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Derivação da equação de Bernoulli - parte 2

Este é o segundo de dois vídeos nos quais derivamos a equação de Bernoulli. Na segunda metade do vídeo, começamos um exemplo de um problema no qual o líquido sai por um buraco em um contêiner. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA13C Esta é só uma revisão rápida do que estávamos fazendo no último vídeo: nós tínhamos este tubo de forma estranha, e o fluido entrando tinha a velocidade de entrada "v₁". A pressão do lado esquerdo empurrando para a direita é "p₁", e a área deste orifício é "A₁". E o que acabamos de estabelecer no último vídeo é que dissemos, pela lei da conservação de energia, que, essencialmente, os joules (J), a energia neste ponto do sistema ou o que estamos colocando no sistema, tem que ser igual a energia que sai do sistema. Usamos essa informação para estabelecer essa equação grande, mas não é muito complicada. Nós descobrimos que o trabalho de entrada (τₑ) no sistema era a pressão de entrada (p₁) vezes a massa do volume (m) sobre o período de tempo dividido pela densidade (ρ) de qualquer tipo de líquido que tínhamos, que era a energia potencial (EP). Isso é tipicamente "mgh", onde a massa é a massa desta coluna de fluido. Estamos dizendo o quanto de trabalho foi feito ao longo de um período de tempo "t". É assim que eu iria pensar sobre isso. Quanta energia existiu ao longo de um período de tempo "t"? A energia cinética durante esse período de tempo teria sido a massa desse volume de fluido vezes a sua velocidade ao quadrado divididos por 2. Isso é a típica energia cinética (mv²/2). Claro, isso tem que ser igual, essencialmente, à energia de saída, então esse é o trabalho de saída (τₛ) ou o quanto de trabalho uma coluna de água poderia executar no lado de saída. É um volume equivalente de água, lembre-se disso. Em qualquer período de tempo "t", qualquer que fosse esse volume de água, um volume equivalente de água... Talvez será um cilindro mais comprimido agora, porque está indo mais rápido. Então, no lado de saída, é deste cilindro mais comprido que estamos falando, mas será o mesmo volume e a mesma massa. Então, o que dizemos é que o trabalho que essa coluna pode fazer nesse mesmo período de tempo, seria a pressão de saída vezes a massa dessa coluna dividido pela densidade da coluna, que é a mesma, porque a densidade do líquido é a mesma o tempo todo, vezes a massa desta coluna, que é a mesma, porque a densidade do líquido é mesma o tempo todo, vezes a massa desta coluna, que é a mesma que a massa desta coluna, porque o volume e a densidade não mudaram. Agora, esta coluna tem mais energia potencial. Está para cima, em "h₂", que eu estou supondo que seja mais alta que "h₁". Essa energia cinética é apenas a massa desse cilindro de fluido vezes a sua velocidade, que é a velocidade de saída dividida por 2. Esta é a energia potencial de saída (EPₛ), e esta é a energia cinética de saída (ECₛ), elas são iguais uma das outra. Essa configuração é a equação de Bernoulli, mas vamos ver se conseguimos limpá-la um pouco para que possamos nos livrar de variáveis que não precisamos saber. Uma coisa que vemos é que existe um "m" em cada expressão, vamos nos livrar dele. Divida ambos os lados dessa equação por "m", nós conseguimos isso. Eu não gosto dessa densidade no denominador aqui, então, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação pela densidade. E o que nos resta é... Deixe-me ver. "p₁", a pressão de entrada, mais... e estamos multiplicando tudo por esse "ρ" (rho), essa densidade, portanto, temos: a pressão de entrada (p₁) mais "ρgh₁", altura de entrada, altura inicial, mais "ρv²/2". Este é "ρv²/2", e isso é igual a... Multiplicamos os dois lados por "ρ", de modo que obtemos a sua velocidade de entrada. Então, isso é igual a: pressão de saída mais densidade vezes a gravidade vezes a altura de saída. Eu escrevi dois números aqui, vamos apenas dizer que esta é a "pressão 2" (p₂), esta é a "altura 2" (h₂), mais "ρv₂²/2". Essa é equação de Bernoulli. Ela tem todas do que eu diria ser repercussões bem legais. Por exemplo, vamos supor que a altura permanece constante. Então, nesse caso, poderemos ignorar essas expressões do meio. Se a altura é constante, se eu tiver uma maior velocidade e toda essa expressão for constante, então minha pressão será mais baixa. Pense nisso! Se a altura é constante, isso não muda. Se essa velocidade aumenta, mas toda essa é constante, a pressão tem que diminuir. Da mesma forma, se a pressão aumentar, então a velocidade vai diminuir. Isso pode não ser intuitivo, mas do outro jeito, isso faz bastante sentido. Quando a velocidade aumenta, essa irá diminuir, e isso é realmente o que faz aviões voarem e todo tipo de coisas extraordinárias acontecerem. Vamos ver se conseguimos usar a equação de Bernoulli para fazer algo útil... Isso não deve ser muito difícil de memorizar, é pressão, então você tem essa expressão de energia potencial, mas em vez de massa, você tem densidade, você tem esta expressão de energia cinética... Não é mais energia cinética, porque nós a manipulamos um pouco, em vez de massa, você tem densidade. Tendo dito isso, vamos resolver um problema. Vou manter este aqui embaixo, já que provavelmente você não memorizou ainda. Deixe-me apagar todo o resto... Não é assim que eu queria apagá-lo, é assim que eu queria apagá-lo. Eu queria apagá-lo desse jeito sem me livrar de alguma coisa útil. Ok, está suficiente. Então, deixe-me limpar todas as coisas. Vamos dizer, então, que eu tenho um copo. Vou desenhar um copo. É mais fácil desenhar às vezes do que desenhar linhas retas e tudo isso. Não, isso é muito escuro, faço em roxo. Estou usando uma ferramenta super larga, eu tenho que mudar o comprimento. Ok, então este é o meu copo, ele tem um fluido, na verdade, vamos dizer que ele tem uma parte superior, e eu tenho algum fluido no mesmo. Por acaso ele é vermelho, nós não lidamos com fluidos vermelhos até agora. Deixe-me... Eu não queria fazer isso. Então, você sabe que há um fluido ali. E vamos dizer que não existe ar aqui. Então, isto é um vácuo. Digamos que "h", não sabemos quais são as unidades, mas vamos dizer "h" metros abaixo da superfície do fluido. Tudo isso é fluido aqui, faço um buraco bem ali e o líquido começa a jorrar. A minha pergunta para você é: qual é a velocidade de saída do fluido como uma função dessa altura? Deixe-me dizer pra você outra coisa. Vamos dizer que esse orifício é tão pequeno... vamos chamar a área desse orifício de "A₂', e vamos dizer que a área da superfície da água é "A₁". Vamos dizer que esse orifício é tão pequeno que a área da superfície... Vamos dizer que "A₂" é igual a 1 sobre 1.000 de "A₁". Este é um orifício pequeno em relação à área da superfície desse copo. Tendo dito isso, vamos ver o que podemos fazer para descobrir a sua velocidade de saída. A equação de Bernoulli nos diz que a pressão de entrada mais a energia potencial de entrada mais a energia cinética de entrada é igual à saída, etc. Então, qual é a pressão de entrada? Bem, a pressão de entrada, a pressão nesse ponto, não existe ar nem fluido acima dele, então a pressão nesse ponto é zero. Qual é a altura da entrada? Vamos supor que o orifício seja feito à altura "0h". É igual a zero, portanto, a altura de entrada "h₁" é apenas "h". Se esse é zero, então essa altura bem aqui é h. Qual é a velocidade de entrada? Sabemos, a partir da equação de continuidade, ou seja lá do que essa coisa foi chamada, que a velocidade de entrada vezes a área de entrada é igual a velocidade de saída vezes a área de saída. Também sabemos que a área de saída é igual a 1 sobre 1.000 da área de entrada. E esta é a "área 2", portanto sabemos que a velocidade de entrada vezes a "área 1" é igual à velocidade de saída vezes 1 sobre 1.000 da "área 1". Poderíamos dizer: "A₁ sobre 1.000", e dividir ambos os lados por "A₁". Sabemos também que a velocidade de entrada é igual a "v₂" sobre 1.000. Portanto, é bom saber isso. Essas são as três entradas no lado esquerdo da equação de Bernoulli. O que está do lado direito da equação de Bernoulli? O que é "p₂"? E qual é a pressão neste ponto? Ih, estou vendo aqui que o meu tempo acabou... Vou continuar isso no próximo vídeo!