Pêndulos

RKA2G - Os exemplos mais típicos para movimento harmônico simples são os da massa conectada a uma mola oscilando. Mas um outro exemplo bastante importante é o exemplo do pêndulo. O pêndulo é composto por uma massa "m", conectado a uma corda de comprimento "l', com uma extremidade fixa no teto, deslocada da posição de equilíbrio um certo ângulo e, quando solta, começa a mover-se para a frente para trás, criando um movimento harmônico simples. Para ser um pouco mais preciso, isto que temos aqui é um pêndulo simples, porque é simplesmente uma massa conectada a uma corda. Se eu conectar outra corda aqui e outra massa na ponta, aí teremos uma situação bastante mais complicada e muito mais difícil de descrever matematicamente. Mas vamos voltar ao pêndulo simples. Vamos lembrar que o movimento harmônico simples é definido pela existência da proporcionalidade entre a força restauradora e o deslocamento em relação à posição de equilíbrio. E, no caso do pêndulo, assim como em qualquer situação de movimento harmônico simples, nós podemos descrever este movimento usando a equação do movimento harmônico simples. E essa equação é dada por: "x" em função de "t", igual a A, que é a amplitude, vezes o cosseno ou seno (vamos usar cosseno) de 2π sobre o período, vezes "t" minúsculo, que é o tempo e poderemos ter a adição de uma fase aqui, mas vamos deixá-la um pouquinho de lado neste momento. Como é que aplicamos esta equação ao pêndulo simples? Para começar, ao invés de usar "x", vamos usar teta (θ), que é o ângulo que indica o deslocamento do pêndulo em relação à posição de equilíbrio. É para a variação desta medida que vamos olhar em função do tempo. Vamos supor que eu puxei a massa até um ângulo de 30 graus. Quando eu soltar, ela vai passar a um ângulo de 20 graus, 10 graus, zero, porque esta linha da posição de equilíbrio é a referência, zero, depois, -10, -20, -30 e vai retomar o movimento oscilatório. O que temos aqui, em vez de "x", é θ. Temos um ângulo em função do tempo. Então, θ em função do tempo vai ser igual a uma certa amplitude, mas agora, de novo, não estamos falando do deslocamento linear, mas angular. A amplitude vai ser a magnitude do maior deslocamento angular do pêndulo em relação à posição de equilíbrio. Vamos indicar aqui como θ máximo, que é o máximo deslocamento angular do pêndulo em relação à posição de equilíbrio. Isto multiplicado pelo cosseno de 2π sobre "T". Lembrando que o "T" maiúsculo é o período, o tempo que o pêndulo gasta para completar um ciclo. Isto multiplicado pelo tempo "t" do movimento. Um detalhe é que o pêndulo não é um oscilador harmônico simples perfeito, mas ele é extremamente perto de um. Quando estamos considerando uma variação pequena de ângulos aqui, por exemplo, ângulos abaixo de 20 graus, podemos considerar, tecnicamente, que o pêndulo simples pode ser descrito por esta equação do oscilador harmônico simples. Quando deslocamos muito o pêndulo em relação à posição de equilíbrio, existe uma variação maior da amplitude e ele já não pode ser perfeitamente descrito como um movimento harmônico simples. Mas, em pequenos ângulos, sim. Assumindo que estamos em situações de pequenos ângulos aqui (portanto, uma amplitude pequena), podemos tratar isto como um movimento harmônico simples e vem a primeira pergunta, que é: o período deste movimento depende de quê? Meu primeiro palpite é que o período dependeria da massa. Vamos pensar sobre isso. Aumentando a massa deste pêndulo, o que você acha que aconteceria com o período? Aumentaria também ou diminuiria? Um raciocínio que pode aparecer é o de que, aumentando a massa, aumenta-se a inércia. Fica mais difícil do corpo ter a sua aceleração e o sentido do seu movimento modificado e, portanto, demoraria mais para completar o círculo, portanto, aumentando o período. Por outro lado, outro raciocínio é o de que, aumentando a massa, a força gravitacional também vai ser maior. E, a força gravitacional agindo de maneira mais intensa sobre este objeto, a força restauradora do movimento também vai ser maior, fazendo com que a massa volte à posição inicial mais rapidamente e, portanto, diminuindo o período. O fato é que estas duas ideias existem, mas elas se cancelam. Ou seja, aumentando a massa, haverá mais inércia, portanto, maior dificuldade em modificar o estado de movimento deste corpo e, ao mesmo tempo, haverá maior força gravitacional para movê-lo. Estes dois fatores se cancelam, de maneira que aumentar a massa do corpo do pêndulo não afeta o período. Pode parecer um pouco estranho, mas é verdade. Alterar a massa não altera o período. Você pode ir, por exemplo, a um parquinho e um bebê, uma criança de 5 anos, um adolescente ou você pendurado em uma corda, oscilando como um pêndulo, todos terão o mesmo período. Estranho, mas é verdadeiro e você deve manter isso em mente. Então, o que vai afetar o período? Eu vou colocar aqui para você uma fórmula. Não vou fazer a demonstração dessa fórmula aqui, porque ela exige que você saiba cálculo. Se você já sabe cálculo, procure nos vídeos em que há a demonstração desta fórmula usando cálculos. É bastante interessante. A fórmula que determina o período do pêndulo simples é T igual a 2π, vezes a raiz quadrada de "L", sendo "L" o comprimento da corda que segura a massa do pêndulo, sobre G, que é a aceleração da gravidade. Vamos analisar um pouquinho esta fórmula, lembrando que 2π é uma constante, o L no numerador significa que, aumentando o comprimento da corda, vamos também aumentar o resultado deste cálculo, portanto, aumentar o período. E por que isso acontece? Vamos nos lembrar de que temos aqui uma massa rotacionando em torno de um eixo e o momento de inércia dela, vamos nos lembrar, aqui está o eixo. Estamos considerando um ponto material nesta massa. E o momento de inércia desta massa, rotacionando em torno de um eixo, é simplesmente i = mr². Lembrando que "r" é justamente a distância do eixo até a massa que está rotacionando em torno dele. Temos o momento de inércia dela como mL². Evidentemente, ao aumentar o comprimento da corda, estamos aumentando o momento de inércia. E o que isso significa? Lembre se de que o momento de inércia é a medida de quão difícil é acelerar angularmente alguma coisa. Se o momento de inércia é maior, fica mais difícil modificar o estado de movimento desta massa. Portanto, o período da oscilação também fica maior. Ainda, alguém pode questionar o seguinte: o que está provocando esta aceleração e movimentando esta massa no pêndulo é o torque. E o torque é "r" vezes "f" vezes seno de θ, sendo "r" a distância que a massa está do centro do movimento, do eixo. Neste caso, "r" seria L e a força em questão seria a força da gravidade, vezes o seno de θ. E você pode dizer: "Olha, se L aumenta, então quer dizer que o torque também aumenta." Teríamos mais torque tentando movimentar esta massa, ao mesmo tempo em que existe mais inércia. Estas coisas se cancelam? Não. Observe que o torque, sim, aumenta quando aumentamos L. Mas o torque é proporcional a L, entretanto, o momento de inércia é proporcional a L². Então, ao dobrar o L, você quadruplica o momento de inércia. Você quadruplica o quão difícil é fazer esta massa acelerar, enquanto simplesmente dobra o torque que está sendo aplicado sobre ela. Portanto, estas duas ideias não se cancelam. E, quanto maior o L, maior o período, portanto. Agora, a pergunta: por que, aumentando "g", a aceleração gravitacional, o período diminui? Vamos pensar que vamos levar este pêndulo para um planeta que é muito mais denso que a Terra e tem, portanto, uma aceleração gravitacional bem maior do que a Terra. O que acontece é que a força gravitacional sobre a massa amarrada na corda vai ser maior e, portanto, a força restauradora do oscilador também vai ser maior, fazendo com que a massa volte mais rapidamente à posição de equilíbrio. Portanto, teremos um período menor. Observe também que, ao aumentar a força gravitacional, estamos aumentando o torque sobre a massa rotacionando em torno daquele eixo, o que vai favorecer a variação da aceleração angular. Portanto, mais rapidamente teremos a restauração e menor será o período. Agora, aqui, se você está bem atento, vai se lembrar de que, para uma massa conectada a uma mola, oscilando no movimento harmônico simples, o período é dado por T = 2π, vezes a raiz quadrada de alguma coisa sobre alguma coisa. E, naquele caso, o numerador era "m", a massa do objeto amarrado à mola, sobre "k", que é a constante da mola. No caso da mola, nós olhamos para a massa e verificamos que aumentar a massa significaria aumentar a inércia do sistema e, portanto, aumentar o período para completar um ciclo. O mesmo se repete aqui para o pêndulo. Aumentando o comprimento da corda, aumentamos o momento de inércia, portanto, a inércia e o período também aumenta. Demora-se mais para completar um ciclo. Voltando para a mola, quando aumentamos "k", aumentamos a força restauradora. Aumentando a força restauradora, damos uma aceleração maior à massa, portanto, ela percorre mais rapidamente o ciclo. Completa mais rapidamente o ciclo e o período fica menor. Aqui no pêndulo, "g" aumentando, aumentamos a força no sistema. Portanto, força restauradora maior vai fazer com que a massa acelere mais rapidamente e percorra em menos tempo o ciclo. Portanto, teremos um período menor. Estas duas fórmulas são bastante similares e mantêm entre si uma boa analogia. A ideia da inércia no numerador, a ideia da força no denominador e ambas indicam a mesma maneira de afetar o período. Uma ideia mais que é importante você ter em mente é que a amplitude não afeta o período no sistema massa-mola e a amplitude, que é o θ máximo no pêndulo, também não afeta o período. Claro que, no pêndulo, estamos assumindo uma amplitude relativamente pequena para que ele possa ser considerado um oscilador harmônico simples. Isso é verdadeiro para ângulos pequenos. Vamos a uma última ideia. O pêndulo simples somente atua como um oscilador harmônico simples para pequenos ângulos. Isso significa que esta fórmula para o período do pêndulo simples só é válida para pequenos ângulos. Mas o quão pequenos esses ângulos devem ser? Para dar uma ideia, vamos pensar que θ máximo, que é o ângulo com o qual nós deslocamos o pêndulo inicialmente para dar a ele o movimento oscilatório, seja menor que 20 graus. Neste caso, a diferença entre o período real deste pêndulo e a aproximação para o oscilador harmônico simples vai ser menor que 1%, ou seja, estaremos muito próximos do real. Se o θ máximo, por outro lado, estiver abaixo de 40 graus, a diferença entre o movimento harmônico simples e o pêndulo real será menor que 3%. Por outro lado, chegando próximo aos 70 graus, o erro destas fórmulas estará abaixo dos 10%. Não estaria bom, mas também ainda não estaria muito ruim. Então, esta fórmula do período para o pêndulo simples é válida, com certeza, para ângulos pequenos e, conforme você aumenta esse ângulo, você vai obtendo um valor cada vez mais distante do real. Recapitulando: para pequenos ângulos, podemos considerar o pêndulo como um oscilador harmônico simples descrito por esta equação. E, se a amplitude é pequena, podemos obter o período do pêndulo por meio desta fórmula, usando 2π vezes a raiz quadrada de L sobre "g", onde L é o comprimento da corda e "g" é a aceleração da gravidade na localidade onde o pêndulo está oscilando. Até o próximo vídeo!