendo um monte de coisas loucas mas faz sentido até agora é igual à pressão de entrada vezes a quantidade de volume de fluido que se moveu ao longo desse período de tempo esse volume de fluido é igual à massa de fluido que entrou nesse período de tempo chamaremos isso de massa de entrada dividido pela densidade esperamos que isso faça um pouco de sentido como sabemos o volume de entrada vai ser igual o volume de saída portanto a massa de entrada porque a densidade não muda é igual à massa de saída assim não temos que escrever uma entrada e uma saída para massa a massa será constante em qualquer quantidade da de tempo a massa que entra no sistema tem que ser equivalente à massa que sai do sistema lá vamos nós temos uma expressão uma expressão interessante para o trabalho sendo colocado no sistema qual é a energia potencial do sistema no lado esquerdo a energia potencial do sistema será igual àquela mesma massa de fluido sobre a qual eu falei vezes a gravidade vezes a altura de entrada altura inicial vezes h1 a energia cinética inicial do fluido é igual à massa do fluido essa massa bem aqui desse mesmo volume de cilindro para o qual continua apontando vezes a velocidade do fluido ao quadrado lembrando-nos disso da energia cinética dividido por dois então com a energia total nesse ponto no sistema ao longo desse período de tempo quanta energia foi para dentro do sistema ela vai ser o trabalho realizado que é a pressão de entrada estou ficando sem espaço então deixe-me apagar tudo isso provavelmente eu vou ficar sem tempo mas tudo bem é melhor do que ficar confuso de volta para o que estávamos fazendo então a energia total entrando no sistema é o trabalho que está sendo feito para dentro do sistema e eu reescrevi isso nesse formato que é a pressão de entrada chamaremos isso de p1 vezes a massa dividida pela densidade do líquido seja ele o que for esse é o trabalho de entrada mais é com a energia potencial escrevi aqui essa é apenas a mgh onde m a massa desse volume de fluido h sua altura média e você quase e poderia pensar na altura do centro de massa acima da superfície do planeta uma vez que temos geac supomos que estamos na terra portanto isso é h1 porque a altura realmente muda então isso a energia potencial de entrada mas a energia cinética mv1 ao quadrado sobre dois essa energia cinética de entrada sabemos que isso tem que ser igual a energia que sai do sistema isso vai ser a mesma coisa no lado da saída isso vai ser igual o trabalho de saída então isso será a pressão de saída vez a massa dividida pela densidade mas a energia potencial de saída será apenas em mg h2oh mas a energia cinética de saída que será mv2 ao quadrado dividido por dois acabei de perceber que meu tempo acabou vou continuar isso no próximo vídeo vejo você em breve