A equação de uma onda

[LEGENDA AUTOMÁTICA] eu quero mostrar para você a equação da onda e como usá la mas primeiro preciso explicar o que queremos dizer com equação da onda imagine uma onda na água que se pareça com isto aqui no gráfico temos a altura vertical da onda em função da posição horizontal essa onda você vai ver com certeza movendo-se desta forma e ondas do mar por exemplo não são exatamente como esta mas aqui temos um modelo matemático bem simplificado de onda e por isso vamos começar estudando esta situação vamos supor que você esteja em um guia em frente à água observando uma onda que se propaga nela você vê aqui um ponto a uma altura de três metros um metro adiante a altura da água está em zero mais um metro adiante o nível de água está três metros abaixo do que foi considerado 0 entenda que estamos assumindo como zero este nível da superfície da água imaginando por exemplo um lago onde a água estivesse totalmente parada e houvesse somente uma onda se propagando nela essa superfície da água estaria no nível 0 quando não há ondas marcando então os níveis da água de acordo com a posição horizontal teríamos um desenho como este para a onda mas isto é simplesmente uma fotografia instantânea porque estamos tratando da altura na vertical do nível da água em função da posição horizontal isto é apenas uma fotografia num dado instante eu poderia encher isto com água e dizer ô realmente é com isso que a onda se parece em um certo momento do tempo mas também temos que lembrar que a onda se movimenta como isto aqui é essa ideia que queremos representar de fato no gráfico então que temos aqui neste gráfico é uma fotografia que mostra o nível da água para cá na posição horizontal em um certo momento no tempo é uma fotografia e o que a equação que representa deveria ser devemos ter uma equação que representa y que é o nível vertical da água em função da posição horizontal ou seja y em função de x essa equação nos deve dar à altura do nível da água em função da posição horizontal que estamos observando em um dado momento de tempo por exemplo se eu colocar 0 no lugar do x o y tem que resultar em 3 que a altura máxima da água que no começo da nossa observação onde nós marcamos 10 para a posição horizontal da mesma forma quando x vale 1 quando colocarmos um lugar do x deveremos encontrar 0 para o nível verde cal da água da mesma maneira com os outros valores e por exemplo se eu colocar seis no lugar do x devo encontrar um y valendo menos três então qualquer que seja o valor de x que eu coloque aqui a equação deve me dizer o valor de y correspondente que é o nível de água na vertical correspondente àquela posição escolhida para o x observe que o valor de y aqui não pode ser maior que três nem menor que menos três estamos tratando da amplitude observe aqui no gráfico estou indicando pela letra a amplitude que é o deslocamento máximo na vertical para esta onda vou colocar aqui na equação mas vou usar a letra a e não valor de três metros que temos no gráfico do exemplo afinal estamos escrevendo uma equação genérica a forma do gráfico podemos observar é um cena ou um cosseno e devemos escolher qual deles é mais adequado aqui já que para x igual a zero temos o y em seu valor máximo o cosseno dx seria mais adequado porque o conselho de zero e inicia no valor máximo da função ficamos então com y dx igual a vezes cosseno de alguma coisa entre parênteses que envolve o x talvez você esteja tentado colocar simplesmente xis aqui mas não vai funcionar tocando simplesmente xis aqui não teremos uma equação genérica para qualquer onda se colocássemos simplesmente fiz aqui nós teríamos a onda se reiniciando cada vez que eu fiz que chega a 2 pe observe que a nossa forma de ondas e reinicia a cada quatro metros e não a cada 2 pi e para outras ondas poderíamos ter períodos diferentes como oito metros ou qualquer outro valor eu tenho que arrumar algo aqui dentro dos parentes para que tudo isto faça com que o gráfico reinicia o ciclo de maneira correspondente ao que acontece na onda o que é que eu vou fazer vamos ficar aqui entre os parentes da mesma maneira que eu fiz quando estava escrevendo a equação para o movimento harmônico simples vou dividir 2 e ii mas atenção não pelo período de tempo porque aqui não temos uma função do tempo mas eu vou dividir já que temos uma função de x vou dividir pela distância necessária para que a onda reinicia o ciclo isso é chamado de comprimento de onda representamos a distância entre duas cristas pela letra grega lambida então a distância que a onda leva para reiniciar o ciclo no espaço é chamado de comprimento de onda é representado normalmente pela letra grega lambida é esse o valor que vai dividir os dois pi e depois vamos multiplicar isso por x comprovando-se x 0 o cosseno se inicia no valor máximo que é 3 aqui tomando aqui a distância necessária para a onda completar um ciclo que neste caso de quatro metros se eu colocar esse valor no lugar do x eu estou colocando o valor de lambida ali e vai cancelar com outro lambda ficaremos entre parênteses somente com 12 pe e o cosseno de 2 piva nos dar novamente o valor máximo para a onda comprovamos que conseguimos um ciclo compatível com o comportamento da onda nesta situação e em qualquer outra em mais um comprimento de onda o ciclo começa novamente em outro comprimento de onda novamente o ciclo se completa e assim por diante como é que aplicamos esta equação de onda para este caso em particular vamos fazer observe que essa onda corresponde acontecendo porque começamos o valor máximo seria um senão se começasse no 0 e fosse avançando para cima e voltando para a equação nossa amplitude não é simplesmente a ela é de 3 metros entre os parentes do cosseno o 2pi continua porque é uma constante mas no lugar do lambida vou colocar o comprimento de onda deste exemplo que é de 4 metros observe que o lambda distância de pico a pico de crista crista ou se você preferir aqui de vale até vale mas tem que ser a distância correspondente a um ciclo completo da onda no lugar do x o que é que eu vou colocar nada vou deixar x mesmo porque afinal y é uma função de x vamos então testá lá para ver se funciona perfeitamente nesta onda lembrando que y é o nível da água na vertical x é a posição para a qual estamos olhando em dado instante vamos começar colocando 0 no lugar do x temos aqui cosseno de tudo isto que a 0 e cosseno de 0 a 1 x 3 que amplitude vamos ter essa conta toda igual a 3 o que confere com a onda é verdade vamos testar por exemplo agora quando x é 2 quando a posição horizontal de dois metros colocando 2 no lugar do x simplificando vamos ter 3 metros vezes o cosseno que no numerador teremos quatro pick simplificando com quatro do denominador ficará somente pe sabemos que o cosseno de pia - 1 portanto o y quando x vale 2 vai ter resultado menos três e de fato quando fiz a dois metros o nível vertical da água é de menos três metros então funcionou aqui direitinho pelo que podemos ver mais temos que acrescentar alguma outra ideia lembre se de que esta onda está se movendo tudo que fizemos até aqui vale para uma fotografia da onda num certo instante de tempo mas na realidade ela está se movendo por exemplo algum tempo depois do que eu tinha naquela fotografia a onda se moveu e quando x é 2 o nível vertical de água já não é menos três como antes quando x 0 a altura da água também não é três metros e então como é que eu faço para descrever essa onda que está acima vendo para a direita em uma única equação vamos ajustar esta equação simplesmente observando agora que o y não é uma função somente de x mas também uma função do tempo que vamos indicar por t e como vamos indicar a dependência de y em função também do t aqui primeiro vamos nos lembrar de que se adicionamos uma constante de fase aqui dentro dos parentes do cruzeiro neste argumento esse valor desloca a onda e adicionamos um número positivo ele desloca onda pará esquerda esse adicionamos um número negativo a onda se desloca para a direita então nesse caso aqui é conveniente subtrair alguma coisa no argumento do oceano subtraindo algum valor do argumento vamos deslocar portanto a onda para a direita mas eu subtraiu apenas um valor constante aqui eu desloco a onda um pouquinho e ela pára e não é isso que acontece no lago no mar uma onda provocada na superfície de um lago continua se movendo então é bastante razoável pensar que ali onde temos a constante de fase nós vamos colocar algo dependendo do tempo assim como tempo vai passando a onda vai se movendo continuamente para isso vamos nos lembrar do período período é um intervalo de tempo que a onda leva para completar um ciclo e podemos perceber que vai existir uma certa analogia com um comprimento de onda que era a distância necessária para a onda completar um ciclo a idéia do período está relacionado ao tempo que esta onda vai levar para se movimentar neste caso para a direita até que ela volte a ter o mesmo aspecto que tinha inicialmente o tempo que gastou para completar esse ciclo é o período precisamos então ali no argumento do cosseno colocar alguma coisa envolvendo o tempo que faça com que depois de um período a onda esteja na mesma situação que ela estava inicialmente ea ideia é bastante análoga ao que fizemos com o comprimento de onda não posso colocar simplesmente o texto tempo ali mas eu vou colocar o 2pi dividido pelo tema eo que é o período então multiplicar no tempo então aqui da mesma forma como quando nos deslocávamos um comprimento de onda isso fazia com que fizemos a onda na mesma situação que ela tinha porque o xiv a cancelar com o lambda e teremos 2 bi quando tempo vale um período também vamos cancelar aqui ter 2 pink fazendo com que a onda tem o mesmo aspecto que tinha inicialmente então essa é a equação da onda sendo que aquino cosseno poderia existir um selo se fosse mais conveniente para descrevê la aqui temos um sinal de menos porque estamos deslocando a onda para a direita imaginando que ela está se deslocando para a direita se fosse o caso da onda se deslocando à esquerda usaríamos um mais e para fazer uma equação ainda mais genérica poderíamos acrescentar aqui uma constante de fase que seria bastante útil à sua medição começasse quando a onda não estivesse numa posição que favorecesse usar simplesmente oceno o cosseno de um argumento simples no nosso exemplo não usamos essa constante de fase por que começava no valor máximo quando x a 0 mas é isso esta é a equação da onda que é uma função da posição no tempo que nos dá o nível da onda ou altura vertical da onda de acordo com a posição e com o tempo ou seja nos dá o nível da univerti causa da onda em qualquer posição x e em qualquer instante de tempo te vamos aplicar esta fórmula particularmente para esta onda que temos aqui observe que o que já tínhamos aqui era uma expressão para a onda em um único momento de tempo para aquela fotografia dela vamos supor que essa fotografia foi tirada quando o tempo era de 0 segundos é igual a zero esta seria a equação que descreveria a onda naquele instante agora vamos fazer melhor descrevendo a onda em qualquer posição para qualquer instante de tempo te colocando as informações nesta equação amplitude continua sendo 3 e já que quando x igual a zero e quando te igual a zero o nosso gráfico começa no máximo vamos continuar usando o cosseno no lugar do lambda vamos colocar o comprimento de onda que era quatro metros eu vou a pagar daqui a constante de fazer porque ela seria zero já que temos aqui o gráfico coerente com o cosseno sem a necessidade de deslocamentos a única coisa que está faltando é o valor que vamos colocar no tema eo que é o período para isso precisamos de mais uma informação e vamos supor que esta onda está se movendo para a direita com velocidade de 0,5 metros por segundo o que seria justamente a velocidade da onda vamos precisar agora nos lembrar de que a velocidade da onda é igual a lambida que é o comprimento de onda vezes a freqüência que é equivalente a lambida dividido pelo período para obter o período então vamos ter lambda sobre ver o que vai ser então quatro metros dividido pela velocidade que a 0,5 metros por segundo e isso dá um período de oito segundos após colocar agora oito segundos aqui no período e temos a equação da onda representada em função da posição e do tempo essa equação é realmente fantástica descreve a altura vertical a posição de cada onda em função de qualquer posição que você observe em qualquer instante de tempo em outras palavras eu posso colocar por exemplo três metros para o xvii 5,2 segundos para o t e você com essa equação pode me dizer qual vai ser o nível vertical desta onda ou altura que ela tem na distância de três metros onde comecei a medir e há um tempo depois de 5,2 segundos após o início da medição recapitulando esta equação da onda ea descreve para qualquer posição x e qualquer instante de tempo te você deve usar o sinal negativo aqui se a onda se move para a direita em um sinal positivo caso ela se mova para a esquerda até o próximo 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