Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Movimento harmônico parte 2 (cálculo)

Testamos se o Acos(wt) pode descrever o movimento da massa em uma mola por meio da substituição na equação diferencial F =-kx. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA7MP No último vídeo, nós reescrevemos a equação de Hooke, a equação da mola, considerando que força é a massa vezes a aceleração, e nós olhamos um pouco para a velocidade do bloco como a derivada da posição em relação ao tempo, indicada por d[x(t)] ou "x" linha, e a aceleração que é derivada da velocidade, ou seja, a derivada da derivada de "x", derivada segunda de "x". Vamos voltar a esta equação e reescrevê-la em termos daquilo que nós olhamos para o último vídeo. A aceleração, nós sabemos que é derivada segunda de "x" da posição. Então, nós podemos escrever em vez de "m" vezes "a", no lugar de "a", a derivada segunda de "x" em relação ao tempo, igual a -k vezes "x", "x" em função de tempo, estou relembrando que "x" é uma variável dependente. O que nós temos aqui é uma equação e, nesta equação, o que procuramos saber não é um valor numérico, mas aquela função ou aquelas funções que satisfazem o "x". Isto é o que chamamos de equação diferencial. Veja a derivada de "x" envolvida. A incógnita é uma função ou uma família de funções, melhor dizendo. O estudo com as equações diferenciais leva um certo tempo, mas este é um bom exemplo para começar a olhar para uma delas. Não podemos ter a pretensão de resolver analiticamente esta equação diferencial, mas vamos usar a nossa intuição e os nossos conhecimentos incluindo os dos vídeos anteriores que nos vão permitir conhecer ou chegar a uma solução para ela. Chegando a esta solução que estamos procurando, vamos tentar obter uma expressão que nos permita saber em que posição "x" o bloco estará em função do tempo que passa "t". Usando as ideias intuitivas, nós já chegamos à sugestão de que "x" varia em função do tempo, seguindo uma expressão como esta que é "A", que é a amplitude do movimento, multiplicando o cosseno de ômega "t" (ωt). ω é a velocidade angular, mas nós não vamos nos aprofundar neste momento em relação a isso. O que nós vamos fazer é testar esta função para ver se nós conseguimos satisfazer esta equação. Vamos estudar esta dada expressão "A" cosseno ωt. Supondo que o "x" de "t" seja, de fato, igual a "A" cosseno ωt, o que seria a derivada disto em relação ao tempo? Você pode revisar, retomar os vídeos sobre derivadas para aprofundar um pouco ou reforçar este assunto. Temos a derivada de uma função composta. Vamos fazer a derivada de dentro. ωt, "t" é a variável independente, a derivada de ωt é ω. Então, temos aqui a constante "A". Derivada de ωt é ω, vamos colocar aqui, vezes a derivada do cosseno é, simplesmente, menos seno. Então, a derivada do cosseno ωt vai ficar -sen (ωt). Reescrevendo aqui, teríamos "x" linha de "t" igual -A∙ω∙sen∙(ωt). E a derivada segunda de "x", ou seja, a derivada desta expressão em relação a "t"? Vamos ver aqui: x" de "t" igual, isto tudo aqui é constante, então, a derivada vai continuar tendo esta constante multiplicando derivada de seno de ωt, por ser uma função constante, preciso fazer a derivada do que está aqui dentro, derivada de ωt é ω novamente. Então, nós teríamos aqui -Aω, que era a constante que já tínhamos, vezes ω, este ω veio da derivada da de dentro, vezes a derivada de seno de alguma coisa é cosseno desta coisa, cosseno ωt. Melhorando um pouco, a derivada segunda vai ser igual a -A∙ω²∙cos(ωt). Vamos, agora, voltar para esta expressão. Eu vou escrevê-la novamente, fazendo a substituição com o que nós encontramos aqui. Temos "m" vezes a aceleração, "m" vezes a derivada segunda de "t", que é isto tudo, melhor dizendo, já simplificado. "m" vezes, x" é isto aqui, massa vezes a aceleração, igual -kx de "t". Mas o "x" de "t" nós estamos assumindo que é A∙cos(ωt). Então, aqui, -k∙A∙cos(ωt). Revisando o que nós fizemos até aqui, eu supus que o "x" de "t" seria uma expressão como esta usando o fato de que a equação de Hooke nos dá força igual a -kx, eu coloquei força como massa vezes a aceleração igual a -k vezes "x", sendo que "x" depende de "t", a aceleração é derivada segunda de "x" em relação a "t". Então, eu, após calcular esta derivada, eu a coloquei nesta expressão novamente, e agora vou trabalhar um pouquinho com elas para simplificar. A começar pelo fato de que este sinal de menos vai ser cancelado com este sinal aqui. Eu vou também dividir os dois lados por "A" para simplificar. Eu ficaria com m∙ω²∙cos(ωt) igual a k∙cos(ωt). E esta igualdade naturalmente é válida se mω² for igual ao "k". mω² = "k" O que nos leva aqui que o ω² é igual a "k" sobre "m". Por conclusão, ω teria que ser a raiz quadrada (√) de "k" sobre "m". Com isso, nós podemos ter um pouco mais de certeza sobre o que é "x", variando em função do tempo. Eu consegui obter as condições para que esta equação diferencial seja verdadeira com esta solução de que eu havia suspeitado no início. Ou seja, agora consigo tranquilamente escrever com mais certeza qual é a expressão que define "x" em função de tempo para esta situação, que define ou que me permite concluir que este gráfico está coerente. E esta equação, esta expressão é: "x" de "t" igual a "A" vezes cosseno da raiz quadrada de "k", que é a constante da mola, sobre "m", vezes "t". Todos parâmetros conhecidos do problema. Conseguimos, sem usar muitos cálculos avançados, definir uma equação que me permite, por exemplo, dizer quando o tempo é 5,2 segundos, onde esta mola vai estar, em qual posição ela estará. Até o próximo vídeo.