Constante de fase

RKA1JV - Vamos dizer que temos aqui uma massa amarrada a uma mola presa ao teto. E nós iniciamos o movimento dessa massa dando-lhe um chutezinho e ela começa a oscilar para cima e para baixo. Essa massa ficaria mudando na vertical de posição e temos aqui representadas as posições da mola a cada quarto de segundo. A massa começa aqui, 1/4 de segundo depois ela está aqui. Outro 1/4 de segundo depois, ela está aqui e assim por diante. Veja que é uma mola e uma massa só, nós tiramos várias fotos e colocamos lado a lado essas fotos. Conectando aqui estes pontos, nós temos um gráfico que representa, basicamente, a altura do centro da massa em função do tempo. No gráfico, o “y” que seria a posição vertical da massa em função do tempo aparece aqui. Começamos do meio, ou seja, aqui no zero, vai para cima, depois para baixo, e esse processo se repete. Essa curva sugere um gráfico de seno. E a minha pergunta aparece neste momento. Vamos dizer que não começamos com essa massa na posição de equilíbrio, ou seja, no meio aqui das posições verticais. Digamos, por exemplo, que eu comecei quando t = 0, com a massa no topo, na máxima compressão da mola. No desenho, teríamos isso aqui, deixamos a massa descer, ela estendeu a mola e depois voltou a comprimi-la. Graficamente, teríamos isto aqui. Colocando nos eixos, teremos aqui, começando do valor máximo da posição vertical da massa, depois vai descendo e volta a subir após a extensão completa da mola e assim por diante. E a questão que eu coloco é: estes gráficos são iguais ou diferentes? Evidentemente, eles são diferentes, mas quase tudo é a mesma coisa. A amplitude é a mesma, temos o máximo deslocamento em relação à posição de equilíbrio igual nos dois gráficos. O período também é o mesmo, período é o tempo entre oscilações, é igual nos gráficos. A única diferença é que um gráfico está deslocado em relação ao outro. De fato, se eu pegar essa curva verde e deslocá-la para a esquerda, eu vou sobrepô-la perfeitamente à curva rosa e então teríamos gráficos iguais. Na Física, o que relaciona dois gráficos que estão, em termos de diferenças, simplesmente deslocados um em relação ao outro, é a ideia de fase. Nós diríamos que esses dois osciladores estão fora de fase. Como assim fora de fase? No primeiro oscilador, nós temos o ciclo daqui até aqui. Eu estou destacando em amarelo, e se eu deslocar este tanto à esquerda o meu gráfico verde. Vamos fazê-los coincidir esta distância necessária para deslocar um gráfico e fazer coincidir o outro que, neste caso, é de 1/4 de ciclo, é o que chamamos de fase. Esses movimentos estão 1/4 de ciclo fora de fase. Nós podemos também pensar nisso no círculo unitário. 1/4 do círculo corresponde a 90 graus, ou seja, em radianos, π/2. Agora como descrevemos essa ideia de fase matematicamente? Vamos escrever uma equação para este oscilador indicado em verde. Vamos ter “y” em função de “t” igual aqui a amplitude vezes, como começamos do zero e verificamos que a curva foi no sentido positivo primeiro, então estamos tratando de um seno de 2π sobre o período que é “T” vezes o “t”. Que representa o instante de tempo. Observe que quando "t" é zero, seno de zero é zero, então “y” vai ser zero, está coerente. Ao aumentar um pouquinho o valor de “t”, do número positivo, o seno também vai aumentando, vai de zero para positivo. Está coerente com o gráfico. Vemos o gráfico subindo até atingir a crista, onde está esse pico? Está exatamente em 1/4 do ciclo, lembre-se de que o ciclo inteiro é tudo isso. Então, aqui temos 1/4 dele. Quando o tempo for do período dividido por 4, que é quando temos 1/4 do círculo, esta equação vai nos dar essa ideia mesmo. Basta verificar aqui colocando "T" sobre 4 no lugar do “t”, vamos ter o seno de 2π sobre "T" vezes T/4. Cancelando o “t”, vamos ter seno de 2π/4 que é o seno de π/2. E o seno de π/2, que é o seno de 90 graus, dá 1, que é o seu valor máximo. Esse valor máximo multiplicado pela amplitude vai nos dar o valor máximo do gráfico que temos aqui em verde. Então, parece que tudo vai bem aqui. Vamos tentar descrever o oscilador rosa. Só de bater o olho, com certeza você vai dizer que isso é muito fácil. Basta trocar o seno pelo cosseno. E é verdade, isso vai funcionar perfeitamente, mas a ideia aqui não é essa. É verificar como a curva verde se deslocou até chegar à curva rosa. Aqui está facilmente identificado pela diferença de 1/4 do ciclo de maneira que o cosseno funcionaria perfeitamente. Mas se deslocamento fosse diferente, por exemplo, de 1/9 de ciclo, o cosseno não seria tão facilmente adaptável aqui. Precisamos de alguma ideia que funcione de maneira mais genérica. Para isso, vamos colocar uma certa constante aqui, mas onde faremos isso? Vamos lembrar que queremos deslocar a curva verde para a esquerda, você pode pensar que poderíamos subtrair alguma quantidade aqui, mas isso não vai funcionar. Porque, neste caso, você estaria pegando o resultado de cada conta e subtraindo um valor total dela. O que faria com que o seu gráfico verde se deslocasse para baixo “b” unidades. Da mesma forma, se eu adicionasse o valor "b" aqui, eu faria com que o gráfico se deslocasse “b” unidades para cima. Então “b” aqui não vai funcionar para nós. O fato é que essa constante que vamos usar deve ser somada aqui dentro dos parênteses onde estamos calculando o seno. O oscilador rosa vai ser descrito por y(t)=A porque é a mesma amplitude, vezes o seno de 2π sobre o período vezes o “t” que é tempo. Aqui, vamos introduzir, adicionar a constante fase. E você deve pensar que deveríamos subtrair o valor daqui, porque estamos deslocando o gráfico para a esquerda. Mas, na verdade, ao adicionar um valor aqui, nós vamos deslocar o gráfico para a esquerda. Isso, eu sei, que é um pouco anti-intuitivo, mas é verdade. Vamos pegar essa equação nova aqui. Um detalhe é que phi (φ), essa letra grega, é normalmente utilizada para indicar a fase. E nós já sabemos que ela deve indicar 1/4 do ciclo que é justamente π/2. Vamos ver se isso funciona. Quando “t” vale zero, essa parte do 2π sobre período vezes “t" vai para zero, sobra π/2. E o seno π /2 é 1, é o seu valor máximo. Multiplicado pela amplitude, vai dar também o valor máximo. Então, até agora faz sentido. Aqui já vamos vendo a vantagem de colocar fase na função seno. Porque se tivermos que deslocar o gráfico em qualquer quantidade, π/7, π/9, π/27, nós faremos facilmente em relação a trocar seno por cosseno. Ficaria mais complexo. Então, tendo a função seno, adicionando uma fase, nós deslocamos o gráfico para a esquerda, subtraindo, deslocamos o gráfico para a direita. Observe que a fase nunca é maior que 2π porque deslocando 2π, nós voltamos ao gráfico original. Esta constante aqui que neste caso é π/2, em geral, se você tem um oscilador vai aparecer na equação usando seno ou cosseno e dentro dos parênteses sendo adicionado. Ela pode ser positiva ou negativa. Sendo positivo, o gráfico é deslocado para a esquerda, negativa para a direita. Fique atento. Tome cuidado, porque às vezes a palavra fase, em Física, é usada somente para esta constante, mas também pode ser usada para tudo isso que está entre parênteses no cálculo do seno ou do cosseno. Outra coisa que estas ideias não se aplicam somente para uma massa amarrada a uma mola. Elas também valem para ondas. Concluindo, a ideia desta constante de fase, é simplesmente deslocar o gráfico que representa um oscilador. Mantendo as outras características como amplitude e período. Até o próximo vídeo!