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Lei de Snell - Exemplo 2

Exemplo 2 da Lei de Snell. Versão original criada por Sal Khan.

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RKA5GM Vamos dar outro exemplo um pouco mais relacionado à Lei de Snell. Então, há uma pessoa aqui, sentada na beira desa piscina, e ela tem uma pequena caneta de laser nas mãos. E ela acende seu laser, que está brilhando, a 1,7 m acima da superfície da piscina. E ela emite o brilho que percorre 8,1 m até atingir a superfície da água. Então, a luz é refratada para dentro, passando para o meio onde seu deslocamento é mais lento, ou seja, um meio mais refringente. Se você considerar a analogia do carro, os pneus externos permanecem para fora durante um período mais longo. Portanto, movimentam-se mais rápido. Portanto, é refratada para dentro. E aí, atinge o fundo da piscina em algum ponto aqui. E fomos informados que a piscina tem 3 m de profundidade. O que eu quero descobrir é qual a distância esse ponto atinge? Então, qual é a distância aqui? E para descobrir isso, preciso descobrir qual é esta distância. Então esta distância bem aqui. E qual é aquela distância? E somá-las, para que eu possa descobrir esta parte. Estou tentando colocar em uma cor diferente. Esta parte até onde atingimos a superfície da água, e descobrir esta distância adicional aqui. Eu espero que com um pouquinho de trigonometria e um pouco da Lei de Snell, nós consigamos chegar lá. Então vamos começar talvez com a questão mais simples. E parece que vai compensar mais tarde. Então vamos descobrir qual é esta distância bem aqui. Portanto, apenas a distância ao longo da superfície da água, ao longo de onde o laser começa a tocar a água. Isso é um problema evidente de Pitágoras. Este é um ângulo reto, esta é a hipotenusa e esta é a distância. Vamos chamar essa distância de "x". x² + 1,7 m² vai ser igual a 8,1², um simples teorema de Pitágoras. Portanto, x² + 1,7² vai ser igual a 8,1², ou poderíamos subtrair 1,7² de ambos os lados. Então x² é igual a 8,1² - 1,7². Então, se quisermos solucionar o "x", "x" vai ser a raiz quadrada positiva disso, pois apenas nos importamos com as distâncias positivas. "x" vai ser igual à raiz de 8,1² - 1,7². Então vamos usar nossa calculadora para isso. Então "x" vai ser igual à raiz quadrada de 8,1² - 1,7². O resultado é... parece que 7,9. Vamos arredondar: 7,92. Então podemos guardar esse número ali, para que possamos obter um número mais exato. Então isso é igual a 7,92. Isso é "x". Agora só precisamos descobrir a distância adicional bem aqui e somá-la a esse "x". Assim, vamos saber qual é a distância total. Então vejamos como podemos resolver isso. Então, vamos pensar qual é o ângulo de incidência, e em seguida o ângulo de refração. Eu tracei uma perpendicular à interface e à superfície, então, nosso ângulo incidente é este ângulo bem aqui. Este é o nosso ângulo incidente. E lembre-se, a Lei de Snell, para nós, importa o seno do ângulo. Na verdade, eu vou anotar o que importa para nós. Então, sabemos que esse é o nosso ângulo incidente. Esse é o nosso ângulo de refração. Sabemos que o nosso índice de refração para este meio aqui em cima, este é o índice de refração para o ar vezes o seno de θ₁. Isso é apenas a aplicação da Lei de Snell vezes o nosso ângulo incidente bem aqui. Vai ser igual ao índice de refração da água (nós vamos colocar os valores na próxima etapa) vezes o seno de θ₂, vezes o seno do nosso ângulo de refração, vezes o seno de θ₂. Agora, sabemos que podemos descobrir estes "n" dessa tabela aqui. E, na verdade, eu também peguei este problema do flexbook, no website ck12.org, ou, pelo menos, a imagem para o problema. E, portanto, se quisermos solucionar θ₂, ou se sabemos qual é o θ, podemos solucionar isso. Faremos isso com um pouco de trigonometria. Na verdade, se sabemos qual é o seno de θ₂, somos capazes de solucionar isso. Ou, de qualquer modo, pensaremos sobre isso. Na verdade, vamos apenas solucionar este ângulo. Assim se soubermos qual é este ângulo, poderemos usar um pouco de trigonometria para descobrir esta distância aqui. Então, para solucionar aquele ângulo, podemos verificar estes 2, assim só precisamos descobrir qual é esse. Aqui assim... Qual é o seno de θ₁? Então vamos inserir todos os nossos valores. Nosso índice de refração no ar é 1,00029 vezes o seno de θ, e vocês dizem: "Bem, como vamos descobrir qual é o seno de θ? Nem sabemos qual é o ângulo!". Mas lembrem-se de que isso é trigonometria básica. O seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa. Portanto, se vocês têm este ângulo aqui, vamos considerá-lo parte de um triângulo retângulo. Então, se você o considerar parte de um triângulo retângulo oposto sobre a hipotenusa, então isto é a razão desse lado, é a razão entre aquela distância e a hipotenusa. Esta distância aqui, nós acabamos de descobrir, é a mesma que aquela distância ali, é "x". Portanto, é 7,92. Então, o seno de θ₁ vai ser o oposto do ângulo, o oposto sobre a hipotenusa, que vem da definição de seno. Então, vai ser multiplicação, portanto, esta parte aqui, seno de θ₁, vai ser 7,92 sobre 8,1. E isso vai ser igual ao índice de refração da água. Então isso vai ser 1,33. Vou colocar isso em uma cor diferente. Então é... Eu não quero fazer em uma cor diferente, vou fazer em azul escuro. Então é 1,33 vezes o seno de θ₂. Então, se nós quisermos identificar o seno de θ₂, vocês apenas dividem ambos os lados dessa equação por 1,33. Então se vocês dividirem ambos os lados por 1,33, nós obtemos 1,00029 vezes 7,92 sobre 8,1, e também vamos dividir por 1,33. Então também vamos dividir por 1,33. Isso vai ser igual ao seno de θ₂. Então, façamos isso, vamos usar a calculadora. Assim temos 1,00029 vezes 7,92. Na verdade, eu poderia até dizer "vezes a segunda resposta", se quisermos o valor exato. Vou fazer isso para que seja preciso, não estamos nem arredondando. Então nós queremos dividir por 1,33, que é esse bem aqui, e em seguida queremos dividir por 8,1. Nós obtemos isso, isso vai ser igual ao seno de θ₂. Isso vai ser igual ao seno de θ₂, vou escrever isso. Então nós temos que 0,735 é igual ao seno de θ. E agora, nós podemos pegar o seno inverso de ambos os lados dessa equação para solucionar θ₂. Assim obtemos θ₂ é igual a... Vamos pegar o seno inverso desse valor. Então, eu pego o seno inverso do valor que acabamos de obter, portanto, a resposta é 47,3, o valor arredondado. O certo é 47,34°. Então são 47,34°, portanto conseguimos determinar que θ₂ era 47,34°. Agora, nós só temos que usar um pouco de trigonometria para determinar esta distância aqui. Portanto, o que a relação trigonométrica envolve? Nós sabemos esse ângulo e nós sabemos o lado adjacente. Sabemos que este aqui é 3. Qual a relação trigonométrica trata de opostos e de adjacente? A tangente. A tangente é o oposto sobre o adjacente. Então sabemos que a tangente deste ângulo bem aqui, de 47,34°, vai ser igual a este lado oposto aqui, vou chamá-lo de" y". Vai ser igual a "y" sobre o nosso lado adjacente, que é 3 m. Ou, se quisermos determinar "y", vocês multiplicam ambos os lados desta equação por 3. Você obtém 3 vezes tangente de 47,34 igual a "y". Então vamos só utilizar a calculadora. Então, 3 vezes a tangente de 47,34, eu vou utilizar a mesma resposta, 3 vezes a tangente disso é 3,255. Portanto, é esta distância bem aqui, "y", "y" é igual a 3,255 m. Agora, nossa pergunta era: qual é a distância total? Portanto, vai ser a distância "x" + "y". Então será 7,92, eu vou arredondar aqui, então será 7,92, mais a nossa resposta recente. Então temos 11,18. Ou, se realmente quisermos arredondar ou obter o mesmo número de dígitos significativos, apenas diremos 11,2 m. Então isso aqui é a distância que queríamos descobrir, o ponto no fundo da piscina, onde o laser real efetivamente atinge a superfície da piscina, será 11,18, aproximadamente, estou retornando um pouco. 11,18 m desde a beira da piscina, bem ali. Bom, enfim, espero que vocês tenham achado isso útil. Foi algo um pouco mais relacionado do que com outro problema da Lei de Snell. Mas, realmente, a parte difícil estava na trigonometria, considerando que vocês não precisavam saber esse ângulo, porque vocês têm todas as informações sobre o seno desse ângulo, vocês, na verdade, podem descobrir qual é esse ângulo agora, agora que vocês sabem o seu seno. Vocês podem descobrir o inverso do seno, mas não é nem mesmo importante. Nós conhecemos o seno do ângulo usando trigonometria básica. Podemos utilizar isso e a Lei de Snell para descobrir este ângulo bem aqui. E assim que vocês solucionarem isso, podem utilizar um pouco de trigonometria para descobrir esta distância adicional.