Aprenda a definição de centro de massa e como calculá-lo.

O que é centro de massa?

O centro de massa é uma posição definida relativa a um objeto ou sistema de objetos. É a posição média de todas as partes do sistema, ponderada de acordo com a massa de cada objeto.
Para objetos rígidos simples com densidade uniforme, o centro de massa está localizado na centroide. Por exemplo, o centro de massa de um disco uniforme está em seu centro. Algumas vezes o centro de massa não cai em lugar algum do objeto. O centro de massa de um anel, por exemplo, está localizado em seu centro, onde não há nenhum material.
Para formas mais complicadas, precisamos de uma definição matemática mais geral do centro de massa: é a posição única na qual a soma dos vetores de posição ponderados de todas as partes do sistema é igual a zero.

O que é útil sobre o centro de massa?

A coisa interessante sobre o centro de massa de um objeto ou um sistema é que é o ponto onde qualquer força uniforme atua sobre o objeto. Isso é útil porque torna mais fácil resolver problemas de mecânica onde temos que descrever o movimento de objetos de formato estranho e sistemas complicados.
Para efeitos de cálculo, podemos tratar um objeto de formato estranho como se toda sua massa estivesse concentrada em um objeto minúsculo localizado no centro de massa. Às vezes chamamos esse objeto imaginário de ponto de massa.
Se empurrarmos um objeto rígido no seu centro de massa, então o objeto se moverá sempre como se fosse um ponto de massa. Ele não girará em torno de nenhum eixo, independente da sua forma real. Se o objeto for submetido a uma força desequilibrada em algum outro ponto, aí ele começará a girar sobre o centro de massa.

Como obter o centro de massa de qualquer objeto ou sistema?

Em geral o centro de massa pode ser encontrado por adição vetorial dos vetores de posição ponderada que apontem para o centro de massa de cada objeto em um sistema. Uma técnica rápida que nos permite evitar o uso de aritmética vetorial é encontrar o centro de massa separadamente para componentes ao longo de cada eixo. Ou seja:
Para posições de objeto ao longo do eixo x:
COMx=m1x1+m2x2+m3x3+m1+m2+m3+\mathrm{COM}_x = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}
E da mesma forma para o eixo y:
COMy=m1y1+m2y2+m3y3+m1+m2+m3+\mathrm{COM}_y = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}
Juntos, estes dão as coordenadas completas (COMx,COMy)(\mathrm{COM}_x, \mathrm{COM}_y) do centro de massa do sistema. Por exemplo, considere o sistema de três objetos planos de densidade uniforme, mostrados na Figura 2.
A localização do centro de massa, na direção de xx é:
14+16+2121+1+2=8,5\frac{1\cdot 4 + 1\cdot 6 + 2\cdot 12}{1+1+2} = 8,5
e na direção yy:
15+112+28,51+1+2=8,5\frac{1\cdot 5 + 1\cdot 12 + 2\cdot 8,5}{1+1+2} = 8,5
Objetos complexos muitas vezes podem ser representados como uma coleções de formas simples, cada uma com uma massa uniforme. Podemos então representar cada forma componente como um ponto de massa localizado no centroide. Espaços vazios dentro dos objetos podem ser contabilizados por representá-los como formas com massa negativa.
Considere o objeto de forma plana, irregular e densidade uniforme, mostrado na Figura 3a.
Podemos dividir este objeto em quatro retângulos e um círculo, conforme mostrado na figura 3b. Aqui estamos interessados apenas na posição do centro de massa em unidades relativas mostrada na figura. O material tem densidade uniforme, então a massa é proporcional à área. Para simplificar podemos representar a massa de cada seção em unidades de 'quadrados', como mostrado no diagrama.
Na direção xx, o centro de massa está em:
Observe que a área do vazio circular é π1,527,1\pi \cdot 1,5^2 \simeq 7,1. Isso é contabilizado como uma massa negativa.
Na direção yy:

O que é o centro de gravidade?

O centro de gravidade é o ponto através do qual a força da gravidade age sobre um objeto ou sistema. Na maioria dos problemas de mecânica o campo gravitacional é considerado uniforme. O centro de gravidade está então exatamente na mesma posição que o centro de massa. Os termos centro de gravidade e centro de massa tendem a ser usados de forma equivalente, já que eles estão muitas vezes na mesma localização.

Que tal determinar o centro de massa de um objeto real?

Existem alguns testes experimentais úteis que podem ser feitos para determinar o centro de massa de objetos físicos rígidos.
O método da borda da mesa (Figura 4) pode ser usado para encontrar o centro de massa de pequenos objetos rígidos com pelo menos um lado plano. O objeto é arrastado lentamente sem girar ao longo da superfície de uma mesa até sua borda. No momento em que o objeto está prestes a cair, uma linha é desenhada paralela à borda da mesa. O procedimento é repetido com o objeto girado 90°. O ponto de intersecção das duas linhas dá a localização do centro de massa no plano da mesa.
O método da linha de prumo (Figura 5) também é útil para objetos que possam ser suspensos livremente sobre um ponto de rotação. Um bom exemplo é uma peça de papelão de forma irregular suspensa por uma tacha. O papelão gira livremente ao redor da tacha sob gravidade e atinge um ponto estável. Um fio de prumo é pendurado na tacha e usado para marcar uma linha no objeto. A tacha é movida para outro local e o procedimento repetido. O centro de massa encontra-se, então, sob o ponto de intersecção das duas linhas.

Centro de massa e estabilidade de tombamento

Uma aplicação útil do centro de massa é determinar o ângulo máximo que um objeto pode ser inclinado antes que ele tombe.
A figura 6a mostra uma seção transversal de um caminhão. O caminhão foi mal carregado com muitos itens pesados no lado esquerdo. O centro de massa é mostrado como um ponto vermelho. Uma linha vermelha estende-se para baixo a partir do centro de massa, representando a força da gravidade. A gravidade atua em todo o peso do caminhão através dessa linha.
Se o caminhão é inclinado em um ângulo θt\theta_\mathrm{t} (como mostrado na figura 6b) então todo o peso do caminhão será sustentado pela borda externa da roda esquerda. Se o ângulo for ainda maior, então o ponto de apoio se moverá para fora de qualquer ponto de contato com a estrada e o caminhão certamente tombará. O ângulo θt\theta_\mathrm{t} é o limite de tombamento.
Exercício 1: Determine o limite de tombamento para o objeto de densidade uniforme mostrado na Figura 7, conforme ele é inclinado para a direita.

Centro de massa como sistema de referência

Quando o termo sistema de referência é usado em física, refere-se ao sistema de coordenadas usado para cálculos. Um sistema de referência tem um conjunto de eixos e uma origem (ponto zero). Na maioria dos problemas, o sistema de referência é fixo em relação ao laboratório e é escolhido um ponto de origem conveniente (mas arbitrário). Isso é conhecido como sistema de referência laboratorial. No entanto, na física clássica também é possível usar qualquer outro sistema de referência e esperar que as leis da física se mantenham dentro dele. Isso inclui sistemas de referência que estão se movendo em relação ao laboratório.
Uma propriedade muito útil do centro de massa é que ele pode ser usado para definir a origem de um sistema de referência em movimento para um determinado sistema. Este sistema de referência é às vezes chamado de sistema CDM. O sistema CDM é particularmente útil em problemas de colisão. Acontece que o momento de um sistema totalmente definido medido no sistema CDM é sempre zero. Isto significa que muitas vezes os cálculos podem ser muito mais simples quando feitos no sistema CDM comparado com o sistema de referência laboratorial. Vamos considerar um exemplo simples:
Considere dois carrinhos correndo ao longo de uma faixa na mesma direção, como mostrado na Figura 9. O carrinho esquerdo está viajando mais rápido assim haverá inevitavelmente uma colisão. Vamos supor que a colisão é elástica. Quais são as velocidades após a colisão?
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