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Biblioteca de Física
Tração apimentada
David mostra como resolver um problema mais complexo de tração no qual uma lata de pimentas está pendurada em duas cordas na diagonal. Versão original criada por David SantoPietro.
Quer participar da conversa?
- Quando ele começou a resolver eu achei que eu tinha errado, pois fiz ligeiramente diferente. Apliquei a primeira lei de Newton, isto é, uma vez que a lata está em repouso, então a força resultante vertical e a força resultante horizontal são ambas nulas. Segue imediatamente que 30N = T2sen60 +T1sen30 e que T1cos30=T2cos60, chegando, por conseguinte, ao mesmo resultado ao resolver tal sistema.(6 votos)
Transcrição de vídeo
RKA18MP Finalmente, chegou a hora de revermos
nosso problema do molho de pimenta picante. Aqui nós temos nossa lata de molho
de pimenta pendurada por duas cordas. O que a gente quer saber aqui
é a tensão nessas duas cordas. Talvez você ache esse problema monstruoso
e fique até com um pouco de medo, e você pode estar achando que nós vamos
usar uma estratégia nova para resolvê-lo. Mas você está enganado! Meu amigo,
não sofra por antecedência. Nós vamos usar o mesmo método
que utilizamos nos vídeos anteriores: vamos aplicar
o mesmo passo a passo que utilizamos para resolver os outros problemas
que envolviam tensão, porque esse método nos permite descobrir
a resposta para a nossa pergunta. Então, não é necessário querer resolvê-lo
de outra forma. Nosso método funciona! Então, vamos começar desenhando
o nosso diagrama de forças. Nós sempre devemos começar a partir dele, para compreender um pouco melhor como
essas forças estão atuando sobre esta lata. E a primeira força que a gente tem aqui é a força mais importante que está atuando
sobre esta lata, que é a força gravitacional. E a força gravitacional
é uma força apontada para baixo. E como a gente sabe,
a gente consegue determinar a força gravitacional fazendo o produto entre a massa do molho
de pimenta e a aceleração da gravidade. A massa do molho de pimenta, neste caso, é igual a 3 quilogramas (kg), conforme a gente já viu. E a aceleração da gravidade na Terra
é 9,8 metros por segundo ao quadrado (m\s²), mas a gente pode arredondar isto aqui
para 10, só para facilitar as continhas. Então, a gente coloca 10 m\s². O resultado disto aqui vai ser
igual a 30 newtons (N). Então, a força gravitacional que está atuando
sobre esta lata de pimenta é igual a 30 N. Porém, a força gravitacional não é a única força
que está atuando sobre a lata de pimenta. A gente ainda tem outras duas forças aqui: a tensão 1 (T₁), a força da primeira corda, e a tensão 2 (T₂), exercida pela segunda corda. E como a gente sabe,
a corda não empurra a lata, então a força de tensão
não está empurrando esta lata, ela apenas está puxando,
a força de tensão só pode puxar. Então, esta força está apontada
para esta direção aqui. Inclusive, a gente pode colocar esta força
aqui no nosso diagrama de forças. Então, a gente pode colocar a T₁ aqui. Aqui, encontramos a T₁. Porém, como eu disse, ela não é
a única força exercida por uma corda: ainda tem esta outra corda aqui
exercendo esta outra tensão. E esta tensão também
não está empurrando a lata, ela está apenas puxando
para esta direção aqui. Então, a gente também pode colocar
esta tensão aqui no diagrama de forças. Ela está apontada para esta direção
aqui, então esta é a T₂. Seguindo nosso passo a passo, agora que
já representamos as forças neste diagrama, a gente pode usar a segunda lei de Newton
para determinar aquilo que a gente quer. E, neste caso, a gente pode aplicar
a segunda lei de Newton em duas direções: na direção horizontal e na direção vertical. E aí, você pode escolher
em qual direção você quer começar. Neste caso, aqui eu vou começar
pela direção vertical. Mas por que eu vou começar
pela direção vertical? Porque é uma direção que a gente
já possui alguma informação: a gente já conhece esta força da gravidade que está na direção vertical e que vale 30 N. Então, vale a pena a gente
começar por esta direção. Claro, não teria problema
começar pela direção horizontal, mas é muito legal de começar por uma direção
da qual já possuímos alguma informação. Então, vamos lá: aplicando
a segunda lei de Newton, a gente tem que a aceleração é igual à força resultante, que é o somatório das forças, sobre a massa. Nest e caso, como a gente vai observar
primeiro aqui na direção vertical, a aceleração vai ser na vertical, e a força resultante também
vai ser na direção vertical. A gente vai ter aqui
o somatório de todas as forças que estão atuando na direção "y",
na direção vertical. Como a nossa lata de pimenta está em repouso, e ela não se encontra nem em um elevador nem em um foguete
que está sofrendo uma aceleração, a aceleração, neste caso aqui,
vai ser igual a zero. Então, a gente pode dizer que a aceleração
na vertical é igual a zero. E isto vai ser igual à força
resultante atuando na vertical. A gente já conhece uma destas forças,
que é a força gravitacional, 30 N. Agora, esta força gravitacional
vai ser positiva ou negativa? A gente definiu nos vídeos anteriores que, quando uma força está apontada para cima, a gente diz que ela é positiva, e quando ela está apontada para baixo,
a gente diz que ela é negativa. Neste caso, como a força gravitacional
está apontada para baixo, a gente diz que ela é negativa. Então, a gente vai ter aqui -30 N. Eu poderia colocar aqui -mg, já que a força gravitacional
é a massa vezes a gravidade. No entanto, como a gente já calculou isso,
a gente coloca aqui direto -30 N, ok? Beleza, agora a minha pergunta é: esta é a única força que está atuando na vertical? A resposta é não! A gente tem estas duas forças, T₁ e T₂, sendo que parte da T₁ está atuando
na horizontal, e parte atua na vertical. Inclusive, a gente pode decompor
essa força nestas duas direções. Rapidamente, a gente percebe que esta tensão
tem uma parte na vertical e uma na horizontal. Então, a gente tem uma componente
dela aqui na direção vertical. Inclusive, a gente pode chamar
esta componente de T₁y, e é esta parte que a gente
vai colocar aqui na equação. A gente não se preocupa agora
com a componente na direção horizontal, apenas esta componente na direção vertical. E a minha pergunta agora é:
esta componente é positiva ou negativa? Como ela está apontada para cima, e a gente já definiu que tudo
o que está apontado para cima é positivo, este T₁y vai entrar aqui positivo. Então, a gente vai ter +T₁y. Mas, novamente: não tem só essas
duas forças atuando aqui na vertical. A gente ainda tem esta T₂, que parte está
para a esquerda e parte está para cima. A gente pode até colocar
aqui nesta representação, e a gente percebe que tem parte aqui
na direção horizontal e parte na vertical. A gente tem aqui esta componente
da T₂ na direção vertical que, inclusive, a gente pode chamar de T₂y. Então, a gente coloca aqui essa parte T₂y. Mas, novamente: este T₂y
vai ser positivo ou negativo? Este T₂y vai ser positivo,
porque ele está apontado para cima. Então, a gente pode somar aqui: +T₂y. Isso tudo, claro, dividido pela massa. E quanto que vale a massa
da lata de molho de pimenta? 3 kg, então a gente pode colocar aqui os 3 kg. Agora, a gente pode multiplicar por 3kg
em ambos os lados desta equação. Então, a gente vai ter: 3 vezes zero, que é igual a zero, então a gente já pode colocar aqui um zero. Isto vai ser igual apenas à esta parte
que está aqui no numerador, já que, multiplicando tudo isto por 3, eu vou
anular com este 3 aqui no denominador. Então a gente vai ter: -30 N mais T₁y, mais T₂y. E pronto: aqui, a gente chegou a uma equação. Aí, você vai dizer para mim: "Olha só, professor, eu não tenho como sair disto aqui agora, já que a gente tem apenas
uma equação e duas incógnitas. O que eu posso fazer neste caso?"
Bem, meu amigo, não se assuste! O problema ainda não acabou.
A gente aplicou a segunda lei de Newton apenas à direção vertical. A gente pode fazer o mesmo,
agora à direção horizontal. Então, é isso que a gente
vai fazer aqui agora: a aceleração na direção
horizontal vai ser igual ao somatório das forças, ou seja,
a força resultante na direção horizontal, dividido pela massa
da lata de molho de pimenta. Novamente, como esta lata
se encontra em repouso, e ela não vai mudar
este estado de movimento, a aceleração dela na direção horizontal
também vai ser igual a zero. Então, a gente pode simplesmente
colocar um zero aqui. Isto vai ser igual à força resultante
atuando na direção horizontal, mas quais são as forças que estão
atuando na direção horizontal? Como a gente viu aqui, tanto a T₁ quanto a T₂ são forças que estão parcialmente
para a direção vertical e parcialmente para a direção horizontal. No caso da T₁, parte dela
se encontra aqui apontada para cima, e parte se encontra aqui,
apontada para a direita. Então, a gente tem aqui T₁x. Como a gente já definiu
nos vídeos anteriores, tudo o que está apontado
para a direita é positivo e tudo está apontado
para a esquerda é negativo. Então, a gente vai colocar
esta T₁x sendo positiva. Teremos +T₁x. Mas ela não é a única força atuando aqui
na horizontal sobre a lata de molho de pimenta. A gente ainda tem parte desta T₂ aqui que, como a gente viu,
parte está apontado para cima e parte está apontada
para a esquerda neste caso. A gente vai ter aqui uma tensão 2... uma T₂x. Essa T₂, como está apontada
para a esquerda, vai ser negativa. Então, a gente coloca aqui -T₂x, ok? Então, somando T₂x em ambos os lados
da equação, a gente anula esta parte aqui
e fica com T₂x do outro lado. Então, a gente chega à conclusão
de que T₁x vai ser igual a T₂x. E isso faz muito sentido, T₁x ser igual a T₂x,
porque, se a gente observar aqui, e claro que meu desenho não está
representando muito bem isso, é claro que estas duas forças que estão aqui
na direção horizontal têm que se anular. Então, esta força tem que ter
a mesma magnitude que esta força para que estas duas forças se anulem e esta lata não sofra
uma aceleração nesta direção. E o legal é que, chegando a este ponto,
você começa a ver uma luz no fim do túnel, não é? Você já começa a ver que
tem coisas aqui que são iguais, e isso vai ser muito importante para a gente. Então, vamos separar estas duas
equações que a gente já tem aqui. Essa... que T₁x = T₂x, e esta outra equação
que a gente também tem aqui. Então, nós temos estas duas equações
que são muito importantes aqui para a gente. Mas como objetivo do nosso problema não é
encontrar as componentes das tensões, mas sim as tensões, a gente precisa
encontrar alguma forma de relacionar estas componentes com estas tensões,
e é o que a gente vai fazer aqui agora. E a primeira coisa que a gente pode fazer aqui
é perceber que a gente já conhece estes ângulos de inclinação
em relação a esta reta horizontal. Então, a gente pode traçar uma reta aqui no meio, e a gente forma
um triângulo retângulo deste lado e um triângulo retângulo deste outro lado. E, como a gente sabe, o triângulo retângulo
tem um ângulo que equivale a 90 graus. Se a gente tem 90° aqui e 30° aqui, este ângulo é igual a 60°. Mas este ângulo que é muito importante para ajudar a gente a determinar
este outro ângulo que está aqui. Porque, afinal de contas, se a gente quer
saber a componente que está na vertical, a gente precisa determinar esse ângulo aqui
para utilizar as propriedades trigonométricas. E aí, a gente consegue determinar
tanto a componente que está na vertical quanto a componente
que está na horizontal, ok? Como a gente sabe que tudo isto tem 90°, e aqui já tem 60°, o ângulo que está aqui nesta parte é 30°. E este ângulo aqui é igual
a este outro ângulo aqui. Então, a gente tem 30° aqui. Agora que a gente já conhece este ângulo, será que a gente consegue relacionar esta componente na vertical com a tensão? Sim! Para fazer isso, a gente utiliza
as propriedades da trigonometria. Inclusive, a gente pode usar a função seno. Como a gente sabe, o seno de um ângulo, que neste caso aqui, vai ser igual a 30°, então a gente tem aqui "seno de 30°". O seno de um ângulo é igual
ao cateto oposto sobre a hipotenusa. E agora, quem é o cateto oposto e quem é
a hipotenusa neste triângulo retângulo que a gente tem aqui? Neste triângulo retângulo, o cateto oposto vai ser a tensão "y", esta componente aqui. Então, a gente pode colocar o seno de 30° sendo igual ao cateto oposto, e o cateto oposto é esta componente, ou seja, T₁y. Isto dividido pela hipotenusa.
E quem vai a hipotenusa neste caso? Vai ser a T₁ aqui. A gente tem a Tensão 1. Como o nosso objetivo é resolver para a T₁y, e deixar apenas em função de T₁, a gente pode multiplicar por T₁
em ambos os lados desta equação e a gente vai chegar a algo parecido com isto: T₁y é igual a T₁ vezes o sen (30°). Então, a gente já tem a nossa
primeira relação: T₁y = T₁ × sen (30°). Inclusive eu vou colocar esta informação
aqui em cima, porque a gente vai precisar dela. Então, eu vou dizer que T₁y é igual a T₁ vezes o seno de 30°. Agora, a gente pode fazer o mesmo com T₂y,
e a ideia vai ser a mesma: a gente pode pegar
este outro triângulo retângulo aqui para relacionar este T₂y com este T₂. Sabendo que, aqui, nós temos um ângulo
de 90° e, aqui, um ângulo igual a 60°, este ângulo aqui vai ser igual a 30°, já que a soma dos ângulos internos
de um triângulo tem que ser igual a 180°. Como aqui tem 90° e aqui tem 60°,
faltam 30° para chegar a 180°. E se este ângulo é igual a 30°,
quanto que vale este ângulo aqui? Este ângulo vai valer 60°, a gente tem aqui 60°,
que é o mesmo ângulo que está aqui. Então, como é que a gente pode
relacionar este T₂y com T₂? A ideia é a mesma: T₂y é o cateto oposto. Então, a gente pega aqui o seno,
não mais de 30°, mas sim de 60°, e isto vai ser igual ao cateto oposto,
que é T₂y, sobre a hipotenusa, que é T₂. Então, a gente vai chegar
a uma expressão muito parecida com esta, em que a gente vai ter T₂y = T₂ × sen (60°). Então, a gente pode colocar
esta informação aqui: T₂y vai ser igual ao T₂ vezes o seno de 60°. Agora, para continuar relacionando
estas componentes com as tensões, a gente pode fazer o mesmo aqui na horizontal. E, neste caso, ao invés de usar a função seno, a gente vai usar a função cosseno. E aí, a gente vai que o cossseno de 30° é igual ao cateto adjacente, que é T₁x,
sobre a hipotenusa, que é T₁. E aí, no final da história, a gente vai chegar
a uma expressão da seguinte forma: T₁x = T₁ . cos (30°). Então, a gente pode colocar
essa informação aqui também: A gente vai ter que T₁x é igual a T₁ vezes o cosseno de 30°. E a ideia é a mesma para o T₂x: aqui, a gente tem o cateto adjactente sendo o T₂x. Usando a função cosseno,
a gente vai ter que o cosseno de 60° é igual a T₂x sobre T₂,
que é a nossa hipotenusa. Então, T₂x vai ser igual a T₂ × cos (60)°. Então, a gente coloca
esta informação aqui também: T₂x vai ser igual ao T₂ vezes o cosseno de 60°. Então, já temos estas informações aqui, estas relações das componentes
com as tensões. E agora, a gente vai pegar cada uma delas
e substituir nestas duas equações, para a gente chegar o valor das tensões, ok? E a primeira coisa que a gente pode
fazer aqui é pegar este T₂y e substituir nesta parte aqui da equação. Então, vamos fazer esta substituição: a gente vai ter que 0 = -30 N mais T₁y. Só que T₁y é igual a T₁ vezes o seno de 30°, então a gente coloca aqui: T₁ × sen (30°). Só que a gente já sabe quanto
que vale o sen (30°), não é? O sen (30°) é ½, ou 0,5 então a gente pode pegar
este T₁ e multiplicar por ½, que vai ser igual a T₁/2. A gente continua resolvendo,
então a gente vai ter aqui +T₂y. E a gente pode fazer a mesma coisa:
pegar este T₂y e substituir aqui. A gente vai ter que T₂y = T₂ × sen (60°). Então, a gente coloca aqui: T₂ × sen (60°). Só que a gente também já sabe
quanto que vale o sen (60°): é √3/2. Então, eu posso simplesmente
multiplicar isto aqui pela √3/2. Então, a gente já tem aqui
as tensões nesta equação, e vamos fazer o mesmo aqui
com estes T₁x e T₂x. A gente pode pegar o T₁x e substituir nesta parte aqui, e a gente vai ter T₁ × cos (30°). Então, a gente coloca aqui: T₁ × cos (30°). Mas a gente já sabe que
o cos (30°) é igual a √3/2. Então, eu posso multiplicar aqui pela √3/2. E isto vai ser igual a este T₂x: a gente também vai pegar essa relação
de T₂x e vai substituir aqui. Então, T₂x vai ser igual a T₂ × cos (60°). Então, a gente coloca aqui: T₂ × cos (60°), e o cos (60°) é igual a ½. T₂ vezes ½ é igual a T₂/2. Bem, agora vamos nos concentrar
nesta parte que está aqui embaixo. Deixa eu eu subir um pouquinho aqui para
a gente se concentrar apenas nesta parte. Então, a gente chegou estas duas relações: esta e outra parte aqui, não foi? A gente ainda pode melhorar
um pouco esta outra parte aqui, e eu vou continuar
trabalhando com ela aqui. Então, a gente tem T₁ × √3/2 = T₂/2. A gente pode multiplicar
por 2 em ambos os lados que a gente consegue anular os "2"
que estão nos denominadores. Então, a gente chega à seguinte expressão: que T₂ vai ser igual... neste caso, T₂ = T₁ √3. E aí, a gente pode colocar isto aqui: T₁√3. A gente tem uma relação
entre T₁ e T₂. T₂ = T₁√3. Vamos guardar isso aqui que vai
ser muito útil... "Muito útil para quê?" Para a gente pegar esta relação de T₂ e substituir nesta parte aqui desta outra equação. Então, vamos terminar de resolver
esta equação fazendo esta substituição. Então, a gente vai ter que zero é igual a -30 N mais T₁/2, a gente coloca aqui "T₁/2", mais T₂. Só que T₂ agora é T₁√3, então a gente coloca aqui: T₁√3. Isto dividido vezes √3 dividido por 2. A gente pode ir um pouquinho mais adiante e somar 30 N em ambos os lados da equação. Assim, a gente vai ter +30N, e, como a gente somou por 30 N
em ambos os lados, a gente vai anular esses 30 N aqui. E isto vai ser igual, T₁/2 aqui mais T₁√3, vezes √3. E √3 vezes √3 é igual a raiz quadrada de 3²,
que é igual ao próprio 3. Então, a gente vai ter que 3 vezes T₁\2. Colocando T₁ em evidência aqui, a gente vai 1 + 3/2, que é igual a 4/2. E 4/2 é igual a 2T₁. Então, a gente chega a esta expressão aqui: +30 N que é igual a 2T₁. Dividindo por 2 em ambos os lados,
a gente chega a esta expressão aqui: T₁ = 30 N/2, e isto é igual a 15 N. Então, a gente tem que T₁ = 15 N. A gente já conseguiu determinar
a tensão da primeira corda, mas falta determinar a tensão
da segunda corda, não é? Agora que a gente
já conhece a primeira tensão, a gente pode voltar aqui em cima e substituir aqui nesta outra equação
que a gente tem aqui. Então, vamos lá, T₂ = T₁√3.
Vou fazer aqui do lado: a gente tem que T₂ = T₁√3. só que T₁ = 15 N, então a gente pode dizer que T₂ vai ser igual a 15 N vezes a √3. Então, a gente chega
à conclusão que T₂ = 15√3 N. Este é o valor da tensão da segunda corda. Recapitulando o que a gente fez: a primeira coisa que a gente fez aqui
foi determinar as forças que estão atuando
sobre a lata do molho de pimenta. A gente viu que a gente tem três forças:
a força da gravidade apontada para baixo, a Tensão 1 exercida por esta corda,
apontada para a direita e para cima, e Tensão 2 exercida por esta outra corda,
apontada para a esquerda e para cima. Depois que a gente conseguiu determinar
estas três forças, a gente montou este diagrama de forças, porque é este diagrama que nos ajuda
a determinar aquilo que a gente quer, que, no nosso caso, foram estas tensões aqui. Feito isso, a gente aplicou a segunda lei
de Newton para direção vertical, e a gente chegou à conclusão
que a aceleração é zero. A gente também percebeu que
as forças que estão atuando na vertical são os 30 N, exercido
por esta força gravitacional aqui, que, neste caso, a gente colocou -30 N,
porque está apontado para baixo, e T₁y e T₂y, que são duas componentes destas duas forças, que estão apontadas para cima. E, por estarem apontadas para cima,
a gente colocou aqui um sinal de positivo. E aí, a gente dividiu isto
pela massa, que é igual a 3kg. Multiplicamos aqui pela massa em ambos
os lados e chegamos a esta expressão aqui. Fizemos o mesmo com a direção horizontal:
aplicamos a segunda lei de Newton, e a gente chegou à conclusão que
a componente da T₁ na horizontal é igual à componente da T₂
na direção horizontal. Depois que a gente chegou a estas duas relações, a gente precisou encontrar uma relação
entre as tensões e as componentes. Então, a gente utilizou
as expressões da trigonometria tanto a de seno quanto a de cosseno,
para chegar a estas quatro expressões aqui, estas quatro relações entre as componentes
e as tensões, tanto a T₁ quanto a T₂. Depois que a gente fez isso
a gente substituiu cada uma delas nas fórmulas que a gente tinha encontrado e a gente resolveu isso para as tensões. Resolvemos inicialmente para T₂, substituímos esta T₂ aqui
nesta equação para determinar T₁, e depois disto, a gente chegou
à T₁, que é igual a 15 N. E depois que a gente encontrou T₁, a gente voltou para esta relação da T₂ e chegamos à T₂, que é 15√3 N.