Derivando o atalho para resolver problemas de colisão elástica

RKA7MP - No vídeo passado, nós vimos a colisão entre uma bola de tênis e uma bola de golfe. Demos os valores e as massas e dissemos que era um choque elástico. Pelo choque ser elástico, nós fizemos que a soma dos momentos antes do choque é igual à soma dos momentos depois do choque, e a energia cinética antes do choque é igual à energia cinética depois do choque. Fazendo isso, nós encontramos uma equação do segundo grau, que pode ser até bonita mas é bem complicada e você pode errar. O que vamos fazer neste vídeo é achar uma maneira mais simples de resolver este tipo de problema quando temos um choque elástico. Para isso, em vez de pegar números, vamos pegar a maneira literal de resolver o problema para acharmos uma solução geral. Portanto, vamos ver. Vamos colocar como vt₀, a velocidade da bola de tênis inicial, a massa da bola de tênis como mt, a velocidade da bola de golfe inicial como vg₀ e a massa da bola de golfe como mg. Fazendo da mesma forma, a soma dos momentos antes do choque vai ser igual à soma dos momentos depois do choque. Quem são os momentos antes do choque? Nós temos a massa da bola de tênis vezes a velocidade da bola de tênis inicial, mais a massa da bola de golfe vezes a velocidade da bola de golfe inicial, é igual à massa da bola de tênis vezes a velocidade da bola de tênis final, mais a massa da bola de golfe vezes a velocidade da bola de golfe final. Vamos ajeitar esta equação, daqui a pouco a gente diz o porquê. Vamos pegar essa massa da bola de tênis vezes a velocidade da bola de tênis final, passar para o lado de cá e a massa da bola de golfe vezes velocidade da bola de golfe inicial, passar para o lado de lá. Vamos ter a massa da bola de tênis vezes velocidade da bola de tênis inicial menos a massa da bola de tênis vezes velocidade da bola de tênis final é igual à massa da bola de golfe vezes velocidade da bola de golfe final menos a massa da bola de golfe vezes a velocidade da bola de golfe inicial. Colocando em evidência o mt, nós temos aqui a massa da bola de tênis vezes, velocidade da bola de tênis inicial menos a velocidade da bola de tênis final. E deste lado, nós vamos ter a massa da bola de golfe em evidência, ficamos com a velocidade da bola de golfe final menos a velocidade da bola de golfe inicial. Então, vamos guardar esta equação e vamos ver agora que está acontecendo do ponto de vista da energia cinética. A energia cinética, como é um choque elástico, a energia cinética antes do choque será igual à energia cinética depois do choque. Antes do choque, a energia cinética é ½ de mt × vt₀², mais ½ da mg × vg₀², vai ser igual a ½ da mt vezes vtf², mais ½ da mg vezes vgf². Vemos que todos estes membros estão multiplicados por ½. Portanto, podemos simplificar multiplicando por 2 ou dividindo por ½. Então, nós temos que a mt vezes vt₀² mais mg × vg₀² é igual a mt × vtf² mais mg × vgf². Vamos ajeitar esta equação e colocar mt × vt₀² menos mt × vtf² é igual a mg vezes vgf² menos mg × vg₀². Colocando em evidência a massa da bola de tênis, nós vamos ter mt é vt₀² menos vtf². Colocando a massa da bola de golfe em evidência, vamos ter a vgf² mais vg₀². Vejam o seguinte, nós temos aqui um produto notável no seguinte aspecto do produto da soma pela diferença. Quando temos o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, nós podemos escrever como o primeiro vt₀ menos vt multiplicado por vt₀ mais vtf. Isso é o produto a soma pela diferença e você pode verificar. E agora, nós temos, deste lado, a massa da bola de golfe vezes o produto da soma pela diferença também. Aqui é um menos. Produto da soma pela diferença, você tem a vgf menos vg₀, vezes vgf mais vg₀. Agora, veja a mágica: Este cara aqui é igual a este cara aqui. Significa que, se isto é uma igualdade, eu posso substituir este termo aqui neste lugar. Portanto, fazendo isso, nós temos que no lugar de mt vezes vt₀ menos vtf, nós podemos colocar este termo. Então, ficamos com mg vezes vgf, menos vg₀, ou seja, colocamos este termo neste local aqui, vezes vt₀ mais vtf, vai ser igual a mg vezes vgf, menos vg₀, vezes vgf menos vg₀. Verificamos que os dois membros estão multiplicados por mg. Então, eu posso simplificar, não vai depender da massa. Isso é fantástico, não é? E este termo é igual a este. Portanto, eu posso simplificar também. Ficamos no final com vt₀ mais vtf é igual (aqui é um "mais) a vgf mais vg₀. Esta equação é importante porque, quando nós temos duas incógnitas para resolver o problema com esta equação que nós achamos agora, nós podemos ver a relação entre as incógnitas sem precisar recorrer a uma equação do segundo grau. Portanto, essa é uma maneira bem mais simples de resolver o problema e vamos aplicar esse exemplo em vídeos posteriores.