Derivação da equação dos espelhos

RKA13C Imagine que você tem um objeto posicionado em frente a este espelho côncavo. Se você quisesse descobrir onde a imagem é formada, você poderia traçar raios de luz a partir do objeto. Você pode desenhar um raio paralelo que passa através do foco do espelho. No entanto, esse raio é reversível. Mas o que exatamente isso significa? Isso significa que esses raios refazem todo o caminho do qual eles vieram do outro lado, por isso que eu digo que esses raios são reversíveis. Eu tracei um raio paralelo que, ao ser refletido pelo espelho, incide sobre o foco do espelho. Mas, se eu traçar um raio que passa pelo foco, ele será refletido paralelamente ao eixo principal do espelho. Eu posso desenhar este raio aqui, que vai partir da ponta do objeto e passa através do foco. Vou desenhar isso aqui apenas por diversão, mas eu vou desenhar um outro raio de luz, já que precisamos de dois raios para encontrar onde a imagem está. Eu vou desenhar este aqui. Como eu disse antes, esta linha branca é chamada de "eixo principal". Ela é desenhada através do centro de curvatura do espelho e do vértice do espelho. Estou desenhando agora um raio que vai da ponta do objeto para o vértice do espelho, porque eu sei que a lei da reflexão diz que o ângulo de incidência tem que ser igual ao ângulo de reflexão. E os ângulos são medidos a partir da reta normal, ou seja, a reta perpendicular ao plano do espelho. O legal disso tudo é que esse eixo principal está servindo como uma perfeita reta normal para o vértice do espelho. Isso é possível porque esta reta que passa através do vértice do espelho é perpendicular ao próprio vértice do espelho, então eu posso usar isso a meu favor. Eu sei que o ângulo de incidência deve ser igual ao ângulo de reflexão. Eu só tenho que me certificar de que, na minha representação, o ângulo de reflexão seja aproximadamente igual ao ângulo de incidência. Então estes dois devem ter o mesmo ângulo teta (θ). Agora, eu posso encontrar onde a minha imagem está. A imagem do objeto estará no ponto em que eles se cruzam. Nós temos, neste caso, uma imagem de cabeça para baixo que se parece mais ou menos com isto aqui. Como vimos, traçar raios é uma coisa legal, isso nos permite encontrar onde as imagens estão. Mas eu tenho que observar um pouco melhor este ângulo aqui, já que poderia estar um pouco mais afastado, talvez um ou dois graus. Esta representação, então, pode não estar muito certa. Se eu quiser saber exatamente onde a imagem está, eu preciso de uma equação que relacione as distâncias entre o objeto e o espelho e a distância focal. E então eu poderia dizer exatamente onde a imagem está. É isso que nós iremos ver neste vídeo. Essa equação que nós estamos procurando é chamada de "equação de Gauss para os espelhos esféricos". Ela irá nos dizer como relacionar a distância do objeto, a distância da imagem e a distância focal. Então vamos ver como a gente pode obtê-la? Se você olhar nos livros, parece algo muito complicado. Na verdade, não é tão complicado quanto parece. Então fique bem tranquilo, e vamos a chegar essa equação, tudo bem? Vamos começar desenhando triângulos. Você pode notar que estes dois triângulos são iguais, e nós iremos usar isso a nosso favor. Nós estamos fazendo dois triângulos que têm isto como um dos ângulos deles. Então o primeiro, vamos considerar este aqui. Vamos dizer que um dos triângulos irá partir da base desta imagem até o vértice do espelho, depois do espelho para o topo da imagem, e em seguida do topo da imagem de volta para a base da imagem, ok? Imagine que este triângulo rosa bem aqui é um triângulo retângulo, porque este ângulo aqui é um ângulo reto, e ele tem θ como um dos seus ângulos, ok? Mas eu posso desenhar o outro triângulo, que tem este ângulo θ também. Eu posso ir do topo do objeto para o vértice do espelho, depois do vértice do espelho para a base do objeto e, por último, da base do objeto para o topo do objeto. Assim, eu tenho este triângulo azul aqui. Esse triângulo também é um triângulo retângulo, já que este ângulo aqui também é um ângulo reto. Assim, em outros termos, estes triângulos são semelhantes, ambos têm um ângulo θ e um ângulo reto. Agora, vamos pegar esses dois triângulos semelhantes e realizar algumas coisas interessantes. Você pode usar uma função trigonométrica. Escolha sua função trigonométrica favorita. Eu vou escolher a função tangente, ok? Então teremos que a tangente de θ, por definição, é sempre igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. O oposto a este ângulo... vamos ver este ângulo aqui embaixo primeiro. O oposto ao θ está deste lado aqui. Mas o que significa esse lado? Esta é a altura da imagem, então eu irei chamá-la de "hᵢ". Isso significa quão alta a imagem é. Então eu sei que isto aqui é igual à altura da imagem dividida pelo cateto adjacente a este ângulo, que é esta distância bem aqui. E nós também daremos um nome a ela. Ela indica quão distante a imagem está do espelho, então vamos dar um nome para isso, vamos chamar de "distância entre o espelho e a imagem". Ela é medida a partir do vértice do espelho, ou seja, nós não iremos contar até o final disto aqui, até esta ponta, mas, sim, a partir do ponto de onde o espelho está. Então vamos medir a partir deste ponto aqui. Este é o lado adjacente, que indica quão longe a imagem está do vértice do espelho. Eu vou chamar isso de "dᵢ", ou seja, "distância da imagem". Mas essas são medidas referentes a este ângulo θ aqui, e eu sei que a tangente de θ também é a tangente deste θ aqui, então eu posso usar a mesma relação para este outro ângulo θ. Eu sei que a tangente deste θ também tem que ser igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente, e o oposto deste ângulo θ é este lado aqui. E o que esse lado significa? Esse lado é altura do objeto, então eu vou chamá-lo de "hₒ". Essa é a altura do objeto, então o lado oposto a este ângulo θ é a altura do objeto. E você vai dividir a altura do objeto pelo quê? Você terá que dividi-la pelo cateto adjacente, e isso será a distância entre o espelho e o objeto. Novamente, você não pode esquecer que nós iremos medir a partir do vértice do espelho. Nós não iremos medir a partir desta parte curva que está destacada aqui, mas, sim, a partir do vértice do espelho. Então eu vou chamar o lado adjacente ao ângulo θ de "dₒ". Apesar desta não ser a equação que estamos procurando, ela é tão importante que tem o seu próprio nome. Ela é chamada de "equação de ampliação para os espelhos esféricos", mas ela não costuma ser escrita dessa forma. As pessoas geralmente a representam como "hᵢ" dividido por "hₒ". Então temos aqui "hᵢ" dividido por "hₒ", e isso é igual a... Ah, sim, as pessoas multiplicam ambos os lados por "dᵢ" para obter "dᵢ" dividido por "dₒ." É por isso que ela é chamada de "equação de ampliação", já que ela permite que você encontre a altura da imagem. Apesar de estarmos procurando uma maneira de saber quão longe uma imagem está do espelho, vamos pensar um pouco a respeito desta equação aqui, ok? Vamos dizer que você precisa saber quão grande a imagem é. Se quisermos saber a altura da imagem, nós temos que a altura da imagem é igual à altura do objeto vezes, abre e fecha parênteses, a distância da imagem dividida pela distância do objeto. Porém, aqui temos que observar uma coisa: a imagem está invertida. Então, se nós definirmos que a distância da imagem é positiva, ou seja, se ela está do mesmo lado, assim como o objeto, nós temos que inverter a imagem, o que nos dá uma altura negativa. Então nós temos que representar a imagem invertida com valores negativos. Na verdade, nós temos que representar a equação com valores negativos aqui dentro. Temos que dizer que a altura da imagem é igual a menos "hₒ" vezes "dᵢ" sobre "dₒ". Ou você pode colocar o sinal de negativo aqui também, então nós temos o sinal de negativo aqui fora. De certa forma, nós sabemos que, se temos um valor negativo para a altura da imagem, isso quer dizer que a imagem está invertida. Então se o valor para "hᵢ" for um valor negativo igual a 3 cm, significa que eu tenho uma imagem com uma altura igual a 3 cm positivos. Mas como ela está invertida, temos que representá-la com valores negativos, ok? Então isso é apenas uma explicação, porque não é o que estamos querendo encontrar. Nós estamos tentando encontrar uma fórmula que nos diga a distância da imagem baseada na distância do objeto e na distância focal. Então vamos ver um outro conjunto de triângulos aqui para chegar a essa equação? O que nós vamos fazer agora é, em vez de considerarmos este ângulo θ aqui, nós iremos considerar este outro ângulo. Eu não posso chamá-lo de θ, porque já chamamos este outro ângulo aqui de θ. Então eu vou chamá-lo de ângulo phi (ϕ). Um detalhe: estes ângulos são iguais porque, quando você faz uma linha e a corta com uma outra linha, estes ângulos aqui serão sempre iguais, ok? Então aqui vale a mesma regra. Assim, nós podemos aplicar a mesma regra que nós usamos para os ângulos θ nestes ângulos ϕ. Nós iremos formar dois triângulos, e em cada um dos triângulos terá um ângulo ϕ. Para este primeiro, nós iremos fazer a altura deste objeto. Isso será a base do ângulo ϕ. Iremos retornar até aqui, ok? E, para o outro triângulo, também precisaremos ter um triângulo com ângulo ϕ. Então vamos fazer daqui até aqui, indo para baixo, e depois retornando até o ângulo ϕ. Então temos aqui dois triângulos: este triângulo e este triângulo. Ambos têm um ângulo ϕ e um ângulo reto também, então também temos triângulos semelhantes aqui. Desta forma, a gente pode fazer o mesmo que a gente fez antes. Nós iremos dizer que a tangente deste ângulo ϕ terá que ser igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. O cateto oposto para este ângulo ϕ é este lado aqui, que é o nosso "hₒ". Então eu posso escrever aqui "hₒ" dividido pelo cateto adjacente. Mas, agora, o cateto adjacente não será este "dₒ", porque este lado aqui só vai até aqui. Ele não vai até o centro do espelho, ele só vai até este ponto aqui. E isto aqui é a respectiva distância do objeto menos esta parte bem aqui. Então, se eu subtrair esta parte da distância do objeto, eu terei uma diferença que será o cateto adjacente deste triângulo. E, como a gente sabe, esta é a distância entre o espelho e o foco. Então vamos dar um nome a ela. Essa distância focal é representada por um "f". O lago adjacente, nós podemos escrevê-lo como a distância do objeto menos a distância focal, que é esta diferença aqui. Então o cateto adjacente é a distância do objeto menos a distância focal. Como sabemos, este ângulo ϕ também é igual a este ângulo ϕ aqui, certo? Nós iremos dizer que a tangente deste ângulo ϕ terá que ser igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. Mas qual seria o cateto oposto agora para este lado aqui? O que significa este lado do triângulo aqui? Isso é igual à altura da imagem. Este lado é o mesmo que a altura da imagem. Então eu posso dizer que, para tudo isto aqui, a tangente de ϕ é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente, sendo que o cateto oposto a ϕ é a altura da imagem, e nós dividiremos por esta distância aqui, que é a distância focal. O cateto adjacente deste triângulo é a própria distância focal. Então eu vou apenas dividir por "f", e agora nós temos duas equações. Eu vou colocá-las juntas. Nós teremos a equação do espelho saindo disso. Eu não quero "hₒ" ou "hᵢ" em qualquer um destes lados, então vou representar isso aqui como "hₒ" sobre "hᵢ", ok? Eu terei "hₒ" sobre "hᵢ". E, para pensar nisso, imagine que estamos dividindo ambos os lados por "hᵢ" e depois multiplicando ambos os lados por "dₒ" menos "f". Então eu tenho "hₒ" sobre "hᵢ", e isso é igual a "dₒ" menos "f" dividido pela distância focal. Mas eu posso fazer a mesma coisa aqui em cima. Eu tenho "hₒ" sobre "hᵢ", que é igual a "dₒ" sobre "dᵢ", certo? Então, o que eu fiz aqui foi dividir ambos os lados por "hᵢ" e multiplicar ambos os lados por "dₒ". Nós sabemos que "hₒ" sobre "hᵢ" é igual a "dₒ" menos "f" sobre "f". E aqui, nós já sabemos que "hₒ" sobre "hᵢ" é igual a "dₒ" sobre "dᵢ". Então, isso significa que "dₒ" menos "f" sobre "f" também é igual a "dₒ" sobre "dᵢ". Então ambas as expressões são iguais a "hₒ" sobre "hᵢ". Podemos dizer que todas são iguais, porque todas elas são iguais a uma coisa: "hₒ" sobre "hᵢ". Então vamos resolver isso aqui? O lado esquerdo, eu posso escrever... Vou parar de usar cores aqui agora. O lado esquerdo será "dₒ" sobre "f" menos 1, já que "f" sobre "f" é igual a 1, e isso é igual a "dₒ" sobre "dᵢ". Agora, nós iremos dividir ambos os lados por "dₒ". Se eu dividir ambos os lados por "dₒ", eu tenho 1 sobre "f", já que os "dₒ" se cancelam, menos 1 sobre "dₒ". Depois, o "dₒ" vai cancelar com este "dₒ" aqui do topo, e aí eu vou ter isso tudo aqui igual a 1 sobre "di". Agora, nós a temos como normalmente é escrita, com exceção deste 1 sobre "dₒ". Se adicionarmos 1 sobre "dₒ" em ambos os lados, nós finalmente temos a expressão que queremos, que é 1 sobre a distância do objeto mais 1 sobre a distância da imagem, e isso tudo é igual a 1 sobre a distância focal. Essa equação é chamada de "equação de Gauss para os espelhos esféricos", e isso relaciona a distância focal do espelho com a distância da imagem e com a distância do objeto. Em outras palavras, se você colocar um objeto em frente a um espelho e souber a distância focal do espelho, você saberá exatamente a distância da imagem em vez de apenas deduzir usando um transferidor. Isso permite que você descubra exatamente onde a imagem está. Se você ainda relacionar com a equação de ampliação aqui de cima, você também pode descobrir exatamente a altura da imagem. Agora você pode estar se sentindo um pouco perdido a respeito deste sinal negativo aqui. Sei que eu simplesmente o coloquei aqui, mas o que está acontecendo com este sinal negativo? Como nós iremos saber se um destes sinais é negativo ou positivo? Bem, meu amigo, pela convenção que eu uso, e que muitos autores também usam, a distância focal será sempre positiva para espelhos côncavos. Como este espelho aqui, que é um espelho côncavo. Mas, se ele estiver virado para o outro lado, se ele estivesse assim, deste jeito, ele seria um espelho convexo, e aí eu teria uma distância focal negativa. E isso faz sentido. Se o espelho estiver virado deste jeito, o foco estará voltado para trás, como se estivesse atrás dele, então faz sentido ele ter um valor negativo, não é? Agora, vamos ver a distância do objeto. Se você definir tudo direitinho... Seus olhos estarão deste lado, certo? E o objeto também vai estar deste lado que você está vendo, certo? Você vai perceber que a imagem também vai estar deste lado. Então temos todo mundo aqui do mesmo lado: o objeto, seus olhos e a imagem, certo? Basicamente, a distância do objeto será sempre positiva se objeto estiver do mesmo lado que os seus olhos estão, ok? Então, dessa forma, a gente pode definir que a distância do objeto será sempre positiva, a menos que você use um conjunto de espelhos ou algo de estranho esteja acontecendo. Se você tiver apenas o espelho, nada novo acontecerá. Então, dessa forma, a distância do objeto será sempre positiva usando a convenção que estamos usando aqui. Novamente, existem outras convenções que você pode usar, mas essa é a que eu estou usando e que outros autores também costumam usar. Agora, sobre a distância da imagem, já é um pouquinho mais complicado... A gente tem que pensar um pouco mais a respeito disso. A distância da imagem sempre será positiva se a imagem estiver do mesmo lado que os seus olhos, assim como aconteceu com o objeto e como neste caso aqui também. Assim, podemos considerar a distância da imagem como sendo positiva, desde que a imagem esteja do mesmo lado que os seus olhos, ok? Se a imagem for formada deste outro lado do espelho... Digamos que ela seja formada assim, deste jeito aqui. ...a distância da imagem será negativa. Se tivéssemos, por exemplo, uma imagem a 5 cm atrás do espelho, nós teríamos que considerar uma distância da imagem igual a 5 cm negativos, ok? Se você usar a mesma convenção que estamos usando nesta equação do espelho, você terá a relação correta entre a distância do objeto, a distância da imagem e a distância focal. Agora, se você usar esta mesma convenção para os sinais nesta equação de ampliação, você também terá exatamente a altura da imagem. E, se a altura vier a ser negativa, você saberá que ela está de cabeça para baixo. Agora, se a altura da imagem for positiva, você vai saber que a imagem está voltada para o lado de cima, certo? Revisando um pouco tudo isso que a gente viu: usando um conjunto similar de triângulos, nós podemos derivar a equação dos espelhos esféricos, que relaciona a distância do objeto, a distância da imagem e a distância focal. E, durante esse caminho, nós também derivamos a equação de ampliação, que relaciona a altura da imagem e do objeto com a distância da imagem e do objeto. Se você tiver cuidado com os sinais, a distância do objeto sempre será positiva. A distância focal será positiva ou negativa, sendo que a distância focal será positiva para os espelhos côncavos e será negativa para os espelhos convexos. Por último, a distância da imagem será sempre positiva se a imagem for formada do mesmo lado que os seus olhos. Agora, ela pode ser negativa caso seja formada atrás do espelho. E, de novo, isso não é a única convenção que existe, ok? Nós podemos usar outras, mas eu quis usar essa por ser a mais utilizada por outros autores, ok?