As superfícies normalmente não são perfeitamente horizontais. Aprenda como lidar com ladeiras!

O que são inclinações?

Escorregadores no parque, entradas de garagem e rampas de carregamento de caminhões são exemplos de planos inclinados. Planos inclinados, ou inclinações, são superfícies diagonais nas quais os objetos podem ficar em repouso, deslizar ou rolar para cima ou para baixo.
Planos inclinados são úteis porque podem reduzir a força necessária para mover um objeto verticalmente. Eles são considerados uma das seis máquinas simples clássicas.

Como usamos a segunda lei de Newton para lidar com planos inclinados?

Na maioria dos casos, resolvemos problemas envolvendo forças usando a segunda lei de Newton para as direções horizontal e vertical. Mas nos planos inclinados, normalmente estamos interessados no movimento paralelo à superfície da inclinação, então geralmente é mais útil usar a segunda lei de Newton para calcular as direções paralela e perpendicular à superfície do plano inclinado.
Isso significa que normalmente vamos usar a segunda lei de Newton para as direções perpendicular \perp e paralela \parallel à superfície do plano inclinado.
a=ΣFma=ΣFm\Large a_\perp=\dfrac{\Sigma F_\perp}{m} \qquad \qquad a_\parallel=\dfrac{\Sigma F_\parallel}{m}
Como a massa normalmente desliza paralelamente à superfície do plano inclinado e não se move perpendicularmente à superfície do mesmo plano, quase sempre podemos considerar que a=0a_\perp=0.

Como encontramos as componentes \perp e \parallel da força da gravidade?

Como vamos usar a segunda lei de Newton para as direções perpendicular e paralela à superfície do plano inclinado, vamos precisar determinar as componentes perpendicular e paralela da força da gravidade.
As componentes da força da gravidade são dadas no diagrama abaixo. Cuidado, as pessoas muitas vezes se confundem na hora de usar seno\text{seno} ou cosseno\text{cosseno} para uma determinada componente.

Qual é a força normal FNF_N em um objeto sobre um plano inclinado?

A força normal FNF_N é sempre perpendicular à superfície que exerce a força. Então, um plano inclinado vai exercer uma força normal perpendicular à superfície do plano inclinado.
Se não houver aceleração perpendicular à superfície do plano inclinado, as forças devem estar em equilíbrio na direção perpendicular. Examinando as forças mostradas abaixo, vemos que a força normal deve ser igual à componente perpendicular da força da gravidade, para garantir que a força resultante seja igual a zero na direção perpendicular.
Em outras palavras, para um objeto parado ou deslizando em um plano inclinado,
FN=mgcosθ\Large F_N=mg\text{cos}\theta

Como são os exemplos resolvidos envolvendo planos inclinados?

Exemplo 1: Trenó deslizando na neve

Uma criança desce uma ladeira nevada de trenó. O ângulo que a ladeira forma em relação à horizontal é θ=30o\theta=30^o e o coeficiente de atrito cinético entre o trenó e a ladeira é μk=0,150\mu_k=0{,}150. Juntas, as massas da criança e do trenó somam 65,0 kg65{,}0 \text{ kg}.
Qual é a aceleração do trenó descendo a ladeira?
Vamos começar desenhando um diagrama de forças.
Podemos usar a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano inclinado para obter
a=ΣFm(use a segunda lei de Newton para a direço paralela)a˜a_\parallel=\dfrac{\Sigma F_\parallel}{m} \quad \text{(use a segunda lei de Newton para a direção paralela)}
a=mgsenθFkm(insira as forças paralelas)a_\parallel=\dfrac{mg\text{sen}\theta-F_k}{m} \quad \text{(insira as forças paralelas)}
a=mgsenθμkFNm(insira a frmula da força de atrito cintico)oˊeˊa_\parallel=\dfrac{mg\text{sen}\theta-\mu_kF_N}{m} \quad \text{(insira a fórmula da força de atrito cinético)}
a=mgsenθμk(mgcosθ)m(insira mgcosθ para a força normal FN)a_\parallel=\dfrac{mg\text{sen}\theta-\mu_k(mg\text{cos}\theta)}{m} \quad \text{(insira } mg\text{cos}\theta \text{ para a força normal } F_N)
a=mgsenθμk(mgcosθ)m(cancele a massa que est no numerador e no denominador)aˊa_\parallel=\dfrac{\cancel mg\text{sen}\theta-\mu_k(\cancel mg\text{cos}\theta)}{\cancel m} \quad \text{(cancele a massa que está no numerador e no denominador)}
a=gsenθμk(gcosθ)(sinta-se aliviado por perceber que a aceleraço no depende da massa)a˜a˜a_\parallel=g\text{sen}\theta-\mu_k(g\text{cos}\theta)\quad \text{(sinta-se aliviado por perceber que a aceleração não depende da massa)}
a=(9,8ms2)sen30o(0,150)(9,8ms2)cos30o(insira os valores numricos)eˊa_\parallel=(9,8\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2})\text{sen}30^o-(0,150)(9,8\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2})\text{cos}30^o\quad \text{(insira os valores numéricos)}
a=3,63ms2(calcule e comemore)a_\parallel=3,63\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\quad \text{(calcule e comemore)}

Exemplo 2: Entrada de garagem íngreme

Uma pessoa está construindo uma casa e quer saber o quão íngreme pode fazer a entrada de sua garagem e estacionar o carro sem que ele escorregue. Ela sabe que o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o chão da entrada da garagem é de 0,750{,}75.
Qual é o ângulo máximo a partir da horizontal que a pessoa pode usar para fazer sua entrada da garagem e ainda estacionar o carro sem escorregar?
Vamos começar usando a segunda lei de Newton para a direção paralela.
a=ΣFm(use a segunda lei de Newton para a direço paralela)a˜a_\parallel=\dfrac{\Sigma F_\parallel}{m} \quad \text{(use a segunda lei de Newton para a direção paralela)}
a=mgsenθFsm(insira as forças paralelas da gravidade e do atrito esttico)aˊa_\parallel=\dfrac{mg\text{sen}\theta-F_s}{m} \quad \text{(insira as forças paralelas da gravidade e do atrito estático)}
0=mgsenθFsm(como o carro no est escorregando, a aceleraço  zero)a˜aˊa˜eˊ0=\dfrac{mg\text{sen}\theta-F_s}{m} \quad \text{(como o carro não está escorregando, a aceleração é zero)}
0=mgsenθFs(multiplique os dois lados por m)0=mg\text{sen}\theta-F_s \quad \text{(multiplique os dois lados por }m)
0=mgsenθFs max(considere que Fs  igual ao seu valor mximo eˊaˊFs max)0=mg\text{sen}\theta-F_{s \text{ max}} \quad \text{(considere que }F_s \text{ é igual ao seu valor máximo }F_{s\text{ max}})
0=mgsenθμsFN(insira a frmula da força mxima de atrito estticooˊaˊaˊ)0=mg\text{sen}\theta-\mu_s F_N\quad \text{(insira a fórmula da força máxima de atrito estático})
0=mgsenθμs(mgcosθ)(insira a expresso da força normal em um plano inclinadoa˜)0=mg\text{sen}\theta-\mu_s (mg\text{cos}\theta)\quad \text{(insira a expressão da força normal em um plano inclinado})
0=mgsenθμs(mgcosθ)(divida os dois lados por mg)0=\cancel {mg}\text{sen}\theta-\mu_s (\cancel {mg}\text{cos}\theta)\quad \text{(divida os dois lados por }mg)
0=senθμs(cosθ)(sinta-se aliviado por perceber que o ngulo no depende da massa do carro)aˆa˜0=\text{sen}\theta-\mu_s (\text{cos}\theta)\quad \text{(sinta-se aliviado por perceber que o ângulo não depende da massa do carro)}
senθ=μs(cosθ)(calcule o senθ)\text{sen}\theta=\mu_s (\text{cos}\theta)\quad \text{(calcule o sen}\theta)
senθcosθ=μs(divida os dois lados por cosθ)\dfrac{\text{sen}\theta}{\text{cos}\theta}=\mu_s \quad \text{(divida os dois lados por cos}\theta)
tanθ=μs(substitua senθcosθ por tanθ)\text{tan}\theta=\mu_s \quad \text{(substitua }\dfrac{\text{sen}\theta}{\text{cos}\theta} \text{ por tan}\theta)
θ=tan1(μs)(use a tangente inversa dos dois lados)\theta=tan^{-1}(\mu_s) \quad \text{(use a tangente inversa dos dois lados)}
θ=tan1(0,75)(insira os valores numricos)eˊ\theta=tan^{-1}(0,75) \quad \text{(insira os valores numéricos)}
θ=37o(calcule e comemore)\theta=37^o \quad \text{(calcule e comemore)}
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