Conteúdo principal

O que são colisões em duas dimensões?

Aprenda a lidar com colisões em 2 dimensões... e se sinta melhor jogando bilhar.

Como resolver problemas de colisão bidimensional?

Em outros artigos, vimos como o momento é conservado em colisões. Também vimos como a energia cinética é transferida entre corpos e convertida em outras formas de energia. Aplicamos estes princípios a problemas simples, nos quais muitas vezes o movimento é restrito a uma dimensão.

Se dois objetos colidem frontalmente, eles podem se chocar e se mover ao longo da mesma direção da qual se aproximaram (ou seja, apenas uma única dimensão). No entanto, se dois objetos fazem uma colisão oblíqua, eles se moverão em duas dimensões após a colisão (como uma colisão de raspão entre duas bolas de bilhar).

Para uma colisão na qual os objetos estejam se movimentando em 2 dimensões (por exemplo, x e y), o momento será conservado em cada direção independente (desde que não haja nenhum impulso externo nessa direção).

Em outras palavras, o momento total na direção x será o mesmo antes e após a colisão.

Σ p_{x i} = Σ p_{x f}

O momento total na direção y também será o mesmo antes e após a colisão.

Σ p_{y i} = Σ p_{y f}

Ao resolver problemas de colisão bidimensional, uma boa abordagem geralmente segue um procedimento comum:

Identificar todos os corpos do sistema. Atribuir símbolos claros para cada um e desenhar um diagrama simples, se necessário.
Anotar todos os valores que você conhece e decidir exatamente o que você precisa descobrir para resolver o problema.
Selecionar um sistema de coordenadas. Se muitas das forças e velocidades recaem sobre uma determinada direção, é aconselhável usar esse sentido como seu eixo x ou y, para simplificar o cálculo; ainda que isso faça com que seus eixos não sejam paralelos à página em seu diagrama.
Identificar todas as forças que atuam em cada um dos objetos sistema. Certifique-se de que todo impulso é contabilizado ou que você saiba quando os impulsos externos podem ser desconsiderados. Lembre-se de que a conservação do momento só se aplica em casos onde não há nenhum impulso externo. No entanto, a conservação do momento pode ser aplicada separadamente às componentes horizontais e verticais. Às vezes, é possível desconsiderar um impulso externo, se não estiver na direção de interesse.
Escrever as equações que equiparam o momento do sistema antes e após a colisão. Equações separadas podem ser escritas para os momentos nas direções x e y.
Resolver as equações resultantes para determinar uma expressão para a(s) variável(is) de interesse.
Substituir os valores conhecidos na expressão para encontrar o resultado final. Se isto exigir uma soma vetorial, muitas vezes é útil fazê-lo graficamente. Um diagrama vetorial pode ser desenhado e o método de adicionar vetores do início ao fim utilizado. A trigonometria pode ser usada para obter a magnitude e a direção de todos os vetores que você precisa saber.

Problema da bola de bilhar

A Figura 1 descreve a geometria da colisão de uma bola de bilhar branca com uma amarela. A bola amarela está inicialmente em repouso. A bola branca é jogada no sentido positivo em x, tal que colida com a bola amarela. A colisão faz com que a bola amarela seja rebatida na direção de uma caçapa inferior direita em um ângulo de 28° com o eixo x.

A massa da bola amarela é 0,15 kg e da bola branca é 0,18 kg. Uma gravação de som revela que a colisão aconteceu 0,25 s após o jogador acertar a bola branca. A bola amarela cai na caçapa 0,35 s após a colisão.

Exercício 1a: Qual é a velocidade da bola branca após a colisão?

Neste problema, precisamos conhecer a velocidade da bola branca (magnitude e direção) após a colisão. Usaremos os subscritos 'b' e 'a' para as bolas branca e amarela e 'i' e 'f' para inicial e final. Os eixos x e y foram arbitrados na figura, então usaremos eles como os eixos em nossa análise.

A figura mostra as distâncias relevantes de viagem de cada bola. Conhecemos o tempo entre cada evento, então podemos determinar as velocidades. Organizando todas as informações, sabemos que:

\begin{aligned} m_{b} & = 0, 18 kg \\ m_{a} & = 0, 15 kg \\ v_{bi} & = \frac{1 m}{0, 25 s} ∠ 180^{\circ} \\ v_{ai} & = 0 \\ v_{af} & = \frac{1 m}{0, 35 s} ∠ 62^{\circ} \end{aligned}

Não há nenhuma indicação de que a energia é conservada neste problema (é uma colisão inelástica). Todo o impulso na colisão vêm da bola branca em movimento.

Colisões entre bolas de bilhar rígidas acontecem rápido, então podemos aplicar a conservação do momento:

\begin{aligned} m_{b} \cdot v_{bi} & = m_{b} \cdot v_{bf} + m_{a} \cdot v_{af} \\ v_{bf} & = \frac{1}{m_{b}} (0, 72 ∠ 180^{\circ} kg \cdot m / s - 0, 428 ∠ 62^{\circ} kg \cdot m / s) \end{aligned}

A aritmética vetorial necessária para encontrar

v_{wf}

pode ser feita graficamente. A Figura 2 mostra um diagrama vetorial com ambos os vetores momento

p_{wi}

- p_{yf}

somados do início ao fim. O vetor momento azul que conecta o início da cadeia ao fim representa a soma,

v_{wf}

neste caso.

Observe que subtrair o vetor

p_{yf}

é o mesmo que somar

- 1 \cdot p_{yf}

. A multiplicação por -1 é obtida simplesmente invertendo a direção do vetor. Esses artigos sobre vetores apresentam muitos exemplos de manipulação vetorial similar.

Os valores desconhecidos foram calculados usando trigonometria e mostrados em azul. O vetor resultante mostrado em azul é o momento final da bola branca. Ao dividir pela massa da bola branca se obtêm sua velocidade.

\frac{0, 396 kg \cdot m / s}{0, 18 kg} ∠ - 30, 33^{\circ} = 2, 2 m / s ∠ - 30, 33^{\circ}

Observe que também é possível (e, de modo geral, mais rápido) fazer a aritmética vetorial usando uma calculadora que trabalhe com números complexos. No entanto, ainda é aconselhável fazer um esboço do diagrama vetorial para que o resultado possa ser verificado visualmente.

Exercício 1b: Será que a bola branca está propensa a cair em alguma das caçapas? Em caso afirmativo, como isso pode ser evitado?

A figura mostra o ângulo da linha de intersecção do centro de massa da bola branca na colisão e da caçapa superior direita. Ele está indicado como sendo

31^{\circ}

em relação ao eixo x. Como seu valor é muito próximo de nosso ângulo calculado, é provável que a bola cairá na caçapa.

Contanto que a direção da bola branca inicialmente jogada permaneça a mesma, o ponto de contato com a bola amarela permanecerá o mesmo e é garantido que caia na caçapa direita. Se pudermos aumentar ou diminuir a magnitude da velocidade inicial, então a bola branca baterá na borda superior ou na mais a direita da borda da mesa, respectivamente.

Exercício 1c: Quanta energia é perdida para o ambiente nesta colisão?

Bola de beisebol saltitante

Considere a situação em que uma bola de beisebol é lançada na direção de uma placa de madeira estacionária por uma máquina de lançar bolas. A máquina está configurada para lançar a bola de 0,145 kg a 10 m/s. A bola atinge a placa com um ângulo de 45° em relação à superfície da placa. A placa é ligeiramente flexível e a colisão é inelástica. A bola é rebatida com um ângulo de 40° em relação à superfície da placa, como mostrado na Figura 3.

Dica: Quando uma bola bate em uma superfície, o impulso responsável pela rebatida é sempre na direção normal à superfície.

Exercício 2a: Qual é a velocidade da bola após a colisão?

Os únicos corpos neste sistema são a bola e a placa. Usaremos o subscrito 'b' para a bola e os subscritos 'i' e 'f' para inicial e final. Para nossa análise, usaremos os eixos mostrados na figura 3.

Neste problema conhecemos o momento inicial da bola

p_{bi} = m_{b} v_{bi} = 1, 45 kg \cdot m / s

em um ângulo de

45 °

. Conhecemos a direção do vetor momento final

p_{bf}

, mas não a magnitude desse vetor. De fato, esta magnitude é o que precisamos descobrir para resolver o problema.

Neste problema, a placa é considerada estacionária e suas propriedades elásticas são desconhecidas. O impulso que ela entrega à bola durante a colisão é um impulso externo desconhecido. No entanto, sabemos que este impulso é dirigido normal à superfície (direção -y).

Não há nenhum impulso externo na direção x, então o momento é conservado nesta direção. Se a mudança no momento devido à placa é

Δ p_{placa}

, então, pela conservação do momento:

p_{bf} = p_{bi} + Δ p_{placa}

Problemas desse tipo são, com frequência, mais fáceis de resolver graficamente. A Figura 4 mostra um diagrama de momento vetorial com os vetores no lado direito da equação somados do início ao fim e representados em azul. A resultante da soma vetorial

p_{bf}

é apresentada em verde. Onde a magnitude do vetor é inicialmente desconhecida, uma linha tracejada foi estendida. É possível encontrar a magnitude dos vetores desconhecidos, e para isso descobrimos onde as linhas se cruzam usando a trigonometria.

O vetor momento final das bolas é determinado calculando, primeiro, o comprimento do lado adjacente do triângulo superior e, depois, a hipotenusa do triângulo inferior, conforme mostrado. A velocidade é, então

\frac{1, 338 kg \cdot m / s}{0, 145 kg} = 9, 227 m / s

Exercício 2b: Se a bola fica em contato com a parede por 0,5 ms, qual é a magnitude da força sobre a bola causada pela placa?

Exercício 2c: Quanto trabalho foi realizado sobre a parede pela bola?

Embora a placa não se mova, ela é ligeiramente flexível. Quando a bola bate na placa e volta, a placa se curva, então há trabalho exercido na placa pela bola. Pequenos pedaços da placa perto da bola se movem, portanto há uma força aplicada pela bola em uma certa distância, o que significa que trabalho é executado na placa pela bola. Esse trabalho

W

feito na placa é a mudança na energia cinética da bola. Depois disso, a energia absorvida pela placa pode ser perdida para o meio ambiente como som ou calor.

Podemos subtrair a energia cinética final da inicial para encontrar o trabalho total

W

que a bola deve ter feito na placa.

\begin{aligned} W & = \frac{1}{2} m_{b} v_{bi}^{2} - \frac{1}{2} m_{b} v_{bf}^{2} \\ = \frac{1}{2} 0, 145 kg (10 m / s)^{2} - \frac{1}{2} 0, 145 kg (9, 227 m / s)^{2} \\ = 1, 077 J \end{aligned}

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Como resolver problemas d...” de Fabricio Gegenheimer
Como resolver problemas de colisão bidimensional?
Botão para a página de cadastroBotão para a página de cadastro
(2 votos)
Resposta
- jogadoranumero1
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Em outras palavras, o mom...” de jogadoranumero1
  Em outras palavras, o momento total na direção x será o mesmo antes e após a colisão. O momento total na direção y também será o mesmo antes e após a colisão. Ao resolver problemas de colisão bidimensional, uma boa abordagem geralmente segue um procedimento comum: Identificar todos os corpos do sistema.
  Botão para a página de cadastro
  (1 voto)

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Biblioteca de Física

Curso: Biblioteca de Física > Unidade 6

Como resolver problemas de colisão bidimensional?

Problema da bola de bilhar

Bola de beisebol saltitante

Quer participar da conversa?