Cálculo de produtos vetoriais e escalares com notação de vetor unitário

RKA12C Em vídeos anteriores, quando eu falei para você sobre produto escalar e produto vetorial de vetores, a definição era dada pela multiplicação das magnitudes pelo seno ou cosseno do ângulo formado entre eles. O problema é: e se eu não tiver visualmente os vetores ali desenhados, ou seja, se eu não tiver a informação do ângulo formado entre eles? Como eu calculo o produto escalar e como eu calculo o produto vetorial entre eles? É isso que nós vamos ver! Vamos, primeiro, relembrar as definições. Para o produto escalar, ou o produto ponto, se eu tenho o vetor "a" ponto o vetor "b", pela definição, nós temos o módulo de "a", ou a magnitude de "a", multiplicando a magnitude de "b" multiplicando o cosseno do ângulo teta (θ) formado entre esses dois vetores. Por outro lado, para o produto vetorial "a" por vetor "b", vetor "a", produto vetorial, com vetor "b", nós obtemos multiplicando a magnitude, o módulo, de "a" pelo módulo de "b" vezes o seno do ângulo formado entre os vetores, e, ainda, isso tudo multiplicando o vetor unitário normal a eles. E, para saber a direção desse vetor, você pode usar a regra da mão direita. Vamos, agora, considerar que nós temos dois vetores, o vetor "a" e o vetor "b", escritos na notação para engenheiro, para engenharia, que é aquela em que você decompõe o vetor nas suas componentes das três dimensões. Por exemplo, digamos que o vetor "a" é dado por "5i - 6j + 3k", ou seja, tem 5 unidades na direção do vetor unitário "i", que é aquele na direção do eixo "x", tem 6 unidades no sentido negativo na direção do eixo "y", e ele vai 3 unidades positivas no sentido do eixo "z". Por outro lado, o vetor "b", que nós teríamos aqui, por exemplo, seria dado por "-2i + 7j + 4k". Você poderia representá-los graficamente, mas, em outros vídeos, nós temos a oportunidade de visualizar isso com um pouco mais de intuição, de maneira mais intuitiva. Outra forma de representar esses vetores é colocando as coordenadas entre parênteses, na ordem (x, y, z). Neste caso, (5, -6, 3). Aqui, teríamos (-2, 7, 4). Vamos, então, ver como obter o produto escalar, o produto ponto, entre os vetores "a" e "b". Você vai achar isso aqui bastante fácil! Para obter o produto escalar entre dois vetores, dada a sua notação de engenharia, basta você multiplicar as componentes do eixo "x" e somar com o produto das componentes do eixo "y" e com o produto das componentes do eixo "z". Isso para dizer que nós fazer "5 vezes -2" mais "-6 vezes o 7", mais "3 vezes o 4". Então, neste caso, efetuando as contas, nós vamos ter aqui: "-10 mais -42 mais 12". E isso nos vai dar, simplesmente, -40. Ou seja, o produto escalar entre esses dois vetores, que é dado por um número, é -40. Seria bastante interessante representar graficamente esses vetores, para ver o que acontece, por que este número -40 apareceu. Deve ser porque as componentes têm sentidos opostos. E você poderia ver a aparição de um número negativo. Muito bem! Vamos, agora, prosseguir para o produto vetorial. Lembrando, mais uma vez, que não é a ideia demonstrar aqui, em outra oportunidade nós fazemos isso... Mas, sim, fazer efetivamente o cálculo do produto vetorial sem conhecer o ângulo formado entre os vetores. Nós temos aqui estes dois vetores. Queremos fazer o produto vetorial de "a" por "b". E nós temos aqui uma aplicação das matrizes: "a" por vetor "b" é dado pelo determinante de uma matriz. O que é montado da seguinte forma: na primeira linha, eu escrevo os vetores unitários na ordem (i, j, k); na segunda linha, eu escrevo as coordenadas do primeiro vetor, ou seja, (5, -6, 3); na terceira linha, então, as coordenadas do segundo vetor, (-2, 7, 4). A última linha fica assim. Observe que a ordem importa! Se eu modificar a ordem destas duas linhas, eu vou ter um resultado diferente. Vamos, agora, calcular este determinante. Você tem várias técnicas para isso. Eu vou usar, agora, a ideia de, olhando para este elemento, eliminar a linha e a coluna relativas a ele, a primeira linha e a primeira coluna, e calcular o determinante do que sobra, este subdeterminante relativo ao "i", e multiplicar por ele. Lembrando que temos aqui também que considerar o sinal. Nós teríamos, então, o determinante "-6, 3, 7, 4", multiplicando "i". Agora, vou fazer a mesma coisa aqui para o "j". Elimina coluna e linha do "j", e fazemos um determinante com estes outros elementos. Lembrando que, aqui, nós vamos ter que colocar um sinal de “menos”. Teríamos menos o determinante "5, -2, 3, 4" multiplicando o "j". Os sinais vão se alternando: mais, menos, mais. Então, agora, "mais" o subdeterminante relativo ao "k". Elimina linha e coluna do "k". Temos "5, -6, -2, 7" multiplicando "k". E, agora, é só prosseguir com os cálculos e chegar ao resultado do produto vetorial. Para o primeiro determinante, nós vamos ter, então... "-6 vezes 4" é -24... menos "7 vezes 3", que é 21... Então, "-24 menos 21", resultando em "-45 i". Agora, temos este "menos". Então, "menos". E, aqui, temos: "5 vezes 4" é 20... menos... "-2 vezes 3" é -6... Então, "20 menos -6" é "20 mais 6", "26 j", mais... Agora, aqui, temos: "5 vezes 7" é 35... "-2 vezes -6" dá 12... Então, "35 menos 12", são "23 k". Eis o vetor que resulta do produto vetorial de "a" por "b". Lembrando que o produto vetorial resulta em um novo vetor, e esse novo vetor é perpendicular ao vetor "a" e também perpendicular ao vetor "b". Mesmo sem conhecer o ângulo formado entre o "a" e o "b", fazendo estes cálculos, nós chegamos a este vetor. E, se você representar graficamente, talvez com a ajuda de um software de computador, você vai poder, com certeza, visualizar que ele é perpendicular aos outros dois vetores. Observe também que, no produto escalar aqui, o resultado é somente um número, e não um vetor. Continue estudando e até o próximo vídeo!