Viscosidade e fluxo de Poiseuille

RKA10GM - Vamos considerar uma caixa vazia aqui e uma tampa. Vamos desprezar a resistência do ar ou de outras forças. Vamos considerar que vou encher essa caixa de água. Ela está cheia de água até o topo, praticamente transbordando, até o limite. Ao colocar esta tampa, se eu empurrar... veja, a água aqui está em contato com a superfície da tampa. Se eu empurrar a tampa para um lado ou para o outro, vou notar resistência por causa da água, que está em contato com a tampa. Isso quer dizer que a água é um fluido viscoso. E o que significa isso? Significa que a camada mais superior do líquido, que está em contato direto com a tampa, adquire a mesma velocidade com que a tampa está se deslocando quando eu a empurro. Se eu tivesse empurrado, por exemplo, a tampa da esquerda para a direita, o fluido aqui, a primeira camada de fluido, adquiriria a mesma velocidade da tampa. Existem forças aderentes entre as moléculas da água e da tampa que fazem com que, ao empurrar a tampa, ela puxe também a água junto. E a camada mais superior do fluido puxa a segunda camada. A segunda camada puxa a terceira camada e assim, sucessivamente. O que temos aqui é um gradiente de velocidades, e isso significa que, conforme vamos nos aprofundando no líquido, a velocidade vai ficando cada vez menor, de maneira que, quando se chega ao fundo, não há movimento. Então, naturalmente, se a tampa, ao ser empurrada da esquerda para a direita exerce uma força sobre o fluido, ele exerce uma força da direita para a esquerda sobre a tampa pela terceira lei de Newton. Essa força é chamada de força de viscosidade: Fv. E essa força Fv depende do quê? A força de viscosidade depende, dentre outros fatores, da área em contato entre a tampa e o fluido, não toda a área da tampa. Ou seja, temos a tampa inteira aqui, mas a força de viscosidade depende da área de contato entre a tampa e o fluido que seria, justamente, a área que estou destacando aqui com o contorno azul. Então a força de viscosidade é diretamente proporcional à área de contato entre a tampa e o fluido. Quanto maior a área, maior a força de viscosidade. Outra variável importante que tem efeito sobre a força de viscosidade é a velocidade com a qual se desloca a tampa. Quanto maior a velocidade, maior a força de viscosidade, maior esforço que tenho que fazer para deslocar a tampa. E a força de viscosidade é inversamente proporcional à profundidade do líquido, que vou chamar de "d". E a força de viscosidade depende também de uma variável indicada pela letra grega "η", que é a viscosidade do fluido. Talvez a viscosidade seja a parte mais interessante nesta nossa discussão. E a viscosidade, ou o coeficiente de viscosidade, indica, entre aspas, o quão grosso é o fluido com o qual estamos tratando aqui. Para que você tenha uma noção, o mel tem um coeficiente de viscosidade alto, a água já tem um coeficiente de viscosidade um tanto mais baixo e os gases têm o menor coeficiente de viscosidade. Qual é a unidade de medida utilizada para o "η"? Vamos resolver aqui para "η", isolar "η" na igualdade anterior. O "η" vai ser igual, então, à força de viscosidade multiplicada pela profundidade da caixa, do líquido, dividida pela área de contato, multiplicada pela velocidade. E a unidade de medida aqui, a força é medida em Newton. A distância, o comprimento, a profundidade aqui, em metro. A área, em m², e a velocidade, em m/s. Mas, sejamos práticos, se eu dividir por segundo, significa multiplicar o numerador por segundo. Podemos simplificar alguma coisa nessas unidades. Vamos ter metro cancelando com metro, o que sobra é Newton por m² vezes segundo. Mas já sabemos que Newton por m² é Pascal (Pa), então isso tudo equivale, simplesmente, a Pa·s. É uma unidade de medida um pouco estranha, mas é a que acaba ficando. Então o coeficiente de viscosidade é medido por uma ideia que relaciona pressão vezes tempo, Pa·s. Existe, entretanto, uma outra medida muito usada para a viscosidade, que é o Poise. 1 Poise é igual a 1/10 Pa·s, ou ainda, comumente usado, 10 Poise, que é normalmente abreviado pela letra "P", é igual a 1 Pa·s. E, na realidade, temos alguns exemplos: a água a 0 °C, no estado líquido, tem viscosidade de 1,8 mPa·s. Isso é dizer 1,8 centipoise (cP). A água a 20 °C tem viscosidade de 1,0 mPa·s ou 1,07 cP. Observe que, para a água, há uma relação entre a viscosidade e a temperatura. Normalmente, quanto mais gelado o fluido está, maior a sua viscosidade, o seu coeficiente de viscosidade. E um exemplo disso está quando se vai tentar dar a partida no carro e está muito frio lá fora, fazendo com que a viscosidade do óleo do motor esteja muito além do que normalmente é usado pelo motor, e isso pode dificultar a partida dele. O sangue, tipicamente, tem uma viscosidade de 3 a 4 mPa·s ou cP. O óleo de motor tem uma viscosidade na casa de 200 cP ou 200 mPa·s. O ar tem uma viscosidade da ordem de 0,018 cP. Se um fluido obedece a esta relação e o coeficiente de viscosidade dele não depende da velocidade de deslocamento, ele é chamado de fluido newtoniano. Se o coeficiente de viscosidade do fluido depende da velocidade, então ele é chamado de fluido não newtoniano. Pode parecer uma ideia estranha ficar empurrando uma tampa sobre uma caixa cheia de água ou fluido, mas isso tem uma importância razoável. Com essa ideia, pode-se determinar manualmente o coeficiente de viscosidade do fluido, e isso é um valor constante para ele. Sabendo o coeficiente de viscosidade, onde quer que esse fluido esteja se deslocando, pode-se tratar de conhecer o tipo de fluxo que vai acontecer. Vamos ver aqui uma ideia: imagine um tubo parado, no qual existe um fluxo de fluido, pode ser água ou pode ser sangue. Nas bordas, não há movimento do fluido. Na camada central, existe um movimento de maior velocidade. Conforme nos afastamos do centro, a velocidade vai diminuindo, temos um gradiente parabólico aqui, a mesma coisa para cá, até chegar na borda em que não há movimento. Se quisermos saber quanto volume desse fluido, quantos m³ desse fluido passam por um certo ponto por unidade de tempo, temos uma fórmula para isso. Essa fórmula é chamada de lei de Poiseuille. Ela diz que a quantidade de volume por tempo, m³/s, depende de ΔP multiplicando "π", multiplicando R⁴, dividido por 8ηL. É uma equação meio maluca, parece bastante complexa, mas vamos analisar. Vamos começar olhando para ΔP. ΔP é a diferença de pressão entre os dois pontos do tubo que estamos analisando, vamos chamar aqui de P₁ e aqui de P₂. Se P₁ e P₂ fossem o mesmo, não haveria muito fluxo aqui. É necessário haver uma diferença de pressão para que o fluxo aconteça. P₁ tem que ser maior que P₂ para que aconteça o fluxo no sentido que estamos colocando aqui. E o ΔP, que é igual a P₁ menos P₂, quanto maior for ΔP, maior o fluxo, naturalmente. "π" é um fator geométrico. R⁴, o "R" refere-se ao raio do tubo. "η" sabemos o que é: o coeficiente de viscosidade. E o fluxo do volume do líquido é inversamente proporcional à viscosidade, porque quanto mais viscoso for o fluido, mais resistência ele oferece para o fluxo e menos m³/s vamos ter. E o v/t também é inversamente proporcional ao "L", que representa o comprimento do tubo. Claro, quanto maior o tubo, mais tempo é necessário para que o volume de fluido passe por ele completamente. Essa é a lei de Poiseuille, que tem muitas aplicações na engenharia e na área médica. Atenção, estamos tratando de um fluido newtoniano, ou seja, a viscosidade dele não depende da velocidade com que o fluxo acontece. Estamos também assumindo que acontece aqui um fluxo laminar perfeito. O fluxo laminar significa que uma camada do fluido não atravessa para outra camada. Quando acontece de uma camada do fluido atravessar para outra, começamos a ter o que chamamos de turbulência. E havendo turbulência, é necessário um tratamento matemático muito mais complicado para lidar com isso. Então nas condições de um fluxo laminar para um fluido newtoniano, a lei de Poiseuille permite que se conheça a quantidade de volume do fluido que passa por um certo ponto por unidade de tempo. Até o próximo vídeo!