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Equação para osciladores harmônicos simples

A equação que representa o movimento de um oscilador harmônico simples e um exemplo. Versão original criada por David SantoPietro.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - Muito bem, nós já vimos como representar graficamente a posição de um oscilador harmônico simples em função do tempo por meio de um gráfico. Construindo um gráfico cuidadosamente, teríamos algo como isto. A amplitude, que é a magnitude do maior deslocamento em relação à posição de equilíbrio, está indicada aqui, e o período, indicado por "T" maiúsculo, que é o tempo que a massa leva para cumprir um ciclo completo deste oscilador, pode ser localizado no gráfico de crista a crista, ou vale até vale, ou de um ponto qualquer até o ponto análogo onde se completa um ciclo. Veja que o gráfico, que pode ser o gráfico de um seno ou um cosseno, pode representar qualquer situação de movimento harmônico simples. Podemos ter um movimento com uma amplitude maior, ou menor, ou, então, um movimento com um período maior ou menor, simplesmente deformando a curva que tem como base um seno ou um cosseno. Para isso ficar muito bem feito, nós precisamos de uma equação que descreva este movimento. E qual seria essa equação? Primeiro vamos nos lembrar de que este gráfico está representando a posição horizontal "x" da massa em função do tempo. Em outras palavras, precisaremos de uma equação que represente "x", que é a posição do objeto, em função do tempo. Dessa maneira, precisamos ser capazes de, colocando qualquer valor para o tempo, obter a posição da massa. Qualquer valor de "T" que coloquemos aqui, o valor de "x" obtido tem que ser algum valor que vai nos dar um ponto deste gráfico, ou seja, esta função vai nos dizer onde a massa está, qualquer que seja o instante. Bem, e com o que é que isto se parece? Parece que temos aqui um seno ou um cosseno. Para escolher entre seno ou cosseno, vamos olhar para o começo e verificar que quando o tempo é zero, o "x" está em seu valor máximo. Desta forma, vamos usar o cosseno, porque a curva que representa o cosseno tem início no seu valor máximo. O que significa isso mesmo? Vamos nos lembrar de que o cos(0) = 1. Você precisa se relembrar das funções trigonométricas. Lembre-se também de que o valor máximo para o seno ou cosseno é 1. Então, resumindo, vamos aqui ter o x(t) com a representação de uma curva por meio do cosseno. Mas temos que colocar ainda alguns elementos por aqui. Vamos começar observando que o valor máximo do cosseno é 1 e o mínimo é -1, mas aqui, o nosso valor máximo é a amplitude indicado pela letra A. Vamos analisar de uma maneira um pouco menos abstrata supondo que aqui a amplitude é de 0,2 m. Portanto, aqui temos este ponto em que o "x" vale 0,2 m, e você já logo vai ver que a amplitude não é 1, que seria o valor máximo do cosseno. Então, para arrumar isto, basta pegar o cosseno e multiplicar pela amplitude, porque não importa qual seja o valor da amplitude, ao multiplicar por 1, que é o valor máximo cosseno, nós vamos ter o valor máximo da amplitude ali também. Evidentemente, os valores intermediários, entre 1 e -1, vão estar presentes ali em todo o intervalo, ou seja, a curva do cosseno que estaremos representando aqui terá como valores máximo e mínimo, justamente o que a amplitude representa. Agora, parece que já terminamos, basta colocar o "T" aqui no cosseno. Mas isso não é verdade, temos que olhar para mais uma coisinha aqui. Vamos começar lembrando que o cos(0) é 1. E quando é que o cosseno volta a valer 1? É quando temos 2π, vamos usar aqui em radianos. cos(2π) também é 1, você pode se lembrar disso pelo círculo trigonométrico. Lembrando que, começando do zero, nós vamos voltar ao 2π após uma volta. Isso significa que a função que até agora escrevermos ali, se reinicia quando "T" vale 2π, certo? Isso porque quando ''t" é zero, o cosseno vale 1, e quando o "t'' vale 2π, o cosseno vai ser 1 de novo. Isso significa uma outra coisa importante, é que o período da curva do cos(t) é 2π. Mas atenção, porque o período nosso movimento harmônico simples não é necessariamente 2π, o nosso período pode ser qualquer outro valor que não seja 2π, por exemplo 6 s. Se o período for 6 segundos, nós precisamos ter uma função que completa o ciclo a cada 6 segundos, que ela se reinicia a cada 6 s. Como fazemos isso? Primeiramente, observando que não temos simplesmente "T" aqui, porque se tivéssemos simplesmente "T" aqui entre parênteses no cosseno, o nosso período deveria ser sempre 2π, e não é isso que acontece, o período varia de oscilador para oscilador. Para corrigir isto, eu vou colocar uma outra variável aqui, entre parênteses no cosseno, e essa variável é "ω". Vamos ter aqui, "ωt". Este valor "ω", pode ser o valor que eu precisar, qualquer valor, para que a nossa função tenha o período dado por "T". Por exemplo, 6 s, e assim não teríamos 2π. Se você for curioso, vai observar que já usamos "ω" em situações anteriores. Usamos, anteriormente, "ω" justamente como velocidade angular, que era defendida por Δθ/Δt, deslocamento angular dividido por tempo, ou por unidade de tempo. Você pode dizer que não faz sentido aqui porque a massa está indo para a direita e para a esquerda, e não rotacionando, não no movimento circular. Entretanto, nós podemos representar processos cíclicos, processos que têm um certo ciclo, como este, em um círculo de raio unitário. Em outras palavras, digamos que começamos aqui, puxamos a massa para a direita, e estamos aqui, nesta posição, quando "T = 0". No círculo unitário ela estaria exatamente aqui, posição de equilíbrio deveria ser no primeiro quarto do círculo aqui. A massa continua movendo-se até comprimir ao máximo a mola nesta posição, que seria a metade do círculo, e a mola começa a estender-se novamente, fazendo com que a massa mova-se novamente para a direita, passando outra vez pela posição de equilíbrio aqui no terceiro quarto do círculo, e continua seu movimento atingindo a posição inicial que já está indicada em amarelo. E já que eu consigo representar processos cíclicos em um círculo unitário, faz sentido eu olhar para "ω", para a velocidade angular, porque tem a ver com o deslocamento angular no tempo. Voltando à definição de "ω", que é Δθ/Δt, em um ciclo, o Δθ, a variação do ângulo, é de justamente 2π, vamos usar radianos, dividido pelo tempo gasto para completar este ciclo. Mas, o tempo gasto para completar o ciclo em um oscilador harmônico é justamente indicado pelo período pelo ''T" maiúsculo. E é esta expressão que eu vou colocar aqui, no lugar de "ω", e vai fazer com que tudo funcione perfeitamente. Veja só. Vou pegar novamente esta nossa função, e no lugar de "ω" vou escrever 2π sobre o período, que é "T". Uma pequena observação, que neste caso do oscilador harmônico simples, "ω" também é chamada de frequência. Ao colocar 2π sobre o período aqui e multiplicar pelo "t", vai acontecer algo interessante. Lembre-se que o "t" minúsculo é a nossa variável. Lembre-se de que 2π é uma constante, "T" maiúsculo, que é o período do oscilador, é também uma constante. O que acontece agora é que se o "t" minúsculo for zero teremos o cos(0) que dá 1. Ok, já prevíamos isso. Depois de um ciclo, se eu colocar no lugar do "t" minúsculo o tempo necessário para isto, que é justamente o período "T" maiúsculo, o "T" maiúsculo aqui no lugar do "t" minúsculo vai cancelar com o outro "T" maiúsculo, e vamos ter 2π aqui, e o cos(2π) é simplesmente 1, ou seja, funcionou. Conseguimos fazer com que esta função se repita em um ciclo, quando o intervalo de tempo é justamente o período do oscilador. Finalmente então, conseguimos aqui uma função que representa o que nós queremos. O período vai ser "T" maiúsculo, porque ao colocar "T" maiúsculo no lugar do "t" minúsculo, vamos ter os ciclo se reiniciando na função cosseno. Neste exemplo, em que fomos colocando alguns valores numéricos, no lugar de amplitude colocaríamos 0,2 m vezes o cosseno, e estamos usando cosseno porque esta curva começou no máximo. Se começássemos no zero e fôssemos nesse sentido, usaríamos seno em vez de cosseno. Vou substituir o período aqui sob o 2π pelo período do exemplo, que é de 6 segundos. No lugar do "t" minúsculo, o que eu devo colocar? É uma pergunta que muita gente faz, mas não devemos colocar nada, porque o "t" minúsculo é justamente a nossa variável independente, é justamente em cada valor de "t" que nós vamos saber a posição "x'' da massa neste oscilador. Por exemplo, se eu quiser saber no instante 9 s qual é a posição da nossa massa, basta colocar 9 no lugar do ''t" minúsculo como fazer as contas para saber a sua posição. Da mesma maneira, se eu quiser saber qual é a posição da nossa massa em 12,25 s, basta colocar 12,25 no lugar do "t" minúsculo, e usando a calculadora, fazer as contas para obter a posição "x". É isso que essa função pode fazer por você e representar a posição da massa no movimento harmônico simples. Você pode dizer: "descobrir, desenvolver isso tudo leva muito tempo, em cada problema eu vou gastar um tempo muito grande". Mas não, a ideia é bem mais simples do que parece, e vamos ver, neste exemplo, em que devemos escrever uma equação que descreve este movimento harmônico simples. Primeira coisa, decidir se vamos usar um seno ou um cosseno. Bem já vemos aqui que não começamos do máximo, mas também não inicia do zero, então, não parece ser um seno nem um cosseno. Mas, podemos verificar que ela inicia no mínimo. Vamos começar a montar. x(t) igual, primeiro vamos verificar qual é a amplitude para colocar aqui. A amplitude de é de 3 m, então, já podemos colocar aqui o 3. Observe aqui o máximo deslocamento de 3 m em relação à posição de equilíbrio, claro, vezes, vamos usar o cosseno porque vemos esta curva começando em um extremo. Não é o máximo, mas é o mínimo. Aqui vamos colocar 2π sobre o período. Precisamos localizar o período aqui. Olhando aqui, ela começa no mínimo. Esta curva voltará ao mínimo depois de 4 segundos, portanto, este é o período. Agora temos "t" minúsculo. O que é que eu coloco no lugar do "t" minúsculo? Nada, eu deixo "t" minúsculo mesmo, porque ele é a nossa variável independente. Parece que está pronto, mas ainda não, porque esta equação tem um gráfico começando do seu máximo, que é o 3, e depois vai diminuindo, como isto. Para fazer este ajuste e ele começar do mínimo, basta multiplicar por menos -1, ou simplesmente colocar um sinal de menos na frente do 3. Assim, de cosseno passamos a ter um "-cosseno" e começamos do valor mínimo aqui. Observe que a amplitude continua sendo 3, porque a amplitude é só a magnitude do maior deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio. Este sinal de menos que colocamos em frente ao 3 é para, na verdade, obter o "-cosseno", o que fica coerente com o gráfico começando da posição mínima. Então, se você estivesse começando do máximo aqui descendo, você usaria cosseno. Começando no extremo de mínimo, você usa "-cosseno". Começando do zero você deve usar seno. Se vai para cima, usa seno, e se vai para baixo usa "-seno". E assim você pode descrever facilmente o movimento harmônico simples. Recapitulando, podemos usar esta equação para representar o movimento harmônico simples, na qual vamos ter um sinal de mais ou de menos, depois a amplitude vezes seno ou cosseno de 2π sobre o período, vezes ''t". O 2π sobre o período representa a frequência angular ou simplesmente a velocidade angular. Você deve escolher "+cosseno" se começar no máximo, "-cosseno" se começar no mínimo, "+seno" se você começa do zero e vai para o sentido positivo, e "-seno" se você começa do zero e vai para o sentido negativo. Até o próximo vídeo!