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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 8
Lição 2: Movimento harmônico simples (com cálculo)Movimento harmônico parte 3 (sem cálculo)
Descoberta do período, da frequência e da amplitude do movimento harmônico de uma massa presa a uma mola. Versão original criada por Sal Khan.
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- O vídeo está com o áudio adiantado em relação as imagens. Isso confunde um pouco(8 votos)
Transcrição de vídeo
RKA11E- Olá, bem vindos de volta. Se você estava aí, fechando os olhos porque não queria ver cálculo, acho que você já pode abri-los novamente. Não vai haver partes significativas de cálculo neste vídeo. Então, só para revisar o que fizemos, dissemos que se temos uma mola, eu a desenhei vertical dessa vez, mas
finja que não há gravidade ou finja que estamos olhando para o topo de uma mesa, porque não queremos olhar para o efeito de uma mola e a gravidade. Queremos olhar apenas para uma mola sozinha. Assim, isso poderia ser o espaço sideral outra coisa, mas não estamos pensando sobre gravidade aqui. Eu a desenhei na vertical, apenas para que possamos pensar nessa curva de forma mais intuitiva. Começamos dizendo que
se eu tiver uma mola e "x = 0", e isso é como o ponto de descanso natural da mola, se eu não puxasse a mola, se eu não puxasse nada, mas agora eu tenho uma massa ligada à mola, e se esticasse a mola até
um ponto "a", o que acontece? Então, começam com muito pouca velocidade, mas existe uma força restauradora que vai puxar a bola de volta para essa posição. Então, a força irá acelerar a massa, acelerar a massa e acelerar a massa até que ela chegue bem aqui. E ela vai ter bastante velocidade aqui, mas então
ela vai começar a desacelerar. Ela vai desacelerar, e sua velocidade
vai parar, e ela voltará para cima. E se desenharmos isso como uma função do tempo, é isso que vai acontecer. A mola começa a se mover muito devagar, acelera, nesse ponto em "x = 0" ela tem sua velocidade máxima. Assim, a taxa de mudança de velocidade, ou a taxa de mudança de posição, é mais rápida, e podemos ver a inclinação, é muito rápido aqui. Então, começamos a desacelerar novamente, até chegarmos de volta ao ponto de "a". E então, continuamos subindo e descendo, subindo e descendo, assim. E mostramos que na verdade, a equação para a posição da massa como função do tempo é "x(t)". E usamos um pouco de equações
diferenciais para provar isso. Mas essa equação, não que eu recomende
que você memorize alguma coisa, mas é uma equação bastante útil para gravar. Porque você pode usá-la para descobrir basicamente qualquer coisa sobre posição, ou sobre massa em qualquer tempo determinado, ou a frequência desse movimento oscilatório ou qualquer outra coisa. Mesmo a velocidade,
se souber um pouco de cálculo, você pode descobrir a velocidade do objeto a qualquer momento, e isso é muito bacana. Então, o que podemos fazer agora? Bem, vamos tentar descobrir
o período desse sistema oscilante. E só para você saber, eu sei que coloquei a legenda movimento harmônico em todos esses. Bem, este é um movimento harmônico simples. Movimento harmônico simples é algo que pode ser descrito por uma função trigonométrica como essa. E ele só oscila para frente
e para trás, para frente e para trás. Portanto, o que estamos fazendo
é o movimento harmônico. Agora, vamos descobrir qual é o período. Lembre-se que dissemos que depois de "t" segundos, ele volta à sua posição original. Então, após outro "t" segundos,
ela volta à sua posição original. Vamos descobrir o que este "t" é.
Esse é basicamente seu período, certo? E qual o período de uma função? É quanto tempo leva para voltar ao seu ponto de partida, ou quanto tempo leva para o ciclo completo acontecer uma vez. Então, o que é esse "t"?
Deixe me fazer uma pergunta. Quais são todos os pontos, se esta é uma função cosseno, certo? Quais são todos os pontos nos quais cosseno é igual a 1? Ou esta
função seria igual a "a", certo? Porque sempre que o cosseno é igual a 1,
toda a função é igual a "a". E são esses pontos. Bem, cosseno igual a 1, quando? Vamos dizer quando que o "cos θ = 1" . Então, em quais ângulos isso é verdadeiro? Bem, é verdadeiro em "θ = 0", certo?
O cosseno de zero é 1. O cosseno de "2π" também é 1, certo? Poderíamos continuar indo
ao redor desse círculo unitário. Bom, você pode assistir o vídeo sobre círculo unitário, se isso não estiver fazendo sentido para você, ou vídeos sobre funções trigonométricas de gráfico. Voltando, isso também é
verdadeiro em "4π". Realmente, para qualquer múltiplo de "2π", isso é verdadeiro, certo? O cosseno desse ângulo é igual a 1. Essa função "x(t) = a" em quais pontos? Se "x(t) = a", sempre que essa
expressão dentro dos cossenos, sempre que essa expressão for igual a zero. Sempre que essa expressão for igual a zero, 2π, 4π, etc. Esta é a primeira vez que
ela circula, certo? De zero a "2π", de zero a "t", isso estará em "2π", correto? Portanto, essa expressão inteira será igual a "a", quando "k", estamos falando desses pontos aqui, certo? É quando essa função é igual a "a". Acontecerá novamente aqui em algum lugar. Quando essa pequena expressão interna for igual a "2π", ou realmente qualquer múltiplo de "2π", então, poderíamos dizer que "x(t) = a" quando
"√k sobre m vezes t" = 2π". Outra maneira de pensar sobre isso, é multiplicando ambos os lados dessa equação pelo inverso da "√k sobre m". E aí, você tem "t = 2π vezes √". E será o inverso disso, certo? De "m sobre k". E aí, temos o período dessa função. Isso vai ser igual a "2π vezes √m sobre k". Então, se alguém lhe diz:
Bem, eu tenho uma mola que eu vou puxar, vou esticá-la ou comprimi-la um pouco, em seguida soltá-la. Qual é o período, quanto tempo leva para a mola voltar para sua posição original? Ela continuará fazendo isso,
já que não temos atrito, nem gravidade, nem resistência
do ar ou alguma coisa assim. A resistência do ar, é na verdade,
apenas uma forma de atrito. Você poderia imediatamente, se você memorizar essa fórmula, embora você deva saber de onde ela vem, isso é importantíssimo, mas você
poderia imediatamente dizer: "bem, eu sei de quanto tempo período é.
É "2π vezes m sobre k"". Esse é o tempo que vai levar para completar um ciclo. Então o que dizer sobre a frequência? Se você quisesse saber ciclos por segundo, bem, isso é apenas o inverso do período, certo?
Então, se eu quisesse saber a frequência, isso é igual a 1 sobre o período, certo?
O período é dado em segundos por ciclo. Então, a frequência é ciclos por segundo. Isto é segundos por ciclo. Então, a frequência vai ser
simplesmente 1 sobre isso, que é "1 sobre 2π vezes √k sobre m". Essa é a frequência. Eu sempre tive problemas para memorizar isso. De qualquer maneira, tudo que você realmente tem que gravar, é isto aqui. E você pode até mesmo ter alguma intuição a respeito das razões pelas quais isso é verdadeiro, porque se você tiver isso aqui, você realmente pode responder a qualquer pergunta sobre a posição da
massa, a qualquer momento. A velocidade da massa, a qualquer
momento, apenas tirando a derivada. Ou o período, ou a frequência da função, contanto que você saiba tirar o período, e a frequência das funções trigonométricas. Você pode assistir os meus vídeos de
trigonometria para relembrar isso. Uma coisa muito interessante nesse assunto, é notar que a frequência e o período, este é o período da função, que é o tempo que leva para realizar um ciclo.
Isto é quanto ciclos ela realiza um segundo. Ambos, a frequência e o período,
são independentes de "a". Por isso não importa, eu poderia
esticá-lo só um pouquinho como ali, e vai demorar a mesma quantidade
de tempo para voltar. E voltar desse jeito, como voltaria se eu esticá-la bastante, ela simplesmente faria isso. Se eu explicasse só um pouco, a função ficaria assim. Deixa eu me certificar que estou fazendo direito. Eu não estou fazendo
isso direito. Editar, desfazer. Se eu fizer isso só um pouco, a amplitude será menor, mas a função essencialmente, fará a mesma coisa, ela simplesmente fará isso. Portanto, vai levar a mesma quantidade de tempo para completar o ciclo, só vai ter uma amplitude menor. Então, isso é interessante para mim, que não importa o tempo que a estique, isso não vai fazê-la demorar mais ou menos tempo para completar um ciclo. Isso é interessante. E assim, se eu apenas lhe dissesse isso, eu na verdade, começo a ter objetos comprimidos, certo? Assim, nesse caso, vamos
dizer que o meu "a = -3". Se eu tenho uma constante de mola de,
vamos dizer "k = 10". E eu tenho uma massa de 2 quilogramas, então eu poderia imediatamente dizer qual é a equação da posição, como uma função de tempo em qualquer ponto. Vai ser "x(t)", está igual a ... estou ficando sem espaço. Então, "x(t)" seria igual a,
isto é apenas substituição básica. -" 3 cos10 dividido por 2", certo? "k sobre m = 5".
Portanto, "√5t". Eu sei que está difícil de ler,
mas você entendeu o ponto. Eu só substitui isso. Mas o importante a saber é o seguinte: essa é eu acho, a coisa mais importante. Depois, se for dado uma função trigonométrica, e você tiver problemas para lembrar como descobrir o período, ou a frequência, embora eu sempre penso quando essa expressão é igual a 1. Então, você pode descobrir quando ela é
igual a 1, ou quando é igual a zero, você pode descobrir o seu período. Se não a tiver, você pode memorizar essa fórmula para período, e essa fórmula para frequência. Mas eu acho que pode ser um desperdício de seu espaço cerebral. Enfim, eu vejo vocês no próximo vídeo.