O produto escalar

RKA7GM Vamos aprender um pouco sobre produto escalar. O produto escalar, francamente, dentre as duas maneiras de multiplicar vetores, eu acho que é a mais fácil. Então, o que o produto escalar faz? Por que não te dou a definição e, em seguida, uma intuição? Se eu tenho dois vetores, vetor "a" escalar, vetor "b", essas são as setas que indicam que "a" e "b" são vetores, isso é igual ao módulo do vetor "a", vezes o módulo do vetor "b", vezes o cosseno do ângulo entre eles. Agora, de onde vem isso? Isso pode parecer um pouco aleatório, mas eu acho que, com uma explicação visual, fará um pouco mais de sentido. Deixe-me desenhar aleatoriamente esses dois vetores. Então esse é o meu vetor "a" bem grande e gordo. Isso é bom para mostrar a essência, e deixe-me desenhar o vetor "b". Agora, o cosseno, vou chamar o ângulo de teta (θ). Esse é θ. Portanto, há duas maneiras de ver isso. Deixe-me rotulá-los. Esse é o vetor "a" (estou tentando ser consistente com as cores), e esse é o vetor "b". Há duas maneiras de visualizar esse produto. Ou você poderia visualizar isso como o vetor "a", porque multiplicação é associativa. Então, você pode inverter a ordem. Portanto, isso também poderia ser escrito como o módulo do vetor "a" vezes o cosseno de θ, (vou fazer isso na cor adequada) vezes o vetor "b". E isso vezes... esse é o produto escalar. Eu quase não preciso escrevê-lo, isso é apenas uma multiplicação comum porque essas são todas grandezas escalares. Quando você vê um ponto entre os vetores, você está falando sobre o produto escalar deles. Então, se nós fôssemos reescrever essa expressão desse jeito, o que significaria? O que é "a" · cos.θ? Deixe-me fazer uma pergunta. Se eu fizesse um ângulo reto bem aqui, perpendicular a "b", vamos descer um ângulo reto, cosseno de θ é igual a quê? É o cateto adjacente sobre a hipotenusa, correto? Bom, o que é o cateto adjacente? É igual a isso. E a hipotenusa é igual ao comprimento de "a", certo? Deixe-me escrever isso. Então, o cosseno de θ, e isso se aplica ao vetor "a", cosseno de θ, esse ângulo aqui, é igual ao cateto adjacente, isso pode ser chamado de projeção de "a" sobre "b". É como se você acendesse uma luz aqui em cima de "a" e que estivesse perpendicular a "b" Direto para baixo, isso seria a sombra de "a" em "b". Ou você poderia até mesmo pensar nisso como a parte de "a" que vai na mesma direção de "b". Então, essa projeção, pelo menos na minha intuição do que será uma projeção, eu vejo como uma sombra. Se você tivesse uma fonte de luz que descesse na perpendicular, qual seria sombra desse vetor sobre esse? Se você pensar sobre isso, essa sombra aqui, você pode chamar isso de projeção de "a" sobre "b", ou, sei lá, simplesmente, vamos chamá-lo de "a" de "b", é o comprimento disso, certo? É o quanto o vetor se projeta sobre o vetor "b", sobre a hipotenusa. A hipotenusa é apenas o comprimento do vetor "a", é apenas nosso cálculo básico. Ou, outra maneira de ver isso, é apenas multiplicar ambos os lados pelo módulo de "a", e você obtém a projeção de "a" sobre "b", que é apenas uma maneira sofisticada de mostrar a parte de "a" que vai na mesma direção de "b". É outra maneira de dizer. É igual a, simplesmente, multiplicar ambos os lados pelo comprimento de "a", que é igual ao módulo de "a", cosseno de θ, que é exatamente o que temos aqui em cima. Essa é a definição do produto escalar. Então outra maneira de visualizar o produto escalar é que você pode substituir esse termo pelo módulo da projeção de "a" sobre "b" que, simplesmente, é isso vezes o comprimento de "b". Isso é interessante! Tudo que o produto escalar de dois vetores é... vamos pegar apenas um vetor, vamos descobrir quanto desse vetor, qual componente dele, vai na mesma direção do outro vetor. Depois, vamos apenas multiplicá-los. E onde isso é útil? Pense nisso! É a mesma coisa que trabalho. Quando aprendemos trabalho, trabalho é a força vezes distância, mas não é apenas a força total multiplicada pela distância total, é a força que vai na mesma direção da distância. Dê uma revisada lá nos vídeos de Física e nos de cálculo também. Vamos dizer que tenho um objeto de 10 newtons (N). Ele está parado sobre o gelo. Portanto, não existe atrito, não queremos nos preocupar com atrito nesse momento. E vamos dizer que eu o puxe, vamos dizer que o meu vetor de força, esse é meu vetor de força... vamos dizer que o meu vetor de força seja de 100 N. Estou inventando os números. Então 100 N. E vamos dizer que eu o deslize para a direita. Então, o meu vetor de distância é de 10 m paralelo ao chão. E o ângulo entre eles é igual a 60 graus, que é o mesmo que pi sobre 3 (π/3). Mas vamos ficar com graus, é um pouco mais intuitivo, é 60 graus. Essa distância aqui é de 10 m. Então, minha pergunta é: puxando essa corda, o que for no ângulo de 60 graus com uma força de 100 N, e puxando esse bloco para direita por 10 m, quanto de trabalho eu estou fazendo? Bem, trabalho é força vezes a distância, e não apenas força total. É a intensidade da força na direção da distância. Então, qual é a intensidade da força na direção da distância? Seria o componente horizontal desse vetor força, certo? Portanto, seria 100 N vezes o cosseno de 60 graus. Isso vai lhe dizer o quanto desses 100 N vai para a direita. Ou, outra maneira de ver isso, se esse é o vetor força e esse aqui embaixo é o vetor distância, você poderia dizer que o trabalho realizado é igual ao vetor força, escalar do vetor distância, usando o produto escalar para os vetores de força e distância. Sabemos que a distância é o comprimento do vetor força, que é de 100 N, vezes o tamanho do vetor distância, que é de 10 m, vezes o cosseno do ângulo entre eles, o cosseno do ângulo de 60 graus. Portanto, isso é igual 1000 Nm vezes o cosseno de 60. O cosseno de 60 é o quê? É a raiz quadrada (√) de 3 sobre 2. √3 sobre 2, eu me lembro corretamente. Então, vezes a √3 sobre 2. Portanto, o 2 torna-se 500. Ele se torna 500 vezes √3 J (joules), unidade de trabalho. Vai dar por volta de 700 e alguma coisa, eu deduzo, ou, talvez 800 e alguma coisa, não tenho muita certeza. Mas o importante é saber que o produto escalar é útil, ele se aplica ao trabalho. Ele, na verdade, ele calcula qual componente do vetor vai na outra direção. Agora, você poderia interpretar isso de outra maneira, você poderia dizer que isso, o tamanho de "a" vezes "b" vezes cosθ. E isso é totalmente válido. Então, o que é "b" · cosθ? Bem, se você pegasse "b" · cosθ, e você pode descobrir isso como um exercício para você mesmo, essa é a parte do vetor de "b" que está indo na direção de "a". Então, não importa a ordem em que você vai. Quando você pegar o produto vetorial, terá importância se você fizer "a" vetorial "b" ou "b" vetorial "a". Mas quando você está fazendo um produto escalar, não importa a ordem dos fatores. Portanto, "b" · cosθ seria a magnitude do vetor "b" que vai na direção de "a". Então, se você fosse desenhar uma linha perpendicular aqui, "b" · cosθ teria esse valor. Esse seria "b" · cosθ. O tamanho de "b" · cosθ. Então, você poderia dizer o quanto do vetor "b" vai na mesma direção de "a". Multiplique as duas magnitudes. Ou você poderia dizer quanto do vetor "a" vai na mesma direção de "b". Em seguida, multiplicar os dois comprimentos. Agora, essa é uma boa hora de ter certeza de que você entende a diferença entre encontrar o produto escalar e o produto vetorial. O produto escalar resulta em apenas um número. Você multiplica dois vetores, e tudo o que você tem é um número. Você termina com apenas uma grandeza escalar. E por que isso é interessante? Bem, isso lhe diz o quanto esses... você poderia quase dizer que esses vetores reforçam um ao outro. Porque você está pegando a parte do comprimento deles que vai na mesma direção e multiplicando. O produto vetorial, na verdade, é quase o oposto. Você está pegando seus componentes ortogonais, certo? A diferença era que esse era um seno de θ. Eu não quero bagunçar a figura. Mas você pode rever os vídeos de produto vetorial aqui. E eu vou fazer outro vídeo em que eu realmente os comparo e eu os contrasto. Mas o produto vetorial é... vamos multiplicar os comprimentos dos vetores que são perpendiculares entre si que, na verdade, estão ortogonais entre si. Então, você tem que escolher uma direção, já que não está dizendo... bem, a mesma direção em que ambos estão indo. Você está escolhendo a direção que é ortogonal a ambos os vetores. Então, é por isso que a ordem importa, e você tem que usar a regra da mão direita porque, na verdade, existem dois vetores que estão perpendiculares aos outros dois vetores nas três dimensões. Enfim, meu tempo acabou. Continuarei essa discussão, espero que não muito confusa no próximo vídeo. Eu vou comparar e contrastar o produto vetorial e o escalar. Vejo você no próximo vídeo. Até lá!