Produto vetorial vs. escalar

RKA7E Vamos fazer uma comparação entre o produto vetorial e o produto escalar. Deixe-me criar dois vetores apenas visualmente. E talvez, se tivermos tempo, descobriremos alguns produtos vetoriais escalares com vetores reais. Vou desenhar aqui. Vamos chamar esse primeiro de ... Esse é o ângulo entre eles, ok! Vamos passar pelas definições e depois trabalharemos com a intuição. Eu espero que você já tenha um pouco das duas. Então, o que é "a" escalar "b"? Bem, em primeiro lugar, isso é exatamente a mesma coisa que "b" escalar "a". A ordem não tem importância quando você faz o produto escalar, porque, no final, temos simplesmente um número. Isso é igual ao módulo de "a" vezes o módulo de "b", vezes o cosseno do ângulo entre eles. Vamos dar uma olhada na definição de produto vetorial. O que é "a" vetorial "b"? Em primeiro lugar, isso não é igual a "b" vetorial "a". Na verdade, é igual à direção oposta, ou você poderia vê-lo como um sinal negativo de "b" vetorial "a", porque o vetor que você obtém será invertido, qualquer que seja a ordem em que o faça. Mas "a" vetorial, que é igual ao módulo do vetor "a" vezes o módulo do vetor "b", até agora parece muito com um produto escalar, mas é aí que está a divergência, vezes o seno do ângulo entre eles. E é aí que, realmente, eles divergem. Quando pegamos o produto escalar, acabamos apenas com um número. Este é apenas um número, não há direção. É uma grandeza escalar. Mas o produto vetorial, pegamos o módulo de "a" vezes o módulo de "b", vezes o seno do ângulo entre eles e isso fornece não só a intensidade, mas também tem uma direção e sentido, e essa direção é fornecida por esse vetor normal, ele é um vetor unitário, um vetor unitário recebe esse chapeuzinho em cima dele. Ele é um vetor unitário e está em que direção? Bem, isso é definido pela regra da mão direita. Este é um vetor, é perpendicular a "a" e a "b". Então, você poderia dizer, "a" e "b", do jeito que eu desenhei, ambos estão no plano desta tela de vídeo, na tela do computador. Portanto, para que algo seja perpendicular a esses dois, ele tem que pular para fora ou para dentro da tela, certo? E quando você aprendeu sobre o produto vetorial, eu disse que há duas maneiras de mostrar um vetor saindo da tela. Ele tem essa notação que parece a ponta de uma flecha, e mostrar um vetor entrando na tela é assim, porque essa é como se fosse a parte de trás da flecha. Então, como você sabe qual desses dois é? Porque esses dois são perpendiculares a "a" e "b". É onde você usa sua mão direita, e usa a regra da mão direita. Então, você pega o seu dedo indicador na direção de "a", o seu dedo médio na direção de "b", e o polegar aponta na direção de "n". Vamos fazer isso. Estou olhando para minha mão. Não é uma coisa fácil de fazer com sua mão direita, mas a mão direita vai ficar parecida com uma coisa assim: o seu dedo indicador irá na direção de "a". O seu dedo médio na direção de "b". Esse é o meu dedo médio. Meus outros dois dedos só fazem o que eles precisam fazer. Eu gosto de dobrá-los para fora do caminho, eles enrolam em volta da minha mão. Em que direção está o meu polegar? Meu polegar, bem, na verdade, eu desenhei no ângulo errado. Meu polegar, na verdade, está indo nessa direção, para dentro da página. Esse é o lado de cima da minha mão. Estas são como minhas veias. Ou, se eu desenhasse corretamente, onde você veria sua mão do lado, ela ficaria assim. Você veria seu mindinho, sua palma e seu mindinho seriam assim. E seu outro dedo assim. O seu dedo médio na direção de "b". Seu dedo indicador vai na direção de "a". E você nem sequer veria o seu polegar, porque seu polegar está apontando diretamente para baixo. Mas eu acho que deu para pegar a ideia, "a" vetorial "b", este vetor "n" está apontando diretamente para baixo, ele é um vetor unitário, e isso me proporciona a magnitude. Vetor unitário significa que ele tem módulo um. Então, o módulo do produto vetorial escalar são muito próximos. Ambos têm um módulo de ambos os vetores ali, produto escalar, cosseno de teta, produto vetorial, seno de teta. Então, a enorme diferença é que seno de teta tem uma direção, é um vetor diferente que está perpendicular a esses dois. Agora, vamos pegar a intuição. Se você assistiu aos vídeos sobre o produto escalar e o produto vetorial, esperamos que você tenha um pouco de intuição. Eu estou revisando isso porque eu acho que tudo se encaixa quando você for vê-los uns com os outros. Primeiro, vamos estudar "a" "b" cosseno de θ. Se você assistiu ao vídeo sobre produto escalar, cosseno de θ, se você pegou, digamos, "b" cosseno de θ, qual é o cosseno de θ? "b" cosseno de θ, você poderia descobri-lo em seu próprio tempo. Se você disser cosseno, é adjacente sobre hipotenusa. A magnitude de "b" cosseno θ, na verdade, vai ser a magnitude de ... Se você desenhar uma perpendicular. Usarei uma cor diferente aqui. Se você desenhar uma perpendicular aqui, este comprimento é o "b" cosseno θ. Deixe-me desenhar isso separadamente, não quero bagunçar muito essa figura. Então, se esse é "b", se esse é "a" e esse é "b", esse é θ. "b" cosseno θ, se você desenhar uma linha perpendicular à "a", este é um ângulo reto. "b" cosseno θ, adjacente sobre hipotenusa é igual a cosseno θ. Assim, seria a projeção de "b" indo na mesma direção que "a". Então, seria essa magnitude. Esse é o "b" cosseno θ. A magnitude desse vetor ali é a magnitude de "b" cosseno de θ. Então, quando você está tirando o produto escalar, pelo menos no exemplo que acabei de fazer, se você vê-lo como a magnitude de "a" vezes a magnitude de "b" cosseno θ, você está dizendo qual parte de "b" vai na mesma direção que "a". E tudo que essa magnitude é ... deixe-me apenas multiplicar isso vezes a magnitude de "a", eu tenho o produto vetorial. Vamos pegar as peças que vão na mesma direção e multiplicá-las. Quanto elas se movem juntas? Você poderia ver o produto escalar, eu fiz isso no vídeo do produto vetorial, você poderia vê-lo como "a" cosseno θ "b", porque não importa. Essas são todas grandezas escalares, de modo que não importa que ordem você multiplica, e "a" cosseno θ é a mesma coisa, é a magnitude do vetor "a" que está indo na mesma direção de "b", ou a projeção de "a" em "b". Assim, esse vetor aqui é "a" cosseno θ, a magnitude de "a" cosseno θ. E eles, na verdade, são o mesmo número. Se você tirar o quanto de "b" vai na direção de "a", e multiplicar isso com a magnitude de "a", isso lhe dá o mesmo que o quanto de "a" vai na direção de "b", e, em seguida, multiplicar as duas magnitudes. Agora, qual é "a", "b", seno θ? Se esse vetor bem aqui é um cosseno θ, e você aprendeu isso quando aprendeu como tirar os componentes de vetores, esse vetor aqui é a magnitude de "a" seno θ. Você poderia reescrever isso com a magnitude de "a" seno θ vezes a magnitude de "b" nessa direção normal de vetor. Então, se você pegar "a" seno θ vezes "b", você está dizendo qual a parte de "a" não vai na mesma direção de "b", qual parte de "a" é completamente perpendicular a "b", não tem nada a ver com "b", e eles não compartilham nada em comum, vão em uma direção completamente diferente. Esse é um seno θ. Então, você pega o produto desse com "b" e você obtém um terceiro vetor. E isso quase diz o quão diferentes são esses dois vetores. E ele aponta a uma direção diferente. Às vezes ele é chamado de pseudo vetor, porque se aplica a alguns conceitos que são pseudo vetores. Mas o mais importante desses conceitos é torque, quando falamos sobre um campo magnético, há uma força de um campo magnético sobre carga elétrica, todas essas são forças, ou todos esses são fenômenos físicos em que o importante não é a direção da força com outro vetor, é a direção da força perpendicular a outro vetor, e é onde o produto vetorial se torna útil. De qualquer forma, eu espero que isso lhe dê um pouco de intuição. Você poderia ter feito isso de outra maneira, você poderia ter escrito como "b" seno θ, e poderia ter dito que esse é o componente de "b" que é perpendicular a "a". Então, "b" seno θ, na verdade, teria sido esse vetor. Deixe-me desenhá-lo aqui, isso faria mais sentido. Esse seria "b" seno θ, você poderia mudar as ordens. Você poderia dizer que isso é a magnitude de "b", que é completamente perpendicular a "a", multiplicar os dois e usar a regra da mão direita para obter esse vetor normal. E decidimos que vamos usar a regra da mão direita para ter uma convenção comum. Mas as pessoas poderiam ter usado de uma maneira diferente. É apenas uma maneira que temos um quadro coerente, de modo que quando tiramos o produto vetorial, todos nós sabemos em que direção esse vetor normal está apontando. Enfim, no próximo vídeo eu vou lhe mostrar como realmente calcular o produto vetorial escalar quando os mesmos lhe forem dados em sua notação de componente. Vejo vocês no próximo vídeo. Até lá!