Tratamento de sistemas (modo difícil)

RKA11C Aqui nós temos um problema clássico, que você provavelmente verá em todos os livros de Física. Esse problema nos pergunta o seguinte: "Se nós temos duas massas ligadas por uma corda, e essa corda passa por uma polia, qual será a aceleração das massas?" Em outras palavras, qual é a aceleração da massa de 3 kg e qual é a aceleração da massa de 5 kg? E, caso você esteja se perguntando "Mas o que é uma polia"?... Bem, isto aqui é uma polia. Esta peça bem aqui se trata de uma polia. "Mas para que serve uma polia?" Uma polia é um pequeno pedaço de plástico ou de metal que pode girar. Normalmente, a polia tem um sulco que permite que uma corda ou um fio passe sobre ele. "Ok, professor, mas o que isso faz?" Conforme isso gira, transforma a tensão horizontal, que está de um lado, em tensão vertical do outro lado ou vice-versa. Ele transforma forças verticais em forças horizontais. Ele permite que você transfira uma força de uma direção para outra direção. Então, é para isso que servem as polias. Um detalhe importante é que, se essa polia puder girar livremente, ou seja, se ela tiver uma massa tão pequena que a gente possa desconsiderar e se não houver nenhuma resistência para ambos os lados, então, a tensão neste lado será igual à tensão neste outro lado. Claro que nem sempre a tensão vertical será totalmente transformada nessa tensão horizontal. Os valores dessas tensões serão os mesmos apenas se essa polia puder girar livremente. Se sua massa for realmente muito pequena, então não haverá nenhuma razão inercial para que ela não rode livremente. Este é o nosso problema, vamos dizer que você queira saber qual será a aceleração da massa de 3 kg, e qual será a aceleração da massa de 5 kg. Antes de começarmos, preciso dizer que temos uma maneira fácil de se resolver isso, mas também temos uma maneira difícil. Claro que primeiro eu vou te mostrar a maneira difícil! E eu acho que vocês querem até começar pela fácil, não é? Mas vamos começar pela difícil, porque, se formos começar pelo caminho mais fácil, este caminho não fará nenhum sentido sem antes eu te mostrar o caminho difícil, ok? Um detalhe: apesar de ser o caminho difícil, ele realmente não é tão difícil assim. Estou falando que ele é apenas o caminho mais difícil, mas não é algo tão difícil de se resolver, ok? Um outro detalhe também: os professores de Física, normalmente, vão te mostrar o modo difícil de se resolver isso. Provavelmente, você já deve até saber como resolver esse problema através desse caminho. Então, vamos começar? Bem, o que queremos aqui é descobrir qual é a aceleração, e nós já sabemos como fazer isso. Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton. Então, vamos dizer que a aceleração em uma determinada direção, é igual à força resultante nessa mesma direção dividida pela massa. Mas agora o que vamos fazer? Qual massa vamos escolher para começar o nosso problema? Nós temos duas massas aqui. Uma coisa que podemos fazer é começar pela massa de 5 kg. Você pode escolher qualquer uma delas, não tem uma regra aqui não. Mas começando pela massa de 5 kg, eu vou dizer que a aceleração dessa massa será igual à força resultante aplicada sobre a massa de 5 kg dividida pela massa, que é 5 kg. Agora, o que você pode fazer é começar a analisar as forças em qualquer uma das duas direções. Nesse caso, nós vamos começar pela vertical ou pela horizontal? Já que essa caixa está acelerando horizontalmente e é exatamente isso que nós queremos descobrir, ou seja, que aceleração é essa, vamos começar pela direção horizontal. Então, vamos escrever isso aqui. Vamos colocar um "x" para saber que estamos começando pela direção horizontal. Então, agora nós podemos aplicar isso à Segunda Lei de Newton. Vamos substituir na fórmula. Então, a aceleração da caixa de 5 kg de massa na direção "x", vou usar aqui um "a₅ₓ", será igual a... Primeira coisa aqui: quais são as forças com as quais estamos lidando nesse problema? Para saber isso, nós precisamos desenhar nosso diagrama de forças, não é? Então, quais forças estão atuando sobre a massa de 5 kg? Nós temos a força da gravidade, e eu vou desenhá-la aqui para baixo, aqui nós temos o "Fg", e nós vamos ter uma força igual: a força normal, só que para cima. Então, a força normal deverá ser igual à força da gravidade. Claro, isso em magnitude, porque essa caixa provavelmente não está sofrendo aceleração na vertical. E não há razão para que isso aconteça, já que a mesa é bem rígida. Há ainda mais uma força atuando sobre essa caixa, há uma força para a direita, é a força de tensão. Como não há nenhum atrito sobre essa mesa, e como a polia também não está realizando nenhuma força sobre as massas, apenas transferindo a tensão, e, também, como neste problema nós vamos ignorar a resistência do ar, a tensão será a única força que nós temos atuando aqui. E agora vamos dividir isso pela massa da caixa, que é igual a 5 kg. Mas nós temos um problema, observe aqui comigo. Nós não sabemos a aceleração da massa de 5 kg e também não sabemos qual é a tensão. Nós não podemos resolver isso então. Normalmente, o que nós fazemos nesse caso é tentar resolver para a direção vertical, a outra direção. Mas isso também não será muito útil, já que o que temos aqui é que a força normal é igual à força da gravidade. Nós já sabemos isso, mas, afinal, em que isso nos ajuda? Em nada, não é? Então, o que faremos agora? Como você já pode ter notado, essa é somente a equação para a caixa de 5 kg de massa. O que podemos fazer agora é tentar resolver o problema para a caixa de 3 kg. Vamos voltar aqui para o nosso problema. Vamos dizer que a aceleração da caixa de 3 kg de massa é igual à força resultante dividida pela massa de 3 kg. Novamente, qual direção nós devemos escolher aqui? Nesse caso, a caixa está sofrendo uma aceleração na vertical. Então, vamos resolver isso para a direção vertical. Eu vou colocar aqui embaixo o "y", para nos lembrar de que estamos resolvendo isso para a direção vertical. Então, quais as forças que estão atuando sobre a caixa nessa direção? Podemos descobrir isso fazendo o nosso diagrama de forças. Nós vamos ter a força da gravidade sobre a caixa de 3 kg de massa e nós teremos uma outra força aqui: a tensão. Como nós tivemos deste outro lado aqui, a tensão sobre este lado da corda... Será a mesma tensão desse lado aqui, já que as duas tensões têm a mesma magnitude. Isso porque assumimos que a polia não oferece resistência, seja devido à sua massa ou por causa do atrito. Assim, assumindo que a massa dela é insignificante, não haverá nenhum atrito. Então, aqui nós teremos apenas a tensão. Por esse motivo, essas tensões serão iguais. Então, vou desenhar igual ao que eu fiz aqui em cima. Mais um detalhe: essa tensão não terá uma magnitude igual à força da gravidade. Eu tenho a força da gravidade aqui, e essa tensão será menor, porque essa massa de 3 kg está acelerando para baixo, então essas forças não se equilibram. A força para cima, que é a tensão, será menor do que a força da gravidade. Mas esta tensão aqui será a mesma que esta tensão aqui. Agora nós podemos substituir isso na fórmula. Então, temos que a aceleração da caixa de 3 kg na vertical é igual... Nós temos duas forças verticais aqui, nós temos a tensão que será positiva, porque nós já definimos que as forças para cima são positivas, e nós temos a gravidade para baixo e ela será negativa, porque é uma força para baixo. E nós já definimos que as forças apontadas para baixo são negativas, certo? A gravidade na Terra equivale a 9,8 m/s². Vamos colocar isso aqui. Mas agora, o que vamos fazer? Nós podemos dividir por 3 kg, porque essa é a nossa massa. Mas ainda temos um problema: nós não sabemos qual é a aceleração e qual é a tensão. Então, temos o mesmo problema que antes. O que podemos fazer nesse caso? Eu sei que você já percebeu que nós temos as mesmas incógnitas, não é? Neste lado nós temos a aceleração e a tensão e, neste outro lado, nós também temos a aceleração e a tensão. Já que, em ambos os lados, nós temos as mesmas incógnitas, talvez nós devêssemos combiná-las, e é exatamente isso que nós vamos fazer! Nós temos a tensão em ambas as equações. A gente pode resolver a tensão neste lado, porque aqui é mais fácil, ok? Nesse lado nós temos que a tensão é igual a "5 kg vezes a₅ₓ". Aqui nós sabemos qual é a tensão. A tensão equivale a isso aqui. E a tensão nesse lado é a mesma tensão neste lado aqui. Então, eu posso pegar isso e substituir aqui nessa tensão. Vamos ver o que temos agora. Nós temos agora que "a₃y" será igual à tensão que acabamos de descobrir, que é "5 kg vezes a₅ₓ". Isso é o que sabemos até agora, então vou copiar o restante da fórmula que está aqui em cima para colar aqui embaixo. E o que temos até agora? Nós temos a massa de 3 kg, e eu vou acrescentar isso aqui embaixo. Será que isso nos ajudou um pouco? Bom, sim, ajudou um pouco, porque agora nossas únicas incógnitas são as acelerações. Mas ainda temos um problema: essas não são as mesmas acelerações. Esta aceleração aqui é a aceleração que corresponde à da caixa de 3 kg de massa, e essa é uma aceleração vertical. Já esta outra aceleração aqui é a da caixa de 5 kg de massa e se trata de uma aceleração horizontal. Eu vou fazer algumas considerações aqui, e eu sei que algumas pessoas podem não gostar disso, mas fazer isso é fundamental para resolver esse problema. A ideia chave é esta que vou lhe falar: se essa massa de 3 kg se mover para baixo, digamos que um metro, se ela se mover um metro para baixo, significa que essa caixa de 5kg de massa está se movendo um metro para frente. Porque, se isso não acontecer, quer dizer que ela não forneceu esse um metro de corda necessário para que essa caixa de 3 kg se mova para baixo. E isso até pode acontecer, caso a corda se rompa ou estique. Vamos assumir que a nossa corda não rompeu e nem se esticou. Mas isso é uma mentira, porque nós sabemos que, em toda a corda, há um estiramento sobre uma determinada tensão. Vamos supor que o estiramento é desprezível, ok? Assim, o meu argumento é que, se esta caixa de 3 kg se mover um pouco para baixo, esta caixa de 5 kg de massa tende a avançar a mesma quantidade, para ceder essa quantidade de corda necessária para a caixa de 3 kg se mover para baixo, na mesma proporção. Caso contrário, quero você pense um pouco a respeito disso. Se a caixa de 5 kg ficar parada enquanto a caixa de 3 kg se move, ou se a caixa de 3 kg se mover mais que a caixa de 5 kg, provavelmente essa corda está esticando ou se rompendo. Se você ainda não entendeu isso, pause este vídeo um pouco e pense a respeito, porque você realmente precisa entender isso para a gente seguir no vídeo, ok? Bem, se você já se convenceu, vamos continuar! Se essa caixa de 3 kg estava se movendo para baixo a uma certa velocidade, digamos que ela estava se movendo a 2 m/s, a caixa de 5 kg também deve se mover a 2 m/s para poder ceder a corda necessária, para que a caixa de 3 kg se mova para baixo. Finalmente, se você acredita em tudo isso, não será muito difícil se convencer de que essa caixa de 3 kg, não importa qual a aceleração para baixo que ela venha a ter, e a caixa de 5 kg terão a mesma aceleração, ou seja, a mesma magnitude de aceleração. Mas isso, claro, considerando que a corda não se partiu nem esticou, já que foi o que nós assumimos, não é? Enfim, o que estou dizendo é que a aceleração da caixa de 3 kg na direção "y" tem a mesma magnitude que a aceleração da caixa de 5 kg na direção "x". Assim, apesar das grandezas serem iguais, o sinal não precisa ser o mesmo. Então, essa caixa de 3 kg tem uma aceleração negativa, porque ela está apontada para baixo... Nós assumimos que tudo que está apontado para cima é positivo e tudo que está apontado para baixo é negativo. E essa caixa de 5 kg tem uma aceleração positiva, porque ela está apontada para a direita. Da mesma forma, nós assumimos que para direita é positivo e para a esquerda negativo, ok? Ou seja, elas podem ter sinais diferentes, mas a magnitude será a mesma e, com certeza, tem que ter a mesma magnitude para que a corda seja cedida e permita que a caixa de 3 kg se mova. É por isso que podemos dizer que as grandezas são as mesmas. Nesse caso, como uma é negativa e a outra não, podemos dizer que a aceleração da caixa de 3 kg, que é vertical e para baixo, vai ser igual à aceleração negativa da caixa de 5 kg na direção "x". Nós também poderíamos escrever isso de outra forma, nós poderíamos escrever que a aceleração da caixa de 5 kg na direção "x" é igual à aceleração negativa da caixa de 3 kg na direção "y". Elas são diferentes apenas por causa do sinal negativo, e isso é importante aqui. Ok, então esse é o "pulo do gato" que precisamos para resolver o nosso problema! E isso nos permite colocar essa equação final em termos de uma única variável. Porque nós temos "a₃y" do lado esquerdo e sabemos que "a₃y" deve ser sempre igual a "-a₅ₓ". Se nós pegarmos isto aqui e substituirmos neste "a₃y" bem aqui, nós teremos "-a₅ₓ", que será igual a... Como nós já temos todas essas coisas aqui, vou apenas copiar e colar para poupar algum tempo, ok? Então, será igual a tudo isso aqui. Tudo que fizemos foi substituir o "a₃y", porque agora nós sabemos que ele é igual a "-a₅ₓ". Agora, olha aqui, nós temos uma equação com apenas uma incógnita. Então, só precisamos resolver para 'a₅ₓ'. Como ele está em ambos os lados, precisamos isolar em apenas um lado. Vamos aplicar um pouco de álgebra aqui. Vamos pegar isto aqui e mover para cima, para a gente ter um pouco de espaço, ok? Então, o que vamos fazer agora? Nós vamos resolver para "a₅ₓ", mas, primeiro, vamos nos livrar desse denominador. Vamos multiplicar ambos os lados por 3 kg. Então, vamos ter "-3 kg vezes a₅ₓ". Se multiplicamos ambos os lados por 3 kg, aqui teremos "5 kg vezes a₅ₓ". E nós ainda temos "-3 vezes 9,8", o que é igual a 29,4 N. Então, vamos logo colocar aqui 29,4 N. Vamos combinar os nossos termos "a", vamos passar esse "-3a" para o lado direito, adicionando em ambos os lados, e vamos adicionar esse 29,4 também em ambos os lados. Então, vamos ter os 29,4 N positivos e, se adicionarmos em ambos os lados, podemos cortá-lo do lado direito. Agora vamos adicionar "3 kg vezes a₅ₓ" em ambos os lados, e então podemos cortá-lo do lado esquerdo. Com isso, nós vamos obter "5 kg vezes a₅ₓ mais 3 kg vezes a₅ₓ". Agora, a gente já está quase terminando! Então, olha aqui do lado direito: nós podemos colocar o "a₅ₓ" em evidência, assim, teremos "5 kg mais 3 kg vezes a₅ₓ". E isso é igual a "8 kg vezes a₅ₓ". Agora podemos dividir ambos os lados por 8. Normalmente, a gente coloca a nossa incógnita à esquerda, ok? Então, só vou colocar isso aqui. Vou pegar os "29,4 N sobre 8 kg", e isso é igual à aceleração da caixa de 5 kg na direção "x". Se a gente calcular isso, ou seja, fazendo "29,4 dividido por 8", temos 3,68 m/s². Sim, claro: 3,68 é positivo. E isso é bom! Porque o nosso resultado deveria realmente ser positivo, porque a caixa de 5 kg possui uma aceleração positiva. Então nós temos 3,68 m/s², mas isso é apenas a aceleração da caixa de 5 kg. Como podemos achar a aceleração da caixa de 3 kg? Bem, essa é a parte mais fácil até aqui. Como ambas têm a mesma magnitude, tudo que temos que fazer é substituir este valor na fórmula aqui de cima. Nós sabemos quem é "a₅ₓ"! Então, substituindo aqui, temos que "a₃y" é apenas igual a -3,68 m/s². Pronto, finalmente terminamos. Já descobrimos tudo! Descobrimos a aceleração da caixa de 3 kg, que é uma aceleração negativa... Como eu disse, isso não é uma surpresa, porque é uma aceleração para baixo. Também descobrimos a aceleração da caixa de 5 kg, que é uma aceleração positiva, o que também não é uma surpresa, já que ela está acelerando para a direita. Ok, vamos recapitular rapidinho tudo que vimos. Nós aplicamos a Segunda Lei de Newton para descobrir a aceleração da caixa de 5 kg. Mas não conseguimos resolver, então aplicamos a mesma fórmula, mas para a caixa de 3 kg, e também não conseguimos resolver. Nós ficamos presos nesse problema, porque parecia que tínhamos três incógnitas e apenas duas equações. Mas aí percebemos que, se nós substituímos esta última equação na primeira equação, iríamos ter apenas uma incógnita. Depois, tivemos que escrever as acelerações tanto da caixa de 5 kg quanto da caixa de 3 kg, uma em termos da outra, já que essas acelerações não são independentes. Ambas têm a mesma grandeza e, nesse caso, uma teve o sinal oposto da outra. Então, quando nós substituímos nesta fórmula, tivemos uma equação com apenas uma incógnita. Aí, nós conseguimos resolver e determinar as acelerações de ambas as caixas. Como eu disse no início, esta é a maneira mais difícil para se resolver esse problema. No próximo vídeo, eu vou te mostrar o caminho mais fácil para se resolver isso!