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Problemas exemplo de equação dos espelhos

Neste vídeo resolvemos alguns problemas exemplo envolvendo espelhos côncavos e convexos, usando a equação dos espelhos e a equação da ampliação.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá! Tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de ciências da natureza. Nesta aula vamos resolver alguns problemas sobre a equação dos espelhos esféricos. Problemas com equações de espelhos podem ser intimidantes quando você lida com essas equações pela primeira vez, e isso não é porque a equação de um espelho é tão difícil. Na verdade, ela é até fácil, são apenas algumas frações somadas. O que é complicado em casos como esse é decidir se os valores colocados na equação vão ser positivos ou negativos. Portanto, tem muitas decisões relacionadas a sinais que você precisa tomar e se acabar tomando uma decisão incorreta, você pode acabar encontrando uma resposta errada. Então vamos fazer alguns problemas de equação dos espelhos aqui e aí você pode ver como os sinais funcionam. Agora eu tenho que falar uma coisa. Todo mundo tem sua própria convenção de sinais. Existem muitas convenções de sinais diferentes quando você lida com a ótica. A convenção que eu vou usar aqui é a que eu sinto que a maioria dos livros usa hoje em dia. Para pensar nisso, vamos considerar que os seus olhos estejam aqui. Então, supondo isso, vamos dizer que você está olhando para algum objeto. Talvez seja uma flecha ou um giz de cera, um giz de cera azul, que você está segurando na frente desse espelho, bem aqui. A convenção que eu estou usando é que qualquer coisa desse lado do espelho será considerada como positivo. Então, se a gente tiver aqui um ponto focal desse lado, ele será positivo. A distância do espelho ao objeto que está desse lado também será positiva. Aí, ao calcular e encontrar a distância do espelho à imagem, e caso essa distância seja positiva, a gente vai saber que a imagem está nessa parte frontal do espelho. Usando essa mesma ideia, qualquer coisa que seja negativa estará do outro lado do espelho. Por exemplo, se depois de ter feito todo o cálculo encontrarmos uma distância da imagem ao espelho sendo negativa, saberemos que a imagem vai estar atrás do espelho. Isso meio que faz sentido: negativo representando atrás do espelho, positivo representando na frente. Resumindo: esse lado aqui está na frente do espelho, portanto é positivo, e aqui está atrás do espelho, portanto é negativo. Eu já tenho algumas medidas aqui. Vamos resolver para elas, então. Como é que fazemos isso? Vamos usar essa equação do espelho aqui. Vamos dizer que isso seja a distância focal. Temos que decidir sobre um sinal positivo ou negativo aqui, não é? Para esse espelho do jeito que está moldado aqui, baseado em como estamos olhando para ele, é um espelho côncavo. Com as convenções de sinais que acabamos de discutir e o cenário que estou usando nessa fórmula, espelhos côncavos sempre terão uma distância focal positiva. Em outras palavras: como esse ponto focal está a quatro centímetros do centro do espelho aqui na frente dele, eu vou substituir a distância focal por quatro centímetros positivo. Observe que eu não fiz nenhuma conversão. Se você deixar tudo em centímetros vai ter apenas uma resposta em centímetros. Então tudo bem deixar dessa forma. Você não precisa converter desde que tudo esteja com as mesmas unidades. Vamos dizer que isso seja igual a 1 sobre a distância do espelho ao objeto... Ah, um outro aviso: às vezes, em vez de do e d𝓲, você verá isso aqui como P para a distância do espelho ao objeto e P' para a distância do espelho à imagem. É a mesma coisa. É apenas uma forma de representação diferente. Então a distância do objeto... Novamente, está desse lado, na frente do espelho. Sendo assim, teremos aqui 12 centímetros positivo, pois está localizado a 12 centímetros do centro do espelho. Então isso aqui vai ser 12 centímetros positivo. Agora é só adicionar a isso 1 sobre a distância da imagem, a distância do centro do espelho à imagem, que não sabemos quanto é. Eu não desenhei a imagem aqui, isso vai ser uma surpresa. Afinal, não sabemos o que vai ser, mas podemos resolver. Para resolver isso, vou subtrair 1 sobre 12 em ambos os lados dessa igualdade. Ao fazer isso teremos ¼ centímetros menos 1/12 centímetros, e isso terá que ser igual a 1 sobre a distância da imagem. Nós podemos reescrever ¼ como 3/12. Ao fazer isso, teremos aqui (3/12) menos (1/12), que é igual a 2/12. Aí, isso aqui é igual a 1 sobre a distância da imagem. Como sabemos, 2/12 é apenas ⅙. Sendo assim, 1 sobre a distância da imagem é igual a ⅙. Mas isso aqui, conforme a gente viu, é o inverso da distância da imagem. Às vezes as pessoas esquecem de inverter isso no final. Nós não queremos 1 sobre d𝓲. Nós queremos d𝓲, a distância da imagem ao centro do espelho. Ao inverter os dois lados temos que a distância da imagem ao centro do espelho é igual a seis centímetros. E pronto, terminamos. Temos um resultado, e esse resultado tem um valor positivo. Isso é importante demais. Ao encontrar um resultado igual a seis centímetros positivo, onde a nossa imagem vai ficar? Bem, como a distância da imagem foi positiva, a nossa imagem vai ficar na frente do espelho. Então vai ficar mais ou menos por aqui. Vai estar a uma distância de seis centímetros do centro do espelho. Então, nesse ponto aqui é onde nossa imagem vai estar. Agora uma coisa interessante é que não sabemos o tamanho dessa imagem e nem se ela vai estar virada para cima ou para baixo. Para descobrir isso, temos de usar uma equação diferente e, diga-se de passagem, essa equação é chamada de "equação de ampliação". A equação de ampliação diz que a ampliação é igual à altura da imagem dividida pela altura do objeto e que isso é igual a menos a distância da imagem dividida pela distância do objeto. Lembrando que essas distâncias são em relação ao centro do espelho, ok? Ao fazer isso, temos que a razão entre a distância negativa da imagem sobre a distância do objeto é sempre igual à razão entre a altura da imagem e a altura do objeto. Sabendo disso, qual será a altura da nossa imagem? Vamos resolver isso aqui. Ao resolver para a altura da nossa imagem, temos que a altura da imagem será... Multiplicando ambos os lados por "ho", teremos o sinal negativo aqui, ou seja, teremos menos a altura do objeto vezes a distância da imagem sobre a distância do objeto. Ao fazer isso, basta apenas substituir os valores que temos. A altura do objeto é igual a quanto mesmo? Aqui é dito que tem três centímetros de altura. Então temos três centímetros. A gente vai colocar aqui o -3 centímetros vezes a distância da imagem, que é 6, sobre a distância do objeto, que é 12. Ao resolver isso, teremos metade de -3, que é -1,5 centímetro. O que significa o sinal negativo aqui? Significa que essa imagem foi invertida, ou seja, ela virou. Se o objeto está voltado para cima, a imagem vai ficar de cabeça para baixo em comparação com o que era antes, ou seja, a imagem vai ficar voltada para baixo. 1,5 centímetro que encontramos é o tamanho dessa imagem. Ao realizar todos os cálculos, encontramos uma imagem a seis centímetros do centro do espelho, que vai ter a metade da altura do objeto, ou seja, 1,5 centímetro e que vai ficar de cabeça para baixo por causa desse sinal negativo. Então teremos uma imagem com 1,5 centímetro de altura e de cabeça para baixo. Isso é o que você vai ver se olhar para esse espelho. É como um espelho que você costuma encontrar em parques de diversões. É um espelho estranho e curvo. Você veria uma imagem de cabeça para baixo aqui. Olhando para ela dá até a impressão que você consegue estender a mão e agarrar essa imagem, mas é apenas uma ilusão de ótica. Não vai ter nenhum objeto para pegar, vai ser apenas a imagem desse objeto aqui. Enfim, esse é um exemplo usando um espelho côncavo. Agora, o que aconteceria se a gente mudasse um pouco as coisas? O que aconteceria se a gente pegasse nosso objeto e em vez de deixá-lo aqui, nós o colocássemos um pouco mais próximo do espelho? Ou seja, em vez de estar a 12 centímetros, a gente o colocasse a três centímetros do centro do espelho? O que ficaria diferente? O que nós faríamos de diferente para resolver esse problema? Bem, tudo seria praticamente igual. A única diferença é que em vez de colocar 12 positivo aqui embaixo, a gente vai colocar três positivo. A equação do espelho vai funcionar exatamente da mesma forma. A gente ainda vai substituir qualquer que seja a distância do objeto e aí resolver para a distância da sua imagem. É claro que ao fazer isso vamos obter uma distância de imagem diferente, mas o que quer que a gente obtenha, isso vai nos dizer onde está a imagem. Aí a gente pega esse resultado e coloca na equação de ampliação caso a gente queira obter o tamanho da imagem e saber se ela vai ficar voltada para cima ou de cabeça para baixo. Os números encontrados serão diferentes, mas você vai usar essa equação exatamente da mesma maneira. Agora, uma outra pergunta que eu quero fazer para você: o que aconteceria se, em vez de usar um espelho côncavo, a gente usasse um espelho convexo? Bem, vamos dizer que usamos um espelho com esse formato aqui. Ao fazer isso, imagine que nosso olho novamente está aqui, olhando para esse objeto à frente do espelho e vamos ver uma imagem desse objeto. Nós vamos ver o objeto aqui, mas também vamos ver a imagem. Esse espelho, em vez de côncavo, é um espelho convexo. Sendo assim, a distância focal está atrás do espelho. Sabendo disso, o que vamos fazer para descobrir onde está a imagem? Novamente nós vamos usar a equação do espelho. Vamos usar a mesma equação, ou seja, temos 1 sobre a distância focal, novamente a gente precisa tomar uma decisão sobre o sinal... Repare que a distância focal agora está atrás do espelho. Sabendo disso e usando a convenção que eu estou usando, a distância focal para um espelho convexo será negativa, ou seja, temos aqui que isso é igual a quatro centímetros negativo e isso será igual a 1 sobre a distância do objeto. Bem, novamente o objeto está na frente do espelho, então temos 12 centímetros positivo. Então a distância do objeto será 12 centímetros positivo. Aí, adicionamos a isso aqui o inverso da distância da imagem, que não sabemos, e é isso que vamos resolver. Dessa vez, isso vai ser igual a 1/-4, pois a distância focal está atrás do espelho, aí subtraímos disso 1/12, e tudo isso será igual a 1 sobre a distância da imagem. Aqui do lado esquerdo temos -¼, mas isso é igual a -3/12. Sendo assim, temos -3/12 menos 1/12, e isso aqui é igual a -4/12. Continuando a nossa equação, isso tem que ser igual a 1 sobre a distância da imagem. Repare que -4/12 é o mesmo que -⅓. Sendo assim, temos que 1 sobre a distância da imagem é igual a -⅓. Ao inverter isso, chegamos à conclusão de que a distância da imagem ao centro do espelho é igual a -3 centímetros. Então, em outras palavras, isso daqui é -⅓, aí quando a gente inverte isso percebemos que a distância da imagem é igual a -3 centímetros. Ao obter isso, onde a nossa imagem vai ficar? Bem, já encontramos um valor negativo. Isso significa que a imagem está atrás do espelho, porque essa é a convenção de sinais que estamos usando. Então vai ficar três centímetros atrás do espelho. Sendo assim vai ficar em um lugar mais ou menos por aqui, três centímetros atrás do espelho. Agora, novamente, se a gente quiser descobrir qual será a altura e se ela está virada para cima ou para baixo, temos que usar a equação de ampliação. A equação de ampliação ficou assim, ou seja, temos aqui que a altura da imagem sobre a altura do objeto é igual a menos a distância da imagem sobre a distância do objeto. Vamos ver o que temos aqui do lado direito. Isso vai ser... -3 é a distância da imagem, então eu tenho que substituir -3 aqui. Temos um negativo aqui, que sempre está aqui, mas agora temos o outro negativo dentro dessa distância da imagem. Afinal, temos -3. Isso sobre a distância do objeto que, novamente, é 12 centímetros. O que temos aqui? Temos o negativo de -3, que é 3 positivo, sobre 12, e isso é igual a ¼ positivo. Os centímetros se cancelam aqui. O que essa proporção diz, que é uma ampliação, é que a imagem não será invertida. Esse positivo significa que a imagem vai ficar voltada para o mesmo lado do objeto e a proporção de ¼ significa que será ¼ do tamanho do objeto e o motivo disso é que essa proporção é igual à altura da imagem sobre a altura do objeto. Então, em outras palavras, se eu multiplicar os dois lados, eu posso dizer que a altura da imagem é igual a ¼ positivo da altura do objeto. Bem, a altura do nosso objeto é igual a três centímetros nesse caso, mas qualquer que seja a altura do objeto, ao multiplicar por essa razão de -d𝓲 sobre do, teremos a altura da imagem. Então vamos ter aqui ¼ de 3. Assim encontramos ¾ de centímetro positivo, ou seja, temos um valor bem pequenininho. Teremos essa pequena imagem que vai estar virada para cima, então vai estar bem aqui. Mas como eu disse, vai ser bem pequenininha. Teremos uma altura igual a ¾ de centímetro. E é assim que a nossa imagem vai ficar. Enfim, recapitulando: você pode usar a equação dos espelhos esféricos para descobrir onde as imagens serão localizadas. A convenção de sinais que estamos usando é que objetos, imagens e distâncias focais na frente de um espelho serão positivos. Qualquer coisa atrás do espelho será negativa. Aí, depois de ter feito isso, você pode usar a equação de ampliação para descobrir a altura da imagem em relação ao objeto dividindo a distância da imagem pela distância do objeto, e aí, também saber se essa imagem vai estar voltada para cima ou para baixo. Conseguiu compreender tudo direitinho? Espero que sim. E mais uma vez eu quero deixar aqui para você um grande abraço e dizer que encontro você na próxima. Então, até lá!