Produto vetorial 2

RKA5MP - Vamos ver se obtemos um pouco mais de prática e intuição sobre o que se trata os produtos vetoriais. No último exemplo, nós fizemos “a” vetorial “b”. Vamos ver o que acontece quando nós fazemos “b” vetorial “a”. Deixe-me apagar alguma coisa. Bom, eu não quero apagar tudo aqui porque algumas coisas podem ser úteis para nos dar algumas informações para comparar. Eu vou manter isso. Bom, na verdade, eu acho que eu posso apagar aquilo, eu acho. Então, o que eu desenhei aqui, isso era “a” vetorial “b”. Deixe-me separar essa parte para que você não se confunda. E aquilo era eu usando a regra da mão direita quando tentei fazer “a” vetorial “b”. Então, nós vimos que a intensidade disso foi 25 e “n”, a direção apontando para baixo. Ou, quando desenhei aqui, ele apontou na direção da página. Vamos ver o que acontece com “b” vetorial “a”, porque eu estou apenas trocando a ordem, “b” vetorial “a”. Bem, intensidade será a mesma, certo? Porque eu ainda vou fazer o módulo de “b” vezes o módulo de “a”, vezes o seno do ângulo entre eles, cujo resultado foi π/6 radianos, e então vezes algum vetor unitário “n”. Mas isso será a mesma coisa. Quando eu multiplico quantidades escalares, não importa qual a ordem eu multiplico os valores, certo? Então, isso ainda será 25, quaisquer que sejam as minhas unidades, vezes algum vetor “n”, e nós ainda sabemos que esse vetor “n” tem que ser perpendicular a ambos “a” e “b”. Agora, nós temos que descobrir, bem, isto é, sendo perpendicular, pode apontar, tipo, entrando na página aqui ou saindo na página, apontando para fora da página. Então, nós fazemos a nossa mão direita para fora e tentamos novamente. O que fazemos é levar nossa mão direita. Bom, na verdade, estou usando a minha mão direita agora, apesar de você não poder vê-la. Neste exemplo, se eu usar a minha mão direita, eu levo o dedo indicador na direção de “b”. Eu levo meu dedo médio na direção de “a”, então, o meu dedo do meio vai parecer algo assim, certo? Então, eu tenho 2 dedos sobrando aqui. E daí, o polegar vai na direção do produto vetorial, certo? Porque o seu polegar tem um ângulo reto bem aqui. Esse é o ângulo reto do seu polegar. Neste exemplo, essa é a direção de “a” e essa é a direção de “b”. E nós estamos fazendo “b” vetorial “a”, e é por isso que usamos o dedo indicador para o “b”. O dedo indicador usa o primeiro termo, o seu dedo médio uso segundo termo, e o polegar vai para a direção do produto vetorial. Neste exemplo, a direção do produto vetorial é para cima, e quando nós desenhamos em duas dimensões bem aqui, o produto vetorial iria, na verdade, estar saindo da página para “b” vetorial “a”. Eu desenharei em cima, seria o círculo com um ponto. Ou, se eu fosse desenhar analogicamente a isso, então, isso bem aqui, e isso seria “a” vetorial “b”, então “b” vetorial “a” tem exatamente a mesma intensidade, o mesmo módulo, mas ele vai na outra direção. Isso é “b” vetorial “a”, ele apenas vai para a direção oposta. E, é por isso que você tem que usar a regra da mão direita, porque você deve saber daquilo, algo vai pular para fora da página. Mas você precisa da regra da mão direita para saber se ela vai para dentro ou para fora da página. Vamos ver se nós podemos adquirir um pouco mais de intuição sobre tudo isso. E eu, francamente, te digo: o produto vetorial será usado em vários conceitos que, francamente, nós não temos muita intuição na vida real: com elétrons voando por um campo magnético ou campos magnéticos por um núcleo. Várias coisas na nossa experiência do dia a dia. Talvez se nós fôssemos feitos de metal, vivendo em um campo magnético, na verdade, nós vivemos em um campo magnético, mas se fosse um campo magnético atuando muito forte na gente, talvez nós tivéssemos uma intuição. Mas é difícil ter a mesma intuição que nós temos, por exemplo, para objetos em queda livre, ou atrito, ou forças, ou até mesmo dinâmica dos fluidos, porque nós estamos acostumados com água e tal. Mas, de qualquer forma, vamos treinar um pouco mais a nossa intuição. Por que que existe esse seno de θ (teta)? Do que se trata, afinal, esse seno de θ? Bom, acho que é preciso limpar um pouquinho isso aqui. Então, por que é que tem o seno de θ lá? Deixe-me redesenhar alguns vetores. Vamos fazê-los um pouco mais grossos. Então, digamos que é “a”. Isso é “a”, e isso é “b”, “b” nem sempre tem que ser maior do que “a”. Então, esse é “a” e esse é “b”. Poderíamos dizer assim: essa é a mesma coisa que “a” seno do θ, vezes “b”, ou poderíamos dizer que isso “b” seno θ vezes “a”. Eu espero que eu não esteja confundindo vocês. O que eu estou dizendo é que você pode interpretar isso. Então, não importa a ordem que você multiplica. Você poderia dizer que isso é “a” seno θ, vezes o módulo de “b”. E tudo isso na direção do vetor normal. Ou você pode usar seno de θ do outro jeito. Mas vamos pensar sobre o que isso significa, “a” seno θ. Esse é θ. O que seno θ? O seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa, certo? Então, beleza. Vamos descobrir isso. Portanto, esse seria o módulo de “a”. Deixe-me desenhar uma coisa. Deixe-me desenhar uma linha aqui. Vou fazer uma linha assim, e eu tenho um ângulo reto. Então, o que é seno θ? Esse é o cateto oposto, assim “a” seno θ é “a” e seno θ é o cateto oposto sobre a hipotenusa. A hipotenusa é o módulo “a”, certo? Então, seno de θ é igual a esse lado, que eu chamo de “o”, de oposto, sobre o módulo de “a”, portanto, é cateto oposto sobre o módulo de “a”. Portanto, esse termo “a” seno θ é simplesmente o módulo dessa linha aqui. Outra maneira, seria, deixe-me redesenhar isso, não importa onde os vetores começam, tudo que interessam é o módulo e a direção, portanto, você poderia passear com os vetores por aí. Então, esse vetor bem aqui, e você poderia chamá-lo de vetor oposto, é a mesma coisa que esse vetor. Ele é a mesma coisa que esse aqui. Eu só desloquei para cá. Assim, uma outra maneira de pensar sobre isso é pensando na componente do vetor “a”, certo? Estamos acostumados a pegar um vetor e dividi-lo nas suas componentes “x” e “y”. Mas, agora, estamos pegando o vetor “a”, e estamos dividindo em, você pode pensar nisso como uma componente que é paralela ao vetor “b” e uma componente que é perpendicular ao vetor “b”. Assim, “a” seno de θ é o módulo da componente do vetor “a”, que é perpendicular a “b”. Então, quando você está tomando o produto vetorial de 2 números, você está dizendo: "Bem, eu não me importo com todo o módulo do vetor ‘a’". Neste exemplo, eu me preocupo com o módulo de “a” que é perpendicular ao vetor “b”. E esses são os 2 números que eu quero multiplicar, e, depois, descobrir o sentido, conforme especificado pela regra da mão direita. Eles são as projeções nos eixos. Eles que me importam. Isso é especialmente importante, bem, porque, vamos usá-lo em torque, vamos usá-lo também em campos magnéticos. Mas é importante em ambas as aplicações para descobrir as componentes do vetor que são perpendiculares a uma força ou alguma outra coisa. E, é por isso que esse produto vetorial tem o seno θ, porque nós estamos pegando, se você o vir como um módulo de “a” seno θ, vezes “b”, e isso é como se estivéssemos dizendo que este é o módulo da componente de “a” perpendicular à “b”, ou você poderia interpretar de outra maneira, “a” vezes “b” seno θ. Coloque um parêntesis aqui. Então você pode vê-lo por outro caminho, “b” seno θ é o componente de “b”, que é perpendicular a “a”. Deixe-me desenhar isso, apenas para gente se sentir mais confortável. Então, esse é o “a”. E esse é o meu “b”. Esse daqui é “a”, e esse é “b”, então, “b” tem uma componente, uma projeção que é perpendicular a “a”, e que vai ser algo como... bem, eu estou meio que sem espaço aqui. Vou desenhar aqui nesse outro pedaço. Se isso é “a”, e esse é “b”, e a componente de “b” que é perpendicular a “a”, vai ser assim, deixa eu pegar uma cor diferente, vai ser perpendicular a “a”. E ela está indo nessa direção, assim. Então, você poderia lembrar de trigonometria básica e, depois, você pode provar que o módulo desse vetor é “b” seno θ, então, é aí que o seno θ vem. Ele garante que não estamos apenas multiplicando os vetores. Ele garante que estamos multiplicando as componentes dos vetores que são perpendiculares entre si para obter um terceiro vetor, que é perpendicular a ambos. Então, o povo que inventou o produto vetorial disse: "Bem, ainda é ambíguo, porque não nos disse há sempre 2 vetores que são perpendiculares a esses 2, um entra, um sai, eles estão em sentidos opostos." E, é aí que a regra da mão direita entra. Eles disseram: "OK! Vamos apenas fazer uma convenção. Você usa sua mão direita, aponte como uma arma, e faça todos os dedos perpendiculares, então, você sabe em qual direção aquele vetor aponta." Enfim, eu espero que não esteja muito confuso. Agora, eu quero que você assista os outros vídeos, neles, teremos realmente um pouco de física, sobre eletricidade, magnetismo e torque, o que é essencialmente a aplicação do produto vetorial, e eles vão lhe dar um pouco mais de intuição de como usá-lo. Até logo!