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Fórmula do efeito Doppler quando a fonte está se afastando

Vamos olhar para o caso onde a fonte está se afastando do ouvinte. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G No último vídeo, descobrimos as fórmulas para o período observado e a frequência para um observador sentado no caminho da fonte. Então, a fonte está se movendo em direção ao observador. Esse é um exemplo onde o trem está se movendo em sua direção. E você nota que a buzina do trem tem um tom mais alto ou mais agudo, ou seja, uma frequência mais alta. E conseguimos fazer isso realizando um experimento mental, dizendo: Ok, meu objeto começa aqui. Depois de um período (um período é apenas uma medida de tempo, mas uma medida de tempo sobre qual fonte emite um ciclo, então, ela emite um ciclo a cada período), mas depois de um período dissemos: Onde está aquela primeira frente de onda? Ou aquele primeiro pulso, ou aquela primeira crista? Onde está a fonte? Porque exatamente um período se passou e a fonte estará pronta para emitir uma outra crista ou outro ciclo. Então, a distância entre onde a fonte está e essa frente de crista, ou aquela primeira crista, será o comprimento de onda, porque essa próxima coisa que for emitida vai estar se deslocando exatamente na mesma velocidade. Dissemos: Quanto tempo levará para ela percorrer essa distância? Bem, ela está se deslocando na velocidade de "Vw". Isso te dirá qual período observado seria para esse cara aqui. Nós o calculamos bem aqui. Então, a frequência observada é simplesmente o inverso disso. Agora, vamos pensar sobre a situação onde o observador está aqui. Assim, essas equações ou essas fórmulas que descobrimos... Bem, esse é o observador. Ou melhor, a fonte se deslocando na direção do observador. Agora vamos pensar sobre o inverso, onde a fonte está se deslocando para longe do observador. E neste caso, o observador é aquele cara ali. Vou fazer isso em uma cor diferente. Então, quando começamos, nossa fonte estava bem aqui. Depois de exatamente um período a partir do ponto de vista da fonte, aquela primeira crista emitida se deslocou radialmente para fora essa distância. Essa será a distância, a velocidade da onda vezes a quantidade de tempo que passou. Velocidade vezes tempo vai te dar a distância. E para onde a fonte da onda terá se deslocado? Para a direita, exatamente essa distância. É velocidade vezes a quantidade de tempo decorrido. Agora, no último vídeo dissemos: Esta onda só está passando por esse cara. Quanto tempo levará para esse pulso, que está sendo emitido neste momento, para chegar até ele também? Então, isso nos diz o período entre dois pulsos ou entre duas cristas. Essa primeira crista está passando por esse cara e um período (ou o "Tf", que é um período da onda emitida) acabou de passar. Então, esse cara está prestes a emitir outra onda. Essa outra onda vai estar bem aqui. Então, qual é a distância entre a crista, ou o ciclo, ou seja lá como queira pensar sobre isso, o pulso que está passando por ele nesse momento. Qual é a distância entre isso, o pulso e a margem da frente desse pulso que está sendo emitido naquele exato momento? Naquele exato momento. Bem, este será o raio, que é este valor. Será "Vw" vezes o período. Isso é essa distância mais a distância que a nossa fonte se deslocou para longe desse cara. Então, o "Vf" subscrito vezes o período. Então, a distância é essa. E essa é a distância que esse pulso de onda estará daquela crista, ou que essa crista estará daquela crista. Então, se você está vendo essa primeira crista neste momento, neste exato momento, quanto tempo levará para ele ver a crista que está sendo emitida neste momento, que está a essa distância dele? Deixe-me anotar isso. Assim, a quantidade de tempo que leva para ele ver a próxima crista, ou o próximo ciclo, esse é o período. Esse é o período observado. E isso será igual a essa distância. A velocidade da onda vezes o período a partir da perspectiva da fonte, mais a velocidade da fonte, porque a fonte se distanciou este tanto a mais dele. A velocidade da fonte vezes o período da fonte, portanto, essa é a distância em que a próxima crista está. Então, você a divide pela velocidade da onda pela velocidade de cada uma das cristas, que é apenas a velocidade da onda. E podemos apenas fatorar os "Tf" aqui e dizer que isso é "Tf" vezes "Vw", velocidade da onda, mais a velocidade da fonte, dividido pela velocidade da onda. Então, isso será um período observado maior do que se esse cara estivesse parado e principalmente se o observador estivesse no caminho do cara. Isso faz sentido porque, toda vez que esse cara emite um ciclo, ele está se movendo um pouco mais longe. Assim, cada crista do mesmo ponto no ciclo estará cada vez mais distante. Portanto, você terá comprimentos de ondas mais longos, períodos mais longos. Se você quiser a frequência observada para este cara ali, a frequência observada para um cara onde a fonte está se deslocando para longe dele é simplesmente o inverso. Assim, 1 sobre o período. É o mesmo argumento que fizemos ali. 1 sobre o período do ponto de vista da fonte é a frequência da fonte. 1 sobre "Tf" é igual à frequência da fonte. Isso é o inverso disso, então, estou apenas tomando 1 sobre tudo aqui. Assim, 1 sobre "Tf" é a frequência da fonte. Em seguida, pegamos o inverso disso aqui. A velocidade da onda dividida pela velocidade da onda, mais a velocidade da fonte. Então, terminamos, pelo menos para os casos simples. Obviamente, isso se torna um pouco mais interessante quando alguém não está exatamente na direção da fonte ou exatamente sendo afastado para longe dela. Mas esses são os dois casos extremos. Essa é a situação quando ela está se afastando de você. Agora, só para verificar a nossa matemática e talvez torná-la um pouco mais concreta em relação ao vídeo que fizemos onde introduzimos a ideia do efeito Doppler, vamos aplicar esses números de verdade. Então, dois vídeos atrás, tivemos uma situação onde a velocidade na nossa fonte era de 5 m/s para a direita e a velocidade da onda era de 10 m/s radialmente para fora. E o período de nossa onda... Deixe-me fazer isso em outra cor... ...Do ponto de vista da fonte era 1 ciclo por segundo. E a frequência é apenas o inverso disso. Então, um ciclo por segundo, ou um hertz (Hz), que é um ciclo por segundo. Então, usando esses números, vamos ver se chegamos exatamente à mesma resposta que obtivemos naquele primeiro vídeo, onde aprendemos pela primeira vez sobre o efeito Doppler. Vamos olhar para a frequência a partir do ponto de vista deste cavalheiro aqui. Então, a freqüência da fonte será um ciclo por segundo, ou 1 Hz. A velocidade da onda é de 10 m/s. Deixe-me escrever isso. Um ciclo por segundo... A velocidade da onda é 10 m/s. A velocidade da onda é 10 m/s menos a velocidade da fonte, que é 5 m/s. Então, isso vai ser igual a quê? A frequência observada para esse cara ali será um ciclo do segundo vezes 10 sobre 10 menos 5. E os metros por segundo se cancelam. Metros por segundo no numerador, metros por segundo no denominador. Então, 10 dividido por 10 menos 5, ou 10 dividido por 5. Portanto, será 2 ciclos por segundo. Se você quiser um período observado para esse cara, ele será o inverso disso ou será 1/2 ciclo por segundo. Isso é exatamente o que obtivemos no vídeo anterior, na verdade, dois vídeos atrás. Agora, e esse cara aqui, de quem ele está correndo? Bem, faremos exatamente a mesma coisa. Você tem um ciclo por segundo (ou 1 Hz). Esta é a frequência emitida a partir do ponto de vista da fonte, vezes a velocidade da onda, dividida pela velocidade da onda mais a velocidade da fonte, porque está se distanciando dele. Então, é 10 sobre 10 + 5. Isso é 10 sobre 15. Isso é 2 sobre 3. Portanto, isso é igual a 2/3. As unidades aqui, todas se cancelam. Isso foi em ciclos por segundo. 2/3 ciclos por segundo, que confirma os números que obtivemos naquele primeiro vídeo. Isso deve nos fazer sentir bem. E também faz muito sentido. Esse cara vai ver a crista da onda com mais frequência, ele vai observar uma frequência maior. Se isso for um som, ele vai escutar um tom mais alto. Esse cara, já que a crista ou ciclos estão ficando espalhados, vai vê-los com menos frequência. E, se isso for um som, ele vai observar um tom mais baixo.