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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 6

Lição 2: Colisões elásticas e inelásticas

O que são colisões elásticas e inelásticas?

Colisões podem ser elásticas ou inelásticas. Saiba mais sobre o que é conservado e não conservado durante colisões elásticas e inelásticas.

O que é uma colisão elástica?

Uma colisão elástica é uma colisão em que não há nenhuma perda líquida em energia cinética do sistema como resultado da colisão. A quantidade de movimento e a energia cinética são grandezas conservadas em colisões elásticas.

Suponha que dois carrinhos semelhantes estão viajando em direção um ao outro com velocidade escalar igual. Eles colidem, ricocheteando sem perda de velocidade escalar. Esta colisão é perfeitamente elástica, porque nenhuma energia foi perdida.

Na realidade, os exemplos de colisões elásticas perfeitas não são parte da nossa experiência cotidiana. Algumas colisões entre átomos em gases são exemplos de colisões perfeitamente elásticas. No entanto, existem alguns exemplos de colisões em mecânica onde a energia perdida pode ser insignificante. Estas colisões podem ser consideradas elásticas, mesmo que elas não sejam perfeitamente elásticas. Colisões de bolas de bilhar rígida ou as bolas num pêndulo de Newton são dois exemplos disso.

Por que consideraríamos uma colisão como perfeitamente elástica?

Uma vez que nenhum problema de mecânica, que estamos propensos a encontrar, envolve uma colisão perfeitamente elástica, pode parecer que o conceito é de pouca utilidade. No entanto, na prática, muitas vezes é muito útil. Isso ocorre porque a exigência de que a energia cinética seja conservada fornece uma restrição adicional para nossas equações de movimento. Isso nos permite resolver problemas em que caso contrário teríamos muitas incógnitas. Muitas vezes a solução será bastante adequada, pois a colisão é 'próxima o suficiente' de ser perfeitamente elástica.

Suponha que uma colisão elástica frontal ocorre entre dois carrinhos (A e B) num trilho. Queremos saber as velocidades finais (subscrito f) para ambos os carrinhos, mas só são dadas as velocidades iniciais

v_{A i}

and

v_{B i}

. Aplicando a conservação da quantidade de movimento, podemos ver que temos uma equação com duas incógnitas,

v_{A f}

v_{B f}

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

Como a energia cinética também é conservada, temos simultaneamente outra restrição:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

Como agora temos duas equações com duas incógnitas, sabemos que podemos resolver esse sistema usando equações simultâneas para determinar as duas velocidades.

Resolvendo essas equações é um tanto tedioso. Por agora, podemos simplesmente afirmar o resultado:

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Da conservação do momento:

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

e de conservação de energia cinética:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

Depois da simplificação e rearranjando a equação da energia cinética:

m_{A} (v_{A i}^{2} - v_{A f}^{2}) = m_{B} (v_{B f}^{2} - v_{B i}^{2})

Usando o método da fatoração binomial, isto pode ser escrito

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) (v_{A i} + v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i}) (v_{B f} + v_{B i})

Agora retornando à equação de conservação do momento, isto pode ser escrito de uma forma similar

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i})

Agora, dividindo essas duas equações uma pela outra temos um resultado simples

v_{A i} + v_{A f} = v_{B f} + v_{B i}

v_{B f} = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}

Agora podemos substituir isto na equação original da conservação do momento. Podemos organizar a equação para colocar todos os termos do

V_{A f}

do lado direito:

\begin{aligned} m_{A} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} (v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}) \\ = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} - m_{B} v_{A f} + m_{B} v_{B i} \\ m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} + m_{B} v_{B i} \end{aligned}

Fatorando as velocidades temos:

(m_{A} + m_{B}) v_{A f} = (m_{A} - m_{B}) v_{A i} + 2 m_{B} v_{B i}

Que podem ser re-arranjadas para dar o resultado final para

v_{A f}

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Nós agora podemos substituir isto de volta para o resultado da divisão anterior:

\begin{aligned} v_{B f} & = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i} \\ = v_{A i} + (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i} - v_{B i} \end{aligned}

Agora podemos agrupar todos os termos de velocidade e organizar sobre um denominador comum da soma das massas:

v_{B f} = \frac{(m_{A} + m_{B}) + (m_{A} - m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{A i} + \frac{2 m_{B} - (m_{A} + m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{B i}

Que pode ser simplificada para a forma final:

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

O interessante sobre essas soluções são as limitações que se aplicam para diferentes configurações de colisões frontais. Essas podem nos ajudar a ter uma compreensão intuitiva do que acontece em situações como colisões elásticas em um Pêndulo de Newton.

Um objeto A colide com um objeto de igual massa B, que está em repouso:

v_{A f} = 0

v_{B f} = v_{A i}

O objeto impactante para imediatamente, o alvo ganha a exatamente a mesma velocidade escalar do objeto impactante.

Esse é exatamente o tipo de interação que vemos no Pêndulo de Newton. Quando uma bola é balançada em um dos lados do pêndulo, uma bola sempre sai do outro lado. Em princípio, a quantidade de movimento também poderia ser conservada se duas bolas saírem, cada uma com metade da velocidade escalar original. No entanto, as colisões são (na maioria das vezes) elásticas. A única maneira de garantir a conservação tanto da quantidade de movimento quanto da energia cinética é se só uma bola sai.

Um objeto A colide com um objeto de igual massa B. Os objetos têm mesmas velocidades mas em sentidos opostos.

v_{A f} = v_{B i}

v_{B f} = v_{A i}

Os dois objetos ricocheteiam um do outro, trocando de velocidade. Curiosamente, esse resultado também vale para dois objetos colidindo com momentos iguais mas opostos: os objetos vão trocar momento. Este é um resultado muito útil que nos permite simplificar problemas complexos de colisão elástica. Nosso artigo sobre centro de massa contém um exemplo que faz uso deste fato para simplificar o cálculo de uma colisão elástica de dois objetos em movimento.

Um objeto pesado colide com um alvo muito mais leve que está em repouso.
A velocidade final do objeto pesado tende a sua velocidade inicial. Isto é intuitivo; o objeto leve tem pouco efeito sobre o objeto pesado.
Um objeto leve colide com um alvo muito mais pesado que está em repouso.
O objeto leve ricocheteia do alvo, mantendo a mesma velocidade escalar, mas com sentido oposto. O alvo pesado permanece em repouso.

Exercício 1a: Um jogador de badminton bate com sua raquete numa peteca que está parada. A velocidade escalar da raquete medida pela câmera de alta velocidade é de

v_{r} = 20 m / s

logo antes de golpear a peteca. Com qual velocidade escalar aproximadamente você esperaria que a peteca viaje após a colisão?

Exercício 1b: Se a raquete tem uma massa de

m_{r} = 100 gramas

e a peteca tem uma massa de

m_{p} = 5 gramas

, calcule a velocidade escalar exata

v_{p}

assumindo uma colisão elástica.

O que é uma colisão inelástica?

Uma colisão inelástica é uma colisão em que há uma perda de energia cinética. Enquanto a quantidade de movimento do sistema é conservada em uma colisão inelástica, a energia cinética não é. Isto acontece porque alguma energia cinética foi transferida para outra coisa. As opções prováveis são: energia térmica, energia sonora e deformação do material.

Suponha que dois carrinhos semelhantes estão viajando um em direção ao outro. Eles colidem, mas como estão equipados com engates magnéticos, eles se unem durante a colisão e tornam-se uma massa ligada. Esse tipo de colisão é perfeitamente inelástica porque a energia cinética máxima possível foi perdida. Isso não significa que a energia cinética final é necessariamente zero; a quantidade de movimento ainda deve ser conservada.

No mundo real a maioria das colisões é algo entre perfeitamente elástica e perfeitamente inelástica. Normalmente, uma bola caindo de uma altura

h

em cima de uma superfície quica a uma altura inferior a

h

, dependendo de quão rígida é a bola. Tais colisões são chamadas simplesmente de colisões inelásticas.

Existem alguns exemplos de colisões perfeitamente inelásticas?

O pêndulo balístico é um dispositivo prático no qual ocorre uma colisão inelástica. Até o advento da instrumentação moderna, o pêndulo balístico foi amplamente utilizado para medir a velocidade escalar de projéteis.

Neste dispositivo, um projétil é lançado na direção de um bloco suspenso e pesado feito de madeira. O bloco de madeira está inicialmente estacionário. Após a colisão, o projétil penetra no bloco. Alguma energia cinética é transformada em calor, som e usada para deformar o bloco. No entanto, a quantidade de movimento ainda deve ser conservada. Consequentemente, o bloco balança para frente com alguma velocidade. Após a colisão, o bloco se comporta como um pêndulo em que a energia mecânica total é conservada. Por isso, podemos usar a altura máxima do pêndulo para determinar a energia cinética do bloco após a colisão e, em seguida, usando a conservação da quantidade de movimento, podemos encontrar a velocidade escalar inicial do projétil.

Sabemos que apenas a quantidade de movimento é conservada nessa colisão, então a quantidade de movimento do projétil antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento do sistema bloco-projétil imediatamente após a colisão. Aqui usamos o subscrito

B

para o bloco,

P

para o projétil.

v_{B}

é a velocidade do bloco logo após o impacto.

m_{P} v_{P} = (m_{B} + m_{P}) v_{B}

após re-organizar:

v_{B} = \frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}}

Sabemos que após a colisão, a energia mecânica do sistema bloco-projétil é conservada, então se o bloco sobe até uma altura máxima de

h

sob uma aceleração gravitacional

g

então:

\frac{1}{2} (m_{P} + m_{B}) v_{B}^{2} = (m_{P} + m_{B}) g h

após re-organizar:

v_{B}^{2} = 2 g h

Substituindo na nossa expressão anterior de conservação da quantidade de movimento para a velocidade inicial do bloco:

\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}} = \sqrt{2 g h}

assim, após uma reorganização final:

v_{P} = \frac{m_{P} + m_{B}}{m_{P}} \sqrt{2 g h}

Exercício 2a: Suponha que uma bala de mosquete de 10 gramas é atirada em um bloco de 1 kg, que faz parte de um pêndulo balístico. Ele se move para uma altura de 0,3 m. Qual é a velocidade escalar inicial da bala?

Exercício 2b: Suponha que a bala de mosquete no exercício anterior foi substituída por uma bala com metade da massa e o dobro da velocidade escalar inicial. Seria seguro fazer o experimento com o mesmo aparelho? Você esperaria o mesmo resultado?

Como a quantidade de movimento da bala é a mesma que a do mosquete, devemos esperar a mesma deflexão. Reorganizando a nossa expressão anterior para fazer

h

como objeto,

h = \frac{1}{2 g} {(\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}})}^{2}

mostra que isso é verdade, na medida em que a massa do bloco é muito maior do que a da bala. No entanto, devemos reconhecer que a energia cinética que deve ser dissipada no bloco é agora duas vezes maior. Isto significa que não é necessariamente seguro usar o mesmo bloco; ele pode explodir imprevisivelmente.

O que é o Coeficiente de Restituição?

O coeficiente de restituição é um número entre 0 e 1 que descreve onde uma interação está na escala entre perfeitamente inelástica (0) e perfeitamente elástica (1).

Para um objeto quicando em um alvo fixo, o coeficiente de restituição é a razão da velocidade escalar

v_{f}

final e inicial

v_{i}

, ou seja:

C_{R} = \frac{v_{f}}{v_{i}}

Coeficientes de restituição de bolas esportivas comuns variam de 0,35 para uma bola de críquete em uma superfície de madeira, a 0,9 para uma bola de golfe chocando-se com um alvo de aço [1]. O coeficiente de restituição de uma bola de bilhar pode ser de até 0,98 [2].

O que é causa mais dano– uma colisão de veículo mais elástica ou mais inelástica?

Isso depende de com o que você está preocupado – o veículo ou o ocupante!

Suponha que um veículo colida elasticamente com outro objeto. O veículo irá necessariamente recuar. A mudança na quantidade de movimento conforme o veículo recua é maior do que em uma colisão inelástica equivalente. A força sobre um ocupante, portanto, é maior e isso é claramente pior para o ocupante. Por outro lado, porque é uma colisão elástica, nenhuma energia será dissipada na deformação do veículo. Danos à estrutura do veículo, portanto, seriam minimizados.

Veículos modernos são projetados para fazer uso de colisão inelástica e elástica, em caso de acidente. A carroceria de um veículo é projetada para absorver a energia em uma colisão através da deformação de zonas de amassos, construídas na estrutura do veículo. O interior da carroceria no entanto é projetado para ser resistente, para que os danos nos ocupantes sejam minimizados.

Recomendações

[1] A. Haron and K. A. Ismail 2012 Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test in 'IOP Conference Series: Materials Science and Engineering' vol. 36 #1.

[2] Mathavan, S., Jackson, M.R. and Parkin, R.M, 2010. A theoretical analysis of billiard ball dynamics under cushion impacts. In 'Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science', 224 (9), pp. 1863 - 1873

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everton.falanqui
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Gostaria de videos que de...” de everton.falanqui
Gostaria de videos que demonstrassem essas fórmulas.
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(6 votos)
Resposta
Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “O que é uma colisão elást...” de Fabricio Gegenheimer
O que é uma colisão elástica?
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Resposta
- jogadoranumero1
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Uma colisão elástica é um...” de jogadoranumero1
  Uma colisão elástica é uma colisão em que não há nenhuma perda líquida em energia cinética do sistema como resultado da colisão. A quantidade de movimento e a energia cinética são grandezas conservadas em colisões elásticas.
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