Tração apimentada

RKA18MP Finalmente, chegou a hora de revermos nosso problema do molho de pimenta picante. Aqui nós temos nossa lata de molho de pimenta pendurada por duas cordas. O que a gente quer saber aqui é a tensão nessas duas cordas. Talvez você ache esse problema monstruoso e fique até com um pouco de medo, e você pode estar achando que nós vamos usar uma estratégia nova para resolvê-lo. Mas você está enganado! Meu amigo, não sofra por antecedência. Nós vamos usar o mesmo método que utilizamos nos vídeos anteriores: vamos aplicar o mesmo passo a passo que utilizamos para resolver os outros problemas que envolviam tensão, porque esse método nos permite descobrir a resposta para a nossa pergunta. Então, não é necessário querer resolvê-lo de outra forma. Nosso método funciona! Então, vamos começar desenhando o nosso diagrama de forças. Nós sempre devemos começar a partir dele, para compreender um pouco melhor como essas forças estão atuando sobre esta lata. E a primeira força que a gente tem aqui é a força mais importante que está atuando sobre esta lata, que é a força gravitacional. E a força gravitacional é uma força apontada para baixo. E como a gente sabe, a gente consegue determinar a força gravitacional fazendo o produto entre a massa do molho de pimenta e a aceleração da gravidade. A massa do molho de pimenta, neste caso, é igual a 3 quilogramas (kg), conforme a gente já viu. E a aceleração da gravidade na Terra é 9,8 metros por segundo ao quadrado (m\s²), mas a gente pode arredondar isto aqui para 10, só para facilitar as continhas. Então, a gente coloca 10 m\s². O resultado disto aqui vai ser igual a 30 newtons (N). Então, a força gravitacional que está atuando sobre esta lata de pimenta é igual a 30 N. Porém, a força gravitacional não é a única força que está atuando sobre a lata de pimenta. A gente ainda tem outras duas forças aqui: a tensão 1 (T₁), a força da primeira corda, e a tensão 2 (T₂), exercida pela segunda corda. E como a gente sabe, a corda não empurra a lata, então a força de tensão não está empurrando esta lata, ela apenas está puxando, a força de tensão só pode puxar. Então, esta força está apontada para esta direção aqui. Inclusive, a gente pode colocar esta força aqui no nosso diagrama de forças. Então, a gente pode colocar a T₁ aqui. Aqui, encontramos a T₁. Porém, como eu disse, ela não é a única força exercida por uma corda: ainda tem esta outra corda aqui exercendo esta outra tensão. E esta tensão também não está empurrando a lata, ela está apenas puxando para esta direção aqui. Então, a gente também pode colocar esta tensão aqui no diagrama de forças. Ela está apontada para esta direção aqui, então esta é a T₂. Seguindo nosso passo a passo, agora que já representamos as forças neste diagrama, a gente pode usar a segunda lei de Newton para determinar aquilo que a gente quer. E, neste caso, a gente pode aplicar a segunda lei de Newton em duas direções: na direção horizontal e na direção vertical. E aí, você pode escolher em qual direção você quer começar. Neste caso, aqui eu vou começar pela direção vertical. Mas por que eu vou começar pela direção vertical? Porque é uma direção que a gente já possui alguma informação: a gente já conhece esta força da gravidade que está na direção vertical e que vale 30 N. Então, vale a pena a gente começar por esta direção. Claro, não teria problema começar pela direção horizontal, mas é muito legal de começar por uma direção da qual já possuímos alguma informação. Então, vamos lá: aplicando a segunda lei de Newton, a gente tem que a aceleração é igual à força resultante, que é o somatório das forças, sobre a massa. Nest e caso, como a gente vai observar primeiro aqui na direção vertical, a aceleração vai ser na vertical, e a força resultante também vai ser na direção vertical. A gente vai ter aqui o somatório de todas as forças que estão atuando na direção "y", na direção vertical. Como a nossa lata de pimenta está em repouso, e ela não se encontra nem em um elevador nem em um foguete que está sofrendo uma aceleração, a aceleração, neste caso aqui, vai ser igual a zero. Então, a gente pode dizer que a aceleração na vertical é igual a zero. E isto vai ser igual à força resultante atuando na vertical. A gente já conhece uma destas forças, que é a força gravitacional, 30 N. Agora, esta força gravitacional vai ser positiva ou negativa? A gente definiu nos vídeos anteriores que, quando uma força está apontada para cima, a gente diz que ela é positiva, e quando ela está apontada para baixo, a gente diz que ela é negativa. Neste caso, como a força gravitacional está apontada para baixo, a gente diz que ela é negativa. Então, a gente vai ter aqui -30 N. Eu poderia colocar aqui -mg, já que a força gravitacional é a massa vezes a gravidade. No entanto, como a gente já calculou isso, a gente coloca aqui direto -30 N, ok? Beleza, agora a minha pergunta é: esta é a única força que está atuando na vertical? A resposta é não! A gente tem estas duas forças, T₁ e T₂, sendo que parte da T₁ está atuando na horizontal, e parte atua na vertical. Inclusive, a gente pode decompor essa força nestas duas direções. Rapidamente, a gente percebe que esta tensão tem uma parte na vertical e uma na horizontal. Então, a gente tem uma componente dela aqui na direção vertical. Inclusive, a gente pode chamar esta componente de T₁y, e é esta parte que a gente vai colocar aqui na equação. A gente não se preocupa agora com a componente na direção horizontal, apenas esta componente na direção vertical. E a minha pergunta agora é: esta componente é positiva ou negativa? Como ela está apontada para cima, e a gente já definiu que tudo o que está apontado para cima é positivo, este T₁y vai entrar aqui positivo. Então, a gente vai ter +T₁y. Mas, novamente: não tem só essas duas forças atuando aqui na vertical. A gente ainda tem esta T₂, que parte está para a esquerda e parte está para cima. A gente pode até colocar aqui nesta representação, e a gente percebe que tem parte aqui na direção horizontal e parte na vertical. A gente tem aqui esta componente da T₂ na direção vertical que, inclusive, a gente pode chamar de T₂y. Então, a gente coloca aqui essa parte T₂y. Mas, novamente: este T₂y vai ser positivo ou negativo? Este T₂y vai ser positivo, porque ele está apontado para cima. Então, a gente pode somar aqui: +T₂y. Isso tudo, claro, dividido pela massa. E quanto que vale a massa da lata de molho de pimenta? 3 kg, então a gente pode colocar aqui os 3 kg. Agora, a gente pode multiplicar por 3kg em ambos os lados desta equação. Então, a gente vai ter: 3 vezes zero, que é igual a zero, então a gente já pode colocar aqui um zero. Isto vai ser igual apenas à esta parte que está aqui no numerador, já que, multiplicando tudo isto por 3, eu vou anular com este 3 aqui no denominador. Então a gente vai ter: -30 N mais T₁y, mais T₂y. E pronto: aqui, a gente chegou a uma equação. Aí, você vai dizer para mim: "Olha só, professor, eu não tenho como sair disto aqui agora, já que a gente tem apenas uma equação e duas incógnitas. O que eu posso fazer neste caso?" Bem, meu amigo, não se assuste! O problema ainda não acabou. A gente aplicou a segunda lei de Newton apenas à direção vertical. A gente pode fazer o mesmo, agora à direção horizontal. Então, é isso que a gente vai fazer aqui agora: a aceleração na direção horizontal vai ser igual ao somatório das forças, ou seja, a força resultante na direção horizontal, dividido pela massa da lata de molho de pimenta. Novamente, como esta lata se encontra em repouso, e ela não vai mudar este estado de movimento, a aceleração dela na direção horizontal também vai ser igual a zero. Então, a gente pode simplesmente colocar um zero aqui. Isto vai ser igual à força resultante atuando na direção horizontal, mas quais são as forças que estão atuando na direção horizontal? Como a gente viu aqui, tanto a T₁ quanto a T₂ são forças que estão parcialmente para a direção vertical e parcialmente para a direção horizontal. No caso da T₁, parte dela se encontra aqui apontada para cima, e parte se encontra aqui, apontada para a direita. Então, a gente tem aqui T₁x. Como a gente já definiu nos vídeos anteriores, tudo o que está apontado para a direita é positivo e tudo está apontado para a esquerda é negativo. Então, a gente vai colocar esta T₁x sendo positiva. Teremos +T₁x. Mas ela não é a única força atuando aqui na horizontal sobre a lata de molho de pimenta. A gente ainda tem parte desta T₂ aqui que, como a gente viu, parte está apontado para cima e parte está apontada para a esquerda neste caso. A gente vai ter aqui uma tensão 2... uma T₂x. Essa T₂, como está apontada para a esquerda, vai ser negativa. Então, a gente coloca aqui -T₂x, ok? Então, somando T₂x em ambos os lados da equação, a gente anula esta parte aqui e fica com T₂x do outro lado. Então, a gente chega à conclusão de que T₁x vai ser igual a T₂x. E isso faz muito sentido, T₁x ser igual a T₂x, porque, se a gente observar aqui, e claro que meu desenho não está representando muito bem isso, é claro que estas duas forças que estão aqui na direção horizontal têm que se anular. Então, esta força tem que ter a mesma magnitude que esta força para que estas duas forças se anulem e esta lata não sofra uma aceleração nesta direção. E o legal é que, chegando a este ponto, você começa a ver uma luz no fim do túnel, não é? Você já começa a ver que tem coisas aqui que são iguais, e isso vai ser muito importante para a gente. Então, vamos separar estas duas equações que a gente já tem aqui. Essa... que T₁x = T₂x, e esta outra equação que a gente também tem aqui. Então, nós temos estas duas equações que são muito importantes aqui para a gente. Mas como objetivo do nosso problema não é encontrar as componentes das tensões, mas sim as tensões, a gente precisa encontrar alguma forma de relacionar estas componentes com estas tensões, e é o que a gente vai fazer aqui agora. E a primeira coisa que a gente pode fazer aqui é perceber que a gente já conhece estes ângulos de inclinação em relação a esta reta horizontal. Então, a gente pode traçar uma reta aqui no meio, e a gente forma um triângulo retângulo deste lado e um triângulo retângulo deste outro lado. E, como a gente sabe, o triângulo retângulo tem um ângulo que equivale a 90 graus. Se a gente tem 90° aqui e 30° aqui, este ângulo é igual a 60°. Mas este ângulo que é muito importante para ajudar a gente a determinar este outro ângulo que está aqui. Porque, afinal de contas, se a gente quer saber a componente que está na vertical, a gente precisa determinar esse ângulo aqui para utilizar as propriedades trigonométricas. E aí, a gente consegue determinar tanto a componente que está na vertical quanto a componente que está na horizontal, ok? Como a gente sabe que tudo isto tem 90°, e aqui já tem 60°, o ângulo que está aqui nesta parte é 30°. E este ângulo aqui é igual a este outro ângulo aqui. Então, a gente tem 30° aqui. Agora que a gente já conhece este ângulo, será que a gente consegue relacionar esta componente na vertical com a tensão? Sim! Para fazer isso, a gente utiliza as propriedades da trigonometria. Inclusive, a gente pode usar a função seno. Como a gente sabe, o seno de um ângulo, que neste caso aqui, vai ser igual a 30°, então a gente tem aqui "seno de 30°". O seno de um ângulo é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. E agora, quem é o cateto oposto e quem é a hipotenusa neste triângulo retângulo que a gente tem aqui? Neste triângulo retângulo, o cateto oposto vai ser a tensão "y", esta componente aqui. Então, a gente pode colocar o seno de 30° sendo igual ao cateto oposto, e o cateto oposto é esta componente, ou seja, T₁y. Isto dividido pela hipotenusa. E quem vai a hipotenusa neste caso? Vai ser a T₁ aqui. A gente tem a Tensão 1. Como o nosso objetivo é resolver para a T₁y, e deixar apenas em função de T₁, a gente pode multiplicar por T₁ em ambos os lados desta equação e a gente vai chegar a algo parecido com isto: T₁y é igual a T₁ vezes o sen (30°). Então, a gente já tem a nossa primeira relação: T₁y = T₁ × sen (30°). Inclusive eu vou colocar esta informação aqui em cima, porque a gente vai precisar dela. Então, eu vou dizer que T₁y é igual a T₁ vezes o seno de 30°. Agora, a gente pode fazer o mesmo com T₂y, e a ideia vai ser a mesma: a gente pode pegar este outro triângulo retângulo aqui para relacionar este T₂y com este T₂. Sabendo que, aqui, nós temos um ângulo de 90° e, aqui, um ângulo igual a 60°, este ângulo aqui vai ser igual a 30°, já que a soma dos ângulos internos de um triângulo tem que ser igual a 180°. Como aqui tem 90° e aqui tem 60°, faltam 30° para chegar a 180°. E se este ângulo é igual a 30°, quanto que vale este ângulo aqui? Este ângulo vai valer 60°, a gente tem aqui 60°, que é o mesmo ângulo que está aqui. Então, como é que a gente pode relacionar este T₂y com T₂? A ideia é a mesma: T₂y é o cateto oposto. Então, a gente pega aqui o seno, não mais de 30°, mas sim de 60°, e isto vai ser igual ao cateto oposto, que é T₂y, sobre a hipotenusa, que é T₂. Então, a gente vai chegar a uma expressão muito parecida com esta, em que a gente vai ter T₂y = T₂ × sen (60°). Então, a gente pode colocar esta informação aqui: T₂y vai ser igual ao T₂ vezes o seno de 60°. Agora, para continuar relacionando estas componentes com as tensões, a gente pode fazer o mesmo aqui na horizontal. E, neste caso, ao invés de usar a função seno, a gente vai usar a função cosseno. E aí, a gente vai que o cossseno de 30° é igual ao cateto adjacente, que é T₁x, sobre a hipotenusa, que é T₁. E aí, no final da história, a gente vai chegar a uma expressão da seguinte forma: T₁x = T₁ . cos (30°). Então, a gente pode colocar essa informação aqui também: A gente vai ter que T₁x é igual a T₁ vezes o cosseno de 30°. E a ideia é a mesma para o T₂x: aqui, a gente tem o cateto adjactente sendo o T₂x. Usando a função cosseno, a gente vai ter que o cosseno de 60° é igual a T₂x sobre T₂, que é a nossa hipotenusa. Então, T₂x vai ser igual a T₂ × cos (60)°. Então, a gente coloca esta informação aqui também: T₂x vai ser igual ao T₂ vezes o cosseno de 60°. Então, já temos estas informações aqui, estas relações das componentes com as tensões. E agora, a gente vai pegar cada uma delas e substituir nestas duas equações, para a gente chegar o valor das tensões, ok? E a primeira coisa que a gente pode fazer aqui é pegar este T₂y e substituir nesta parte aqui da equação. Então, vamos fazer esta substituição: a gente vai ter que 0 = -30 N mais T₁y. Só que T₁y é igual a T₁ vezes o seno de 30°, então a gente coloca aqui: T₁ × sen (30°). Só que a gente já sabe quanto que vale o sen (30°), não é? O sen (30°) é ½, ou 0,5 então a gente pode pegar este T₁ e multiplicar por ½, que vai ser igual a T₁/2. A gente continua resolvendo, então a gente vai ter aqui +T₂y. E a gente pode fazer a mesma coisa: pegar este T₂y e substituir aqui. A gente vai ter que T₂y = T₂ × sen (60°). Então, a gente coloca aqui: T₂ × sen (60°). Só que a gente também já sabe quanto que vale o sen (60°): é √3/2. Então, eu posso simplesmente multiplicar isto aqui pela √3/2. Então, a gente já tem aqui as tensões nesta equação, e vamos fazer o mesmo aqui com estes T₁x e T₂x. A gente pode pegar o T₁x e substituir nesta parte aqui, e a gente vai ter T₁ × cos (30°). Então, a gente coloca aqui: T₁ × cos (30°). Mas a gente já sabe que o cos (30°) é igual a √3/2. Então, eu posso multiplicar aqui pela √3/2. E isto vai ser igual a este T₂x: a gente também vai pegar essa relação de T₂x e vai substituir aqui. Então, T₂x vai ser igual a T₂ × cos (60°). Então, a gente coloca aqui: T₂ × cos (60°), e o cos (60°) é igual a ½. T₂ vezes ½ é igual a T₂/2. Bem, agora vamos nos concentrar nesta parte que está aqui embaixo. Deixa eu eu subir um pouquinho aqui para a gente se concentrar apenas nesta parte. Então, a gente chegou estas duas relações: esta e outra parte aqui, não foi? A gente ainda pode melhorar um pouco esta outra parte aqui, e eu vou continuar trabalhando com ela aqui. Então, a gente tem T₁ × √3/2 = T₂/2. A gente pode multiplicar por 2 em ambos os lados que a gente consegue anular os "2" que estão nos denominadores. Então, a gente chega à seguinte expressão: que T₂ vai ser igual... neste caso, T₂ = T₁ √3. E aí, a gente pode colocar isto aqui: T₁√3. A gente tem uma relação entre T₁ e T₂. T₂ = T₁√3. Vamos guardar isso aqui que vai ser muito útil... "Muito útil para quê?" Para a gente pegar esta relação de T₂ e substituir nesta parte aqui desta outra equação. Então, vamos terminar de resolver esta equação fazendo esta substituição. Então, a gente vai ter que zero é igual a -30 N mais T₁/2, a gente coloca aqui "T₁/2", mais T₂. Só que T₂ agora é T₁√3, então a gente coloca aqui: T₁√3. Isto dividido vezes √3 dividido por 2. A gente pode ir um pouquinho mais adiante e somar 30 N em ambos os lados da equação. Assim, a gente vai ter +30N, e, como a gente somou por 30 N em ambos os lados, a gente vai anular esses 30 N aqui. E isto vai ser igual, T₁/2 aqui mais T₁√3, vezes √3. E √3 vezes √3 é igual a raiz quadrada de 3², que é igual ao próprio 3. Então, a gente vai ter que 3 vezes T₁\2. Colocando T₁ em evidência aqui, a gente vai 1 + 3/2, que é igual a 4/2. E 4/2 é igual a 2T₁. Então, a gente chega a esta expressão aqui: +30 N que é igual a 2T₁. Dividindo por 2 em ambos os lados, a gente chega a esta expressão aqui: T₁ = 30 N/2, e isto é igual a 15 N. Então, a gente tem que T₁ = 15 N. A gente já conseguiu determinar a tensão da primeira corda, mas falta determinar a tensão da segunda corda, não é? Agora que a gente já conhece a primeira tensão, a gente pode voltar aqui em cima e substituir aqui nesta outra equação que a gente tem aqui. Então, vamos lá, T₂ = T₁√3. Vou fazer aqui do lado: a gente tem que T₂ = T₁√3. só que T₁ = 15 N, então a gente pode dizer que T₂ vai ser igual a 15 N vezes a √3. Então, a gente chega à conclusão que T₂ = 15√3 N. Este é o valor da tensão da segunda corda. Recapitulando o que a gente fez: a primeira coisa que a gente fez aqui foi determinar as forças que estão atuando sobre a lata do molho de pimenta. A gente viu que a gente tem três forças: a força da gravidade apontada para baixo, a Tensão 1 exercida por esta corda, apontada para a direita e para cima, e Tensão 2 exercida por esta outra corda, apontada para a esquerda e para cima. Depois que a gente conseguiu determinar estas três forças, a gente montou este diagrama de forças, porque é este diagrama que nos ajuda a determinar aquilo que a gente quer, que, no nosso caso, foram estas tensões aqui. Feito isso, a gente aplicou a segunda lei de Newton para direção vertical, e a gente chegou à conclusão que a aceleração é zero. A gente também percebeu que as forças que estão atuando na vertical são os 30 N, exercido por esta força gravitacional aqui, que, neste caso, a gente colocou -30 N, porque está apontado para baixo, e T₁y e T₂y, que são duas componentes destas duas forças, que estão apontadas para cima. E, por estarem apontadas para cima, a gente colocou aqui um sinal de positivo. E aí, a gente dividiu isto pela massa, que é igual a 3kg. Multiplicamos aqui pela massa em ambos os lados e chegamos a esta expressão aqui. Fizemos o mesmo com a direção horizontal: aplicamos a segunda lei de Newton, e a gente chegou à conclusão que a componente da T₁ na horizontal é igual à componente da T₂ na direção horizontal. Depois que a gente chegou a estas duas relações, a gente precisou encontrar uma relação entre as tensões e as componentes. Então, a gente utilizou as expressões da trigonometria tanto a de seno quanto a de cosseno, para chegar a estas quatro expressões aqui, estas quatro relações entre as componentes e as tensões, tanto a T₁ quanto a T₂. Depois que a gente fez isso a gente substituiu cada uma delas nas fórmulas que a gente tinha encontrado e a gente resolveu isso para as tensões. Resolvemos inicialmente para T₂, substituímos esta T₂ aqui nesta equação para determinar T₁, e depois disto, a gente chegou à T₁, que é igual a 15 N. E depois que a gente encontrou T₁, a gente voltou para esta relação da T₂ e chegamos à T₂, que é 15√3 N.