Relação entre a imagem do objeto e a distância focal (demonstração da fórmula)

RKA9C Nós estamos criando um monte de vídeos como este, com lentes convexas, onde desenhamos raios paralelos e raios que atravessam o foco para determinar qual seria a imagem de um objeto. O que eu quero fazer neste vídeo é deduzir uma fórmula de álgebra para a relação entre a distância das lentes convexas e a distância entre a imagem e as lentes convexas. E a distância focal. Então, vejamos se conseguimos criar isso e, só para poupar vocês do sacrifício de terem que me ver desenhando linhas retas, eu já as desenhei previamente. Assim, nós podemos imaginar que esta coisa verde bem aqui é o objeto, e estes dois pontos cor-de-rosa bem aqui são os pontos focais e eles se encontram a uma dada distância focal. Eu desenhei o raio paralelo distante da ponta daquela seta até as lentes convexas reais, ele é refratado, atravessando o foco na lateral direita, e percorre toda a distância até ali. Em seguida, desenhei um raio que atravessa o foco na lateral esquerda e, quando ele atravessa o foco, torna-se paralelo, então, ele de fato intercepta aquele raio anterior bem aqui, e isso nos dá a noção do que é a imagem, de qual formato a imagem terá: é invertida e real e, neste caso, é maior do que o objeto real. O que eu quero fazer é obter a relação entre esses valores e eu vou usar um pouco de geometria, um pouco de álgebra para identificar se existe alguma relação algébrica aqui. Então, o primeiro número, a distância do objeto é aquela distância daqui até aqui, ou poderíamos apenas classificá-la aqui. Essa é a distância do objeto. E este é o trajeto que desenhamos, este é o raio de luz paralelo, mas, antes de ser refratado, percorreu a distância do objeto até as lentes reais. Agora, é a distância da imagem até as lentes reais, que estão bem aqui. Essa é a distância que esse raio de luz paralelo teve que percorrer, portanto, essa é a distância da imagem até as lentes. Então, nós temos a distância focal, o comprimento focal, que é essa distância bem aqui. Essa aqui é a nossa distância focal, e nós poderíamos visualizá-la deste lado também. Esta bem aqui também é a nossa distância focal. Então, eu quero chegar a alguma relação e, para isso, vou desenhar alguns triângulos. Com toda essa estratégia, eu vou continuar procurando triângulos semelhantes, e aí vou ver se posso encontrar relações ou razões que relacionam essas três coisas entre si. Vou encontrar, então, alguns triângulos similares, assim, a melhor coisa que eu posso pensar em fazer é redesenhar este triângulo aqui e virá-lo de cabeça para baixo. Deixe-me desenhar o mesmo triângulo na lateral direita desse diagrama. Então, se eu fosse redesenhar esse triângulo, ele se pareceria com algo assim. E deixe-me esclarecer que isto é esse triângulo bem aqui, eu apenas o virei de cabeça para baixo. Portanto, se quisermos garantir que estamos mantendo os mesmos lados, se esta distância é "d" zero ("d₀"), que às vezes podemos chamar assim, mas pode chamar como quiser, esta distância aqui em cima também vai ser "d₀". Agora, o motivo pelo qual eu quis fazer isso foi que agora nós podemos realizar algo interessante, podemos relacionar este triângulo aqui em cima com este triângulo aqui embaixo. Nós podemos ver que eles serão similares, podemos relacioná-los, podemos obter algumas razões à parte. Este triângulo aqui é similar a este triângulo aqui. Podemos obter mais algumas razões e, então, poderemos relacionar todas essas coisas. A primeira coisa a ser reconhecida é que este ângulo, de fato, é definitivamente o mesmo que aquele ali. Às vezes, eles são denominados ângulos opostos ou ângulos "OPV", opostos pelo vértice, portanto, eles serão iguais. Agora, a próxima coisa: esta linha é paralela àquela linha bem ali. E acredito que vocês poderiam considerá-la ou chamá-la de ângulos internos alternos. Se olharem para o jogo de ângulos ou para as linhas paralelas ou para a transversal das linhas paralelas da geometria, esses ângulos são ângulos alternos internos. Porque vocês poderiam considerar esta linha bem aqui como uma transversal de duas linhas paralelas. Esses são ângulos alternos internos, portanto, são iguais. Agora, vocês poderiam sustentar esse mesmo argumento para este ângulo e para este ângulo. E o que vemos aqui é que este triângulo aqui em cima apresenta os mesmos três ângulos que este triângulo aqui embaixo, portanto, esses dois triângulos são similares, ambos são similares. Então, isso é mais uma lição de geometria que de ótica. Eu não tenho que escrever "triângulos", eles são similares e, por serem similares, as razões entre os lados correspondentes serão as mesmas. Portanto, "d₀" corresponde a este, ambos são opostos a este ângulo cor-de-rosa. Ambos, então, se opõem a esse ângulo cor-de-rosa. A razão entre "d₀" e "dᵢ", vou escrever isso aqui... Esta é a razão entre "d₀" e "dᵢ", então, esta é a razão entre os lados correspondentes, vai ser a mesma. Deixe-me fazer mais algumas classificações aqui. Aquilo vai ser o mesmo que a razão deste lado bem aqui, vou chamá-lo de "A", opostos ao ângulo magenta bem aqui. E isso vai ser igual a razão daquele lado com este lado aqui, com o lado "B". Mais uma vez, podemos verificar sua condição, porque o lado "B" é o lado oposto ao ângulo magenta neste triângulo inferior, e é por isso que identificamos este lado, seu lado correspondente do triângulo similar é aquele ali, ambos são opostos ao ângulo magenta. Nós sabemos que "d₀" está para "dᵢ", assim como "A" está para "B". É interessante nós conseguirmos relacionar essas duas coisas a alguma outra, e esses dois tipos de distâncias arbitrárias. De alguma forma, precisamos conectá-las a uma distância focal, e, para conectá-las a uma distância focal, o que podemos fazer é relacionar "A" e "B": "A" se encontra no mesmo triângulo que a distância focal aqui. Vamos observar aquele triângulo ali, deixe-me destacá-lo com uma cor melhor. Então, vamos observar este triângulo aqui que eu estou destacando em verde e vamos compará-lo a este triângulo que também estou destacando em verde. A primeira coisa que eu quero mostrar a vocês é que esses triângulos também são similares. Este ângulo bem aqui e este ângulo bem aqui serão iguais, são ângulos opostos em linhas de interseção. Nós podemos sustentar o mesmo argumento, argumento de ângulos alternos internos. Você pode dizer que isto aqui é um ângulo reto, se dois ângulos de um triângulo são iguais, o terceiro ângulo também deve ser o mesmo. Vou escrever isso em outra cor, porque eu não quero ser muito repetitivo nas cores. Então, podemos dizer que isso é igual a isto aqui. Outra forma como vocês poderiam ter dito é que esta linha aqui em cima, que é meio que representada pela lente ou pela reta que é paralela à lente, é paralela ao tipo de objeto aqui. E vocês podem sustentar argumentos do tipo alterno interno aqui. Mas a outra questão é apenas... Vejam, eu tenho dois ângulos, dois dos ângulos daquele triângulo são iguais, portanto, o terceiro ângulo deve ser o mesmo. Agora, considerando que todos os três ângulos são iguais, então, podemos fazer algo similar. "A" está para "B"... Lembre-se que tanto "A" quanto "B" são opostos ao ângulo de 90 graus, ambos são hipotenusa do triângulo similar. "A" está para "B", poderíamos dizer que este comprimento de base é "f", assim como "f", neste triângulo, está relacionado a "f" neste outro triângulo. Ambos são opostos àquele ângulo branco, assim como "f" se opõe a esta distância aqui. Agora, qual é essa distância? Toda aquela distância é "dᵢ", porém, esta distância é toda aquela distância menos a distância focal. "A" está para "B" assim como "f" está para "dᵢ" menos a distância focal. Aí, vocês têm... nós pegamos a relação entre a distância do objeto, a distância da imagem e a distância focal, e agora só temos que fazer um pouco de álgebra. Então, esta coisa azul deve ser igual a esta coisa magenta. E agora só temos que fazer um pouco de álgebra, portanto, vamos lá: "d₀" sobre "dᵢ", acho que podemos dizer que é igual à razão entre a distância focal e a distância da imagem menos a distância da imagem. Aqui, nós só temos que usar um pouco de álgebra, então, vamos lá. Só para simplificar isso, vamos fazer a multiplicação cruzada disso. Se multiplicarmos "d₀" por isto aqui, o resultado é "d₀ dᵢ". Eu só estou distribuindo isso mesmo. Menos "d₀ f", só estou distribuindo esse "d₀", só multiplicando em cruz, o que simplesmente significa multiplicar ambos os lados por ambos os denominadores ou multiplicar os denominadores duas vezes. O resultado será igual a "dᵢ vezes f". E agora podemos somar este termo a ambos os lados da equação. Temos "d₀ dᵢ", que é igual a... Só estou somando isso a ambos os lados, quando vocês adicionam isso ao lado esquerdo, obviamente é anulado. É igual a "dᵢ f". Essa coisa aqui, mais "d₀ f", então, vejamos, poderíamos separar um "f" e a distância focal, então, temos "d₀ dᵢ = f vezes (dᵢ + d₀)". E o que podemos fazer? Poderíamos dividir ambos os lados por "f", isto fica sobre "f", isto também, basicamente se anulando. Eu não quero pular muitas etapas, então, eu vou esquecer o que temos aqui. Então, esses dois se anulam, e temos "d₀ dᵢ sobre f", que é igual a "dᵢ + d₀". Agora, vamos dividir ambos os lados por "d₀ dᵢ". Portanto, "1 sobre d₀ dᵢ", estes se anulam bem aqui, sobra, no lado esquerdo, 1 sobre a distância focal, igual a isto. Podemos apenas tirar isto bem aqui, é a mesma coisa, apenas separamos os numeradores. É o mesmo que "dᵢ sobre d₀ dᵢ mais d₀ sobre d₀ dᵢ". Mais "dᵢ sobre d₀ dᵢ": se anulam, e vocês ficam apenas com 1. Então, isso é igual a 1 sobre a distância do objeto. E isto é +1 sobre a distância da imagem. Então, desde o início, essa vai ser a fórmula perfeitamente válida, nós efetivamente obtivemos o que queríamos. Vocês não têm repetição de "dᵢ" e "f", nós temos a relação de álgebra para um espelho convexo que está relacionada a: distância focal, distância do objeto e distância da imagem. De qualquer forma, acho que está bem claro agora como isso resultou em, pelo menos, uma fórmula bem simples.