If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:12:29

Relação entre a imagem do objeto e a distância focal (demonstração da fórmula)

Transcrição de vídeo

nós estamos criando um monte de vídeos como esse com lentes convexas onde desejamos raios paralelos e raios que atravessam o foco para determinar qual seria a imagem de um objeto o que eu quero fazer nesse vídeo é deduzir uma fórmula de álgebra para a relação entre a distância das lentes conversas ea distância entre a imagem e as lentes conversas e à distância focal então vejamos se conseguimos criar isso e só para poupar vocês do sacrifício de terem que viver desenhando as linhas retas eu já as desenhei previamente assim nós podemos imaginar que essa coisa verde bem aqui e é o objeto e esses dois pontos cor de rosa bem aqui são os pontos focais e eles se encontram a uma dada a distância focal e o desenho raio paralelo distante da ponta daquela seta até as lentes conversas reais é refratada atravessando o foco na lateral direita e percorre toda a distância até ali em seguida desenho um raio que atravessa o foco na lateral esquerda e quando ele atravessa o foco torna-se paralelo então ele de fato intercepta aquele raio anterior àquele raio anterior bem aqui e isso nos dá a noção do que é a imagem de qual formato a imagem será invertida e real e nesse caso é maior do que o objeto real o que eu quero fazer é obter a relação entre esses valores e eu vou usar um pouco de geometria um pouco de álgebra para identificar se existe alguma relação ao jeca aqui então o primeiro o primeiro número a distância do objeto é aquela distância daqui até aqui ou poderíamos apenas classificá la aqui esta é a distância do objeto este é o trajeto que desenhamos esse é o raio de luz paralelo mas antes de ser retratado percorreu a distância do objeto até as lentes reais agora a distância da imagem até as lentes reais que estão bem aqui esta é a distância que esse raio paralelo esse raio de luz paralelo teve que percorrer portanto essa é a distância da imagem até as lentes então nós temos a distância focal o comprimento focal que essa distância bem aqui essa aqui é a nossa distância vocal ou nós poderíamos visualizá lá nesse lado também resta bem aqui também é também a nossa distância focal então eu quero chegar a alguma relação e para isso vou desenhar alguns triângulos aqui toda essa estratégia vou continuar procurando triângulo semelhantes vou ver se possa encontrar relações ou razões que relacionam estas três coisas entre si vou encontrar então alguns triângulo similares assim a melhor coisa que eu posso pensar em fazer é redesenhar esse triângulo aqui virá lo de cabeça pra baixo deixe me desenhar o mesmo triangula lateral-direito decide a grã então se eu fosse redesenhar esse triângulo ele pareceria com algo assim e aparecer assim e deixe-me esclarecer isso que isso é esse triângulo bem aqui é apenas o virei de cabeça pra baixo portanto se quisermos garantir que estamos mantendo os mesmos lados se essa distância é de zero que às vezes podemos chamar assim mas pode chamar como quiser essa distância que em cima essa distância que em cima também vai ser essa distância que também vai ser de zelo de zelo agora o motivo pelo qual quis fazer isso foi que agora nós podemos realizar algo interessante podemos relacionar esse triângulo aqui em cima com esse triângulo aqui embaixo nós podemos ver que eles serão similares podemos relacioná-los podemos obter algumas razões à parte esse triângulo aqui é similar a esse triângulo que obter mais algumas razões então podemos relacionar todas essas coisas então a primeira coisa se reconhecida é que esse ângulo que de fato é definitivamente o mesmo que aquilo ali às vezes eles são denominados ângulos opostos ou ângulo só pv compostos pelo vértice portanto eles são iguais agora a próxima coisa essa linha é paralela àquela linha ben ali e vocês poderiam considerá-la acredito que vocês poderiam chamá los de ângulos internos ao ternos se olharem para o jogo de ambos ou para as linhas paralelas ou para transversal das linhas paralelas da geometria esses ângulos são ambos ao termos internos por que vocês poderiam considerar essa linha bem aqui como uma transversal de duas linhas paralelas esses são ângulos alterna os internos portanto são iguais agora vocês poderiam sustentar esse mesmo argumento para esse ângulo e para esse ângulo o que vemos aqui é que esse triângulo aqui em cima apresenta os mesmos três ângulos que esse triângulo aqui em baixo portanto esses dois triângulos são similares ambos são similares então isso é mais uma lição de geometria do que de ótica eu não tenho que escrever triângulos eles são similares e por serem similares às razões entre os lados correspondentes serão as mesmas portanto de zero corresponde a esse ambos são opostos a esse ângulo cor de rosa ambos então se opõe a esse ângulo cor de rosa a razão entre de zero e de ipu escrever isso aqui a razão entre de zero essa é a razão entre de zero e de então esta é a razão entre os lados correspondentes mas ser a mesma deixe me fazer mais algumas classificações aqui aquilo vai ser o mesmo que a razão um desse lado bem aqui o chamado de ar opostos ao ângulo mas genta bem aqui e isso vai ser igual a razão daquele lado com esse lado aqui do lado b e mais uma vez podemos verificar sua condição porque o lado b é o lado oposto ao ângulo magenta nesse triângulo inferior e é por isso que identificamos esse lado seu lado correspondente do triângulo similar é aquele ambos são opostos ao ângulo magenta nós sabemos que de zero está para de ir assim como a está para b é interessante que nós conseguimos relacionar essas duas coisas alguma esses dois tipos de distâncias arbitrárias de alguma forma precisamos conectar los a uma distância focal e para conectá las a uma distância focal o que podemos fazer é relacionar a e b a se encontra no mesmo trilho ângulo que a distância focal aqui vamos observar esse triângulo ben ali deixem me destaca lo com uma cor melhor então vamos observar esse triângulo aqui que eu estou destacando em verde e vamos compará lo a esse triângulo que também estou destacando esse triângulo que eu também estou destacando aqui em verde a primeira coisa que eu quero mostrar a vocês é que esses triângulos também são similares esse ângulo bem aqui e esse ângulo bem aqui serão iguais são longos opostos em linhas de intercessão nós podemos sustentar o mesmo argumento argumento de ângulos internos internos um é que você pode dizer que isso aqui é um ângulo reto se dois ângulos de um triângulo são iguais o terceiro ano também deve ser o mesmo o escrever isso em outra cor porque eu não quero ser muito repetitivo nas cores então podemos dizer que isso aqui é igual a isso aqui ou outra forma que vocês poderiam ter dito é que essa linha que em cima que é meio que representada pela lente ou pela reta que é paralela à lente é paralela à o tipo de objeto aqui e vocês podem sustentar argumentos do tipo alterno interno aqui mas há outra questão é apenas vejam eu tenho dois ângulos dois dos ângulos daquele triângulo são iguais portanto o terceiro ângulo deve ser o mesmo agora considerando que todos os 3 ambos são iguais então podemos fazer algo similar à está para b lembre se de que tanto a quanto b são opostos ao lado de 90 graus ambos são e poder usa do triângulo similar à está para saber como poderíamos dizer que esse cumprimento de base é f é assim como f nesse triângulo está relacionado à efe nesse outro triângulo ambos são opostos aquele ângulo branco assim como f se opõe a essa distância que agora qual essa distância então toda aquela distância é de ir porém essa distância é toda aquela distância - a distância focal a está para b assim como f está para de 'menos a distância focal e aí vocês têm nós pegamos a relação entre a distância do objeto a distância da imagem ea distância focal e agora só temos que fazer um pouco de álgebra então essa coisa azul deve ser igual a esta coisa mais nojenta e agora só temos que fazer um pouco de álgebra portanto vamos lá de zero de e acho que podemos dizer de igual a igual a razão entre a distância focal e à distância da entre a distância focal e à distância da imagem - a distância da imagem agora que nós só temos que usar um pouco de algibre então vamos lá só para simplificar isso vamos fazer a multiplicação cruzada disso se multiplicarmos de zero por isso aqui o resultado é de 0 daí só estou mesmo distribuindo isso menos de zero efe eu estou distribuindo esse de zero só multiplicando em cruz o que simplesmente significa multiplicar ambos os lados por ambos os denominadores ou multiplicar os denominadores duas vezes o resultado será igual à de ir daí vai ser igual à de ips cef vai ser igual a de investir 7 afi e agora podemos somar esse termo bem aqui ambos os lados da equação temos de zero de ipi é igual a só estou somando isso ambos os lados quando vocês adicionam isso ao lado esquerdo obviamente é anulado é igual à de ief essa coisa aqui mas de 0 f então vejamos poderíamos separar um f ea distância focal então temos de zero daí é igual à efe vezes de ir mais de zero então o que podemos fazer poderíamos dividir ambos os lados por f que fica sobre f e isso vira sobre heath basicamente anulando isso então eu não quero pular muitas etapas então vou esquecer o que temos aqui então esses dois se anulam então temos de zero de ipi sobre efe o de mais de 0 e agora vamos dividir ambos os lados por de zero daí portanto um sobre de zero de ipi e esses se anula bem aqui então sobra no lado esquerdo um sobre a distância focal é igual a isso aqui podemos apenas tirar isso isso bem aqui isso é a mesma coisa apenas separamos os números a dores isso é o mesmo que de ir sobre de zero de ipi mais de 0 sobre de zero de ipi mas desde sobre de zero de ir se anula e vocês ficam apenas com um então isso é igual a 1 sobre a distância do objeto e isso é mais um sobre a distância da imagem então desde o início essa vai ser então a fórmula perfeitamente válida nós efetivamente obtivemos o que queríamos vocês não têm repetição de de iii cf nós temos a relação de áudio para o espelho convexo que está relacionada à distância focal a distância do objeto ea distância da imagem qualquer forma acho que está bem claro agora como isso resultou em pelo menos uma forma bem simples