Gráficos de força versus tempo

RKA13C Como podemos ver, aqui nós temos a miniatura de um foguete que está cheio de pequenos alienígenas indo investigar uma nova lua que contém uma grande variedade de novas vidas orgânicas. Então, eles terminaram sua exploração e estão decolando de volta para casa com muitas coisas para contar aos amigos deles. Vamos dizer que, em algum momento durante a subida, eles estão se movendo a 4 m/s. E, como eles são alienígenas tão pequenos, a nave espacial deles tem apenas 2,9 kg. O que eles realmente precisam saber é se eles vão conseguir sair dessa lua. Por esse motivo, eles precisam prestar atenção na velocidade deles, mas, em vez de eles utilizarem um velocímetro, eles são alienígenas muito inteligentes e usam um gráfico de força em função do tempo. Então no painel de controle deles tem um gráfico de força em função do tempo. E o gráfico, por sua vez, mostra a força resultante que está atuando sobre eles. A força resultante não é o tipo de força, mas é a força total que corresponde à força dos motores, à força da gravidade e a qualquer outra força que pode estar atuando sobre eles. Assim, como eles têm um avançado sensor de força, vamos dizer que eles podem determinar a força resultante em função do tempo, ok? No entanto, eles querem saber qual será a velocidade deles depois de 9 segundos. Eles vão verificar a leitura da força em função do tempo e recebem um gráfico como este aqui. Agora eles podem determinar a velocidade. Então eles vão verificar a leitura da força em função do tempo e recebem um gráfico como este aqui. A partir desse gráfico, eles podem determinar a velocidade do foguete após esses 9 segundos. Mas a pergunta que eu quero fazer para você neste momento é: como eles conseguem fazer isso? Bem, eles fizeram isso da seguinte forma, eles acabaram conversando entre si e dizendo: "Temos uma força resultante igual a 3 newton (N) nos primeiros 4 segundos". Então, durante esses 4 segundos iniciais, havia uma força resultante constante igual a 3 N atuando sobre eles. É claro que todo alienígena sabe que a força resultante, neste caso, multiplicada pela variação do tempo, ou seja, a duração em que a força está sendo aplicada, nos dá um impulso resultante. Se nós tomarmos essa força aplicada de 3 N como uma constante, multiplicando por 4 segundos, que é o tempo em que essa força está atuando, nós temos um impulso igual a 12 N·s. A unidade tem que ser em newton-segundo (N·s), ok? Já que queremos a velocidade em metros por segundo (m/s). Bem, como eu disse, não quero saber qual é a força e o tempo, eu quero saber qual é a velocidade em 9 segundos. Como já disse, os alienígenas são inteligentes, e eles aprendem na academia espacial alienígena que o impulso resultante não é apenas igual à força vezes o tempo, mas que ele também é igual à variação do momento linear de um objeto em que uma força é exercida sobre ele. Isso é ótimo! Mas ótimo por quê? Isso é ótimo porque nós conhecemos a massa do objeto e queremos saber a velocidade dele após os 9 segundos. Mas esses 12 N·s eram apenas para os 4 primeiros segundos. Como iremos descobrir os próximos 3 segundos, então? Bem, olha para cá. Durante os próximos 3 segundos, não há uma força constante. A força está variando, está diminuindo. Então como vou fazer isso? A força não é um valor constante, então eu não posso apenas fazer o produto entre a força e o tempo. E qual força eu considero neste caso? Neste ponto, nós teremos que usar um truque. Nós vamos usar um truque, porque, se você reparar nesta primeira seção, para estes 4 primeiros segundos, nós tínhamos a força e então multiplicamos pelo intervalo de tempo, ou seja, por 4 segundos. Mas o que nós realmente fizemos aqui foi multiplicar a altura deste retângulo com a largura do mesmo retângulo. Ou seja, multiplicamos a altura com a base do retângulo, e o resultado final foi a área do retângulo, não foi? Então o que nós temos que fazer aqui é encontrar a área do gráfico da força em função do tempo. Isso nos dirá qual será o impulso. E isso não é uma coincidência, pois o impulso é igual à área do gráfico da força em função do tempo. É muito importante que você saiba disso, porque, agora, nesta seção em que há uma variação da força aplicada, nós podemos usar essa ideia para encontrar o impulso, simplesmente determinando a área abaixo da curva do gráfico. Quando estou falando de área abaixo da curva, eu estou usando como referência o eixo "x", que, neste caso, está nos dizendo a variação do tempo. Então vamos fazer isso? Nós já encontramos o impulso para essa seção, que é 12 N·s. Nós precisamos agora encontrar um impulso para esta outra seção. Para isso, vamos determinar a área, que é a área de um triângulo. A área de um triângulo, como sabemos, corresponde à metade da base vezes a altura. A base aqui é 1, 2, 3 segundos... 3 vezes a altura, que é igual a 3 N. E isso nos dá um impulso igual a 4,5 N·s, certo? Já que 3 vezes 3 é igual a 9, dividido por 2, nós temos 4,5. Agora, se você reparar aqui, nós temos mais uma seção. Mas essa é um pouco diferente, porque ela está localizada abaixo do eixo "x". Mas ainda é um triângulo, só que com uma força negativa. Assim, isso conta como um impulso resultante negativo. Resumindo: se a área estiver acima do eixo "x", ela conta como um impulso positivo, e, quando ela estiver abaixo do eixo "x", ela conta como um impulso negativo. Então quanto vale esse impulso resultante negativo? Para saber, nós teremos que determinar a área do triângulo novamente. A área de um triângulo será a metade da base vezes a altura. A base aqui corresponde a 2 segundos, e altura corresponde a -2. Então temos -2 N, o que nos dá um impulso negativo igual a 2 N·s, já que 2 vezes 2 é igual a 4, e dividido por 2, temos 2. Isso nos permite determinar a velocidade da nave espacial após os 9 segundos. Vamos assumir que a leitura da força iniciou no momento inicial em que "t" equivale a zero segundos, e que isso foi no momento em que a nave havia atingido a velocidade igual a 4 m/s. Assim, nós podemos dizer que o impulso total foi igual à variação total do momento linear a partir de "t" igual a zero. Nós podemos encontrar o impulso resultante total apenas somando todos os impulsos individuais. Então nós temos o impulso de 12 N·s durante os 3 primeiros segundos, nós temos 4,5 N·s de impulso na segunda parte e, durante a parte final, nós temos um impulso igual a -2 N·s. Assim, somando todos esses valores, temos "12 + 4,5 - 2", e isso é igual a 14,5 N·s positivos. Isso é uma ótima notícia para os nossos amigos alienígenas, pois eles precisam sair dessa lua, o que significa que eles precisam atingir um impulso positivo, um impulso para cima. E eles têm um impulso positivo neste caso. Agora que já conhecemos o impulso total, podemos ver qual será a velocidade final deles. Nós sabemos que Δp corresponde à variação do momento linear. Isso é o momento final menos o momento inicial, que nós podemos escrever aqui como sendo a massa vezes a velocidade final menos a massa vezes a velocidade inicial. Se este fosse um foguete terrestre, isso seria difícil, porque a tecnologia empregada nos foguetes terrestres ejeta o combustível a uma taxa enorme enquanto é lançado. Isso diminui a massa do foguete, o que significa que a massa não é constante nos casos aqui da Terra. Relembrando sobre as leis de Newton, os foguetes terrestres empurram o combustível para baixo, e isso provoca uma força igual e oposta sobre o foguete para cima. Mas, se você está perdendo massa, essa massa não fica constante. E calcular esse processo é um pouco mais difícil, porque a massa final e a inicial não serão as mesmas. Isso que estamos vendo aqui não é a ciência dos foguetes, porque a ciência dos foguetes é um pouco mais complicada, já que há variação de massa. Então vamos apenas dizer que esses espertos alienígenas podem ejetar o mínimo possível de combustível, e eles fazem isso. Aí você vai me perguntar: "Como?". Bem, deve haver uma certa quantidade de impulso que eles ejetam para se impulsionar para cima, mas vamos dizer que eles podem ejetar uma mínima quantia de massa rapidamente, então eles não perdem muito combustível. O combustível que eles ejetam é liberado em uma velocidade enorme para que eles possam se impulsionar para cima sem perder muita massa, ok? Por isso, vamos resolver o nosso problema assumindo que a massa é constante. Se nós fizermos isso, se assumirmos que a massa é constante, temos um impulso positivo igual a 14,5 N·s. E isso é igual a... Vamos deixar a massa de fora, pois ela é uma constante. Então podemos apenas escrever que isso é igual à massa vezes a velocidade final menos a velocidade inicial. E, como eu vi aqui, eu posso colocar "m" como um fator comum, o que significa que eu posso escrever aqui tendo 2,9 kg, isso aqui vezes a velocidade final depois de 9 segundos... Nós sabemos que é após 9 segundos, porque eu somei todos os impulsos durante 9 segundos. Isso aqui menos a velocidade inicial, que foi igual a 4 m/s. Então, se dividirmos ambos os lados por 2,9 kg, 14,5 sobre 2,9 vai ser igual a 5 N·s/kg, que tem uma unidade de "m/s". Isso é algo muito bom. Isso vai ser igual à velocidade final menos 4 m/s. Agora, finalmente, se eu adicionar 4 m/s nos dois lados, tenho a velocidade final, que vou colocar aqui em cima... A velocidade final desse foguete, neste caso, será igual a 9 m/s. Então, após 9 segundos, ele estará indo a 9 m/s. O que é apenas uma coincidência numérica, isso não significa que em 10 segundos, ele estará a 10 m/s, ok? Para isso, teríamos que ver mais dados do impulso aplicado sobre a nave nesse segundo a mais. Enfim, resumindo: a maneira para chegarmos à resposta foi encontrando a área sob a curva, porque a área sob a curva em um gráfico de força em função do tempo representa o impulso do objeto. Nós encontramos o impulso para toda a viagem notando que, quando a curva está abaixo do eixo do tempo, o impulso será negativo. Aí, nós somamos todos os impulsos resultantes, e isso foi igual à variação do momento linear. Por último, relacionamos esses valores para determinar a velocidade após os 9 segundos.