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Transcrição de vídeo

RKA7MP - Neste problema, vemos uma colisão entre uma bola de tênis e uma bola de golfe. Aqui está a massa da bola de golfe e aqui está a massa da bola de tênis. Vamos supor que esta bola de tênis esteja com a velocidade para a direita de 40 metros por segundo e a bola de golfe, com velocidade para a esquerda de 50 m/s. A pergunta é: qual é a velocidade final da bola de tênis e qual é a velocidade final da bola de golfe? Agora, vemos que temos duas incógnitas. Nos problemas anteriores, vimos uma incógnita apenas e, com a conservação do momento, nós poderíamos resolver. Agora não é tão simples. A conservação do momento continua valendo, ou seja, a soma de todos os momentos antes do choque vai ser igual à soma de todos os momentos após o choque. Temos a conservação do momento. E como você acha o momento? Multiplicando todas as massas pelas velocidades. Neste caso, nós só temos duas. Portanto, você vai ter a massa de 0,058 kg vezes 40 m/s. Está tudo no sistema internacional, eu não estou colocando as unidades. 0,045 kg vezes -50, uma vez que esta velocidade está orientada para a esquerda. Se nós tivermos um eixo orientado para a direita como positivo, essa velocidade está negativa. Isso vai ser igual ao momento depois do choque. O momento depois do choque é 0,058 vezes a velocidade que queremos calcular, vamos chamar apenas de Vt, mais a massa da bola de golfe, 0,045, vezes a velocidade Vg. Nós temos esta equação e ela é válida. Não importa se o sistema é elástico ou inelástico. Fazendo toda esta conta, nós vamos ter o total dela como 0,07, e a unidade é kg·m/s. Isso é igual a, vamos repetir esta parte que é 0,058 Vt mais 0,045 Vg, que é a bola de golfe. Então, esta relação é válida para qualquer que seja o tipo de colisão. Veja, se nós analisarmos como a colisão inelástica, se for uma colisão inelástica, ela vai ter a propriedade das velocidades finais, tanto o Vt quanto o Vg, vai ser uma velocidade comum. E ficaria fácil de resolver pois, nessa equação, teríamos apenas uma incógnita. Mas há de se considerar que a bola de tênis, ao se chocar com a bola de golfe, não vão ficar grudadas uma na outra, a não ser que tivesse uma cola bem resistente. Essa colisão pode ser elástica ou pode ser parcialmente inelástica porque elas vão se soltar depois. Analisando do ponto de vista que essa colisão seja elástica, nós temos as seguintes características: na colisão elástica, não há perdas de energia por som, atrito, energia cinética. Na realidade, quando você tem uma aproximação de uma bola de tênis com uma bola de golfe, existe a perda por som, você escuta o barulho, e por calor, mas é tão pequena que a gente pode desprezar, ou seja, o coeficiente de restituição da velocidade é praticamente 100%. Portanto, na colisão elástica, a gente vai ter a seguinte característica: a energia cinética antes do choque vai ser igual à energia cinética depois do choque. Isso não só é interessante como nos dá chance de criar uma nova equação e, através dessa nova equação, nós podemos ter duas equações, uma é essa e a outra é da energia cinética. Como é que você monta a energia cinética? A energia cinética do sistema vai ser a energia cinética da bola de tênis, lembrando que a energia cinética é uma grandeza escalar, portanto, não vai importar a direção e o sentido da velocidade, ela vai simplesmente se somar, ou seja, você tem a velocidade de 40, você vai ficar ½ de "m", vezes a velocidade ao quadrado mais a energia cinética da bola de golfe que é ½ de 0,045, vezes 50 m/s, tudo isto ao quadrado, e vai ser igual à energia cinética depois do choque, ou seja, vai ser a energia cinética depois do choque que vai ser ½ de 0,058, a massa da bola de tênis não vai mudar, vezes a velocidade da bola de tênis depois do choque, ao quadrado, mais ½ de 0,045, vezes a velocidade da bola de golfe ao quadrado. Agora, nós temos duas equações com duas incógnitas. Temos esta equação, vamos chamar de equação 2, e temos esta equação que vamos chamar de equação 1. Quando você tem um sistema de duas equações e duas incógnitas, você pode isolar uma das incógnitas e substituir na outra. É o que a gente pode fazer. Você vai ter o seguinte: fazendo toda esta conta do primeiro termo, nós temos o valor de 102,65 joules, que vai ser igual a toda esta expressão, que é ½ de 0,058 vezes Vt², mais ½ de 0,045 vezes Vg². Agora, vamos isolar esta primeira equação em uma das duas incógnitas para substituir na outra equação. Então, você pega este 0,058 Vt, passando para este lado, nós vamos ter 0,07 menos 0,058 Vt, é igual a zero 0,045 Vg. E agora, vamos dividir ambos os lados por 0,045. Dividindo ambos os lados por 0,045, nós vamos ter 1,56 menos 1,29 Vt, é igual a Vg. Esta equação é muito importante pois a gente pode pegar Vg e vamos chamar de equação 3. Vamos substituir nesta equação para que nós possamos ficar apenas com uma incógnita. Temos 102,65 é igual, está no sistema internacional, isto é dado em joules, ½ 0,058 Vt², mais ½ de 0,045, e agora, no lugar de Vg, vamos colocar o que é Vg. Fica multiplicado por Vg, que é 1,56 menos 1,29 Vt, tudo elevado ao quadrado. Agora sim, nós temos uma equação com apenas uma incógnita. E podemos ajeitar esta equação, e nós vamos ter 102,65 igual a ½ de 0,058 Vt², mais ½ de 0,045. E, aqui, nós temos um produto notável, que vai ser o quadrado do primeiro, 1,56², menos 2 vezes o primeiro pelo segundo, 1,56 vezes 1,29 Vt, mais o quadrado do segundo, que é 1,29 Vt, tudo ao quadrado. Veja que esta solução é bem complexa. Nós vamos mostrar em outros vídeos uma solução mais fácil. Mas é importante que você dê uma pausa neste vídeo e verifique esta solução, porque mostra claramente que, em uma colisão elástica, há conservação de energia cinética. E estamos fazendo pela maneira mais difícil. Continuando no nosso raciocínio, nós vamos ter 102,65, vai ser igual a, dividindo isto por 2, nós vamos ter 0,29 vezes Vt², mais, dividindo este 0,045 por 2, vamos ter 0,0225 que multiplica 1,56², menos 2 vezes 1,56, vezes 1,29 Vt, mais 1,29 Vt, tudo isso ao quadrado. Arrumando e colocando de forma de uma equação do segundo grau, fazendo todas estas contas, nós vamos ter que zero é igual a 0,066 Vt², menos 0,0906 Vt, menos 102,595. Agora, podemos resolver por Bhaskara, ou seja, a equação de Bhaskara, que é onde este Vt² é o "a", este 0,0906 Vt é o "b", e o -102,95 é o "c". Resolvendo pela equação de báscara, nós temos duas soluções. Uma solução é Vt igual a 40 m/s. E a outra solução é Vt igual a -39 m/s. Obviamente, vamos desprezar estes 40 m/s, pois ele já tinha 40 m/s, ou seja, para que a conservação do momento se preserve, é como se não houvesse o choque, e houve o choque. Portanto, vamos pegar este segundo valor, que é o mais conveniente. Agora, para descobrir o valor de Vg, nós vamos ter 1,56 menos 1,29, vezes a velocidade de Vt, que é -39, isto vai ser igual a Vg. Esta equação nós tiramos daqui. Ela está bem aqui. Agora, você calcula o valor de Vg, que vai ser de 52 m/s. É importante salientar que, na colisão elástica, você não tem perdas por energia cinética. Como você precisa das duas velocidades, você pode montar uma equação pela conservação do momento e montar uma outra equação pela conservação da energia cinética. Se fosse o caso de ser uma colisão inelástica, nós não precisaríamos nem procurar energia, uma vez que a velocidade final seria comum, a velocidade da bola de tênis e a velocidade da bola de golfe. Na prática, sabemos que isso não é verdade. Portanto, temos que utilizar pela colisão elástica. Com isso, através de duas equações, uma através da energia e outra através da conservação do momento, nós chegamos à solução dos cálculos das velocidades.