Exemplo de força magnética em um próton (parte 1)

RKA2G - No último vídeo, aprendemos (ou, pelo menos, eu mostrei a você, não sei se você aprendeu isso ainda, mas aprenderemos neste vídeo)... nós aprendemos que a força sobre uma carga em movimento a partir de um campo magnético é uma grandeza vetorial. É igual à carga (na carga em movimento) vezes o produto vetorial da velocidade da carga e o campo magnético. E usamos isso para mostrar as unidades de um campo magnético. Isto não é um beta, é um B. As unidades de um campo magnético são o tesla, que é abreviado com um T maiúsculo. Isto é igual a segundos newton por metros coulomb. Vamos ver se conseguirmos aplicar isto a um problema real Digamos que eu tenha um campo magnético e que ele esteja pulando para fora da tela. Estou inventando isto na hora, então, espero que os números funcionem. É inspirado em um problema que eu li no livro de Cálculo AP, de Barron. Então, se eu quiser desenhar um monte de vetores, ou um campo vetorial que está pulando para fora da tela, eu poderia apenas desenhar as pontas das setas. Vou desenhá-las em magenta. Vamos dizer que eu tenha um campo vetorial. Você pode imaginar um monte de setas pulando para fora da tela. Eu vou desenhar algumas delas, só para você ter uma ideia do que é um campo. Ele permeia o espaço. Estas são um monte de setas pulando para fora. E o campo está pulando para fora. O módulo do campo, vamos dizer que é 0,5 T. Vamos dizer que eu tenho um próton que vem acelerando. Ele está acelerando a uma velocidade e a velocidade do próton é igual a 6 vezes 10⁷ m/s. Isto é aproximadamente 1/5 da velocidade da luz. Então, nós estamos praticamente no reino relativístico, mas não vamos entrar muito nisso, porque a massa do próton aumentará, etc. Nós apenas supomos que a massa não aumentou significativamente neste ponto. Temos este próton indo a 1/5 da velocidade da luz e ele está atravessando este campo magnético. Assim, a primeira pergunta é: qual é o módulo e a direção da força sobre este próton, a partir deste campo magnético? Vamos descobrir o módulo primeiro. Como podemos descobrir o módulo? Em primeiro lugar, qual é a carga de um próton? Não sabemos neste momento, mas minha calculadora tem isso armazenado. Se você tiver uma calculadora gráfica TI, a sua calculadora também teria isso armazenado nela. Vamos escrever isso como uma variável. A magnitude da força em uma partícula será igual à carga de um próton... Vou chamá-la de Qₚ... Vezes a magnitude da velocidade, 6 vezes 10⁷ m/s. Estamos usando todas as unidades corretas. Se isto fosse em centímetros, provavelmente iríamos querer convertê-lo para metros. 6 vezes 10⁷ m/s. Em seguida, vezes a magnitude do campo magnético, que é 0,5 T (eu não precisava escrever as unidades aqui, mas vou fazer isso), vezes o seno do ângulo entre eles. Vou escrever isso agora. Deixe-me fazer uma pergunta. Se o campo magnético está apontando diretamente para fora da tela (e você vai ter um pouco de visualização tridimensional agora) e esta partícula está se movendo no plano do campo, qual é o ângulo entre elas? Se você visualizar isto em três dimensões, elas na verdade estão ortogonais entre si. Elas estão em ângulos retos entre si, porque estes vetores estão pulando para fora da tela. Eles estão perpendiculares ao plano que define a tela, enquanto este próton está se movendo dentro deste plano. O ângulo entre eles, se você conseguir visualizar em três dimensões, é de 90 graus, ou eles estão perfeitamente perpendiculares. E, quando as coisas estão perfeitamente perpendiculares, qual é o seno de 90 graus, ou o seno de π/2 (de qualquer maneira, se você lidar em radianos)? É igual a 1. Toda espera ou intuição que você obteve sobre o produto vetorial é que apenas queremos multiplicar os componentes dos dois vetores que estão perpendiculares um ao outro. E é por isso que temos o seno de θ. Mas, se todos os vetores são perpendiculares entre si, basta multiplicar o módulo do vetor. Ou mesmo, se você esquecer de fazer isso, você diz: "Bem, eles estão perpendiculares, estão em um ângulo de 90 graus. Seno de 90 graus é apenas 1." Então, a magnitude da força é realmente muito fácil de calcular se soubermos a carga de um próton. Vamos ver se conseguimos descobrir a carga de um próton. Deixe-me pegar a confiável TI 85. Vou limpar ali para que eu possa apreciar a TI 85. Se você pressionar "segundo" e "constante" (isto é "segundo" e, em seguida, o número 4, eles têm uma pequena constante acima deles), você obtém suas funções de constante, ou seus valores. E você diz: "Eu faço questão das funções incorporadas". Então, vou pressionar F1 e elas têm um monte de... Você sabe, este é o número de Avogrado, elas têm um monte de... Esta é a carga de um elétron, que é a mesma coisa que a carga de um próton. Então, vamos usar isto. Lembre: elétrons e prótons têm cargas de compensação. Uma é positiva e a outra é negativa. O fato é que um próton tem mais massa. É assim que eles são diferentes. E, claro, é positivo. Vamos apenas confirmar que esta é a carga de um elétron. Mas esta também é a carga de um próton. Na verdade, este valor positivo é a carga exata de um próton. Talvez eles deveriam ter colocado um número negativo aqui, mas tudo que importa para nós é o valor. A carga de um elétron é positiva, de modo que é a mesma coisa que a carga de um próton, vezes 6, vezes 10⁷. Basta pressionar este botão "E" na sua calculadora. Vezes 0,5 T. Tenha certeza de que todas as unidades são teslas, metros e coulombs. Então, o resultado será em newtons. Você obtém 4,8 vezes 10⁻¹² N. Vou anotar isso. O módulo dessa força é igual a 4,8 vezes 10⁻¹² N. Este é o módulo. Agora, qual é a direção desta força? Este é o lugar onde saímos, soltamos as nossas canetas, se somos destros, e usamos a regra da mão direita para descobrir a direção. Então, o que temos que fazer? Quando você pega algo vetorial, a primeira coisa no produto vetorial é o seu dedo indicador da mão direita. A segunda coisa é o seu dedo médio, apontando em um ângulo reto com seu dedo indicador. Vamos ver se consigo fazer isso. Eu quero que o dedo indicador da minha mão direita aponte para a direita, mas quero que o meu dedo médio aponte para cima. Deixe-me ver se eu consigo fazer essa proeza. A minha mão direita vai ficar parecida com alguma coisa assim. A minha mão é marrom. A minha mão direita vai ficar parecida com algo assim. Meu dedo indicador está apontando na direção do vetor de velocidade, enquanto meu dedo médio está apontando na direção do campo magnético. Então, o meu dedo indicador vai apontar para cima. Tudo o que você vê é a ponta do mesmo. Meus outros dedos vão ficar assim. E meu polegar vai fazer o quê? Esta é a linha do meu polegar. Meu polegar vai estar em um ângulo reto para os dois. Meu polegar aponta para baixo, assim. Esta, geralmente, é a parte mais difícil. Só para ter certeza que você consiga a visualização da sua mão com o produto vetorial. Então, apenas como uma revisão, esta é a direção do V. Esta é a direção do campo magnético. Ele está pulando para fora. Então, se eu arranjar minha mão direita assim, meu polegar aponta para baixo. Esta é a direção da força. Quando esta partícula se move para a direita com alguma velocidade, na verdade, vai existir uma força descendente (descendente sobre este plano). A força vai mover nesta direção. Então, o que vai acontecer? O que acontece, se você lembrar um pouco de seu movimento circular e sua aceleração centrípeta e tudo isso, o que acontece quando você tem uma força perpendicular à velocidade? Pense nisso. Se você tem uma força aqui e a velocidade é assim, ela será desviada um pouco para a direita. Uma vez que a força vai estar sempre perpendicular ao vetor de velocidade, a força vai carregar deste jeito. Então, a partícula realmente irá em um círculo. Contanto que ela esteja no campo magnético, a força aplicada à partícula pelo campo magnético vai estar perpendicular à velocidade da partícula. A velocidade da partícula será, na verdade, como uma força centrípeta sobre a partícula. A partícula entrará em um círculo. No próximo vídeo, realmente vamos descobrir o raio desse círculo. E também, só uma coisa que eu quero deixar que vocês pensem: é um tanto estranho ou assustador para mim que a força em uma partícula em movimento, não importa a massa da partícula, só importa a velocidade e a carga da partícula. Então, é um fenômeno um tanto estranho que, quanto mais rápido você se move através de um campo magnético, ou pelo menos se você estiver carregado, se você for uma partícula carregada, quanto mais rápido você se move através do campo magnético, mais força esse campo magnético vai aplicar em você. Como é que esse campo magnético sabe o quão rápido você está se movendo? De qualquer maneira, vou deixar você com isso. No próximo vídeo, exploraremos esse fenômeno magnético um pouco mais a fundo. Até lá!