Introdução ao movimento harmônico

RKA7MP Vamos usar os nossos conhecimentos sobre molas para estudar como uma massa ligada à extremidade de uma mola se move em função do tempo. Vamos estudar um pouco sobre o movimento harmônico e vamos também entrar no mundo das equações diferenciais, mas não se preocupe quando chegarmos lá. Eu preparei um desenho, este eixo "x" indica a posição da massa movendo-se quando ligada à mola. Neste eixo, o zero é a posição da massa quando a mola está no seu estado natural, ou seja, sem comprimi-la nem distendê-la. Estando a mola no seu estado natural, a massa estaria no ponto zero, eu a puxei até que a massa chegasse ao ponto "A". Portanto, eu estendi, eu estiquei a mola de uma distância "A". Quando eu estico a mola em uma distância "A", ou seja, eu deformo a mola esticando-a "A" unidades, a força que a mola exerce sobre o bloco de massa "m", a força de restituição da mola, é menos (-) uma certa constante ligada às características da mola, multiplicando "x", que é quanto eu deformei a mola. Portanto, quando eu solto a massa que está na posição "A", a força vai puxá-la no sentido da direita para a esquerda. Quando a massa atingir a posição ponto zero, ela terá a maior velocidade possível, ou seja, no ponto zero o bloco vai ter a máxima energia cinética, enquanto quando eu estava segurando o bloco com a mola esticada, ele tinha o máximo de energia potencial e não tinha nenhuma energia cinética enquanto eu não o soltei. Ao soltar a massa, então, ou liberar a mola, a massa vai se movendo da direita para a esquerda, ao chegar no ponto zero, que é onde a mola teria o seu ponto de equilíbrio por causa da quantidade de movimento da massa, ela vai continuar empurrando a mola, comprimindo a mola até que o bloco chegue na posição -A. Neste momento, toda a energia cinética que o bloco tinha no ponto zero transformou-se em energia potencial elástica quando ele está aqui no -A. Em seguida, o processo recomeça, ou seja, a mola vai empurrar a massa novamente, transformando a energia potencial em cinética quando o bloco passa pelo ponto zero, seria o ponto de equilíbrio da mola, a quantidade de movimento do bloco faz com que ele continue em movimento até atingir o ponto "A" novamente, é onde toda a energia cinética transformou-se em energia potencial elástica, e assim sucessivamente. Estamos considerando que não temos atrito. O objetivo agora é estudar como é que a posição "x" da massa varia em função do tempo. Vamos analisar graficamente, para isso, já preparei aqui. Neste eixo temos "t", veja, estamos falando de "x" em função do tempo, ou seja, tempo é a variável independente e o "x" é a variável dependente, portanto, "x" na vertical . Note que olhando para o eixo do "x", aqui é o zero no sentido positivo. Aqui temos "A", que é o ponto de maior distância que a massa atinge quando eu puxo inicialmente, e aqui temos o -A que é quando ela atinge este ponto aqui. Quando o tempo é zero, onde o bloco está? Ele estava inicialmente em "A". Eu vou marcar este ponto aqui, quando o tempo é zero, o bloco estava no ponto "A". Vamos, agora, definir o período que indicamos novamente pela letra "T" maiúscula, o período indica o tempo que o bloco leva para completar um ciclo. Vamos voltar e entender. Eu, inicialmente, estava segurando o bloco nesta posição, eu o soltei, ele começou por causa do fato da mola puxá-lo para a esquerda, foi para a esquerda até atingir -A e depois voltou a ir à direita até atingir novamente "A". "T" maiúsculo é o tempo que ele leva para ir e voltar. No gráfico, quanto o tempo era zero ele estava em "A" e quando o tempo é o período, "T" maiúsculo, ele vai estar novamente em "A". Observe, também, que o tempo que ele leva para chegar em -A é "T" maiúsculo sobre 2, é metade do "T" maiúsculo. Vou marcar aqui, "T" sobre 2, ele está em -A. O mesmo tempo que ele leva para chegar a -A, é o tempo que ele leva para chegar a "A". Do mesmo modo, na metade do "T" sobre 2, é quando o bloco passa pelo zero. Veja, de "A" até -A ele leva "T" sobre 2. Então, de até zero ele leva metade do "T" sobre 2, que é "T" sobre 4. Aqui, em "T" sobre 4, ele estará em zero, e aqui também, na metade, entre "T" sobre 2 e "T", que é o 3T sobre 4, ele também vai estar no zero. Olhando para estes pontos, podemos pensar no gráfico da função. Será que o gráfico seria uma linha reta para baixo e, depois, uma outra linha reta para cima? Não parece razoável porque isto significaria que a velocidade do bloco seria constante para este trajeto e, depois, constante para este outro trajeto, e parece que isso acontece? Definitivamente, não. A velocidade do bloco, ao ser largado, vai aumentando até o zero, depois, vai diminuindo até o -A quando ele para, depois, vai aumentando em termos de módulo até o zero e, depois, vai diminuindo até parar em "A" de novo. Desta forma, a velocidade não é constante, ela varia, vai variando. E de maneira que, em linha reta, um zigue-zague não faria sentido. Apenas completando, mantendo este padrão, nós temos um ponto aqui, um ponto aqui e assim por diante. Quando o bloco está em "A", ele está com velocidade zero e começa a acelerar, a taxa de variação de "x" em relação ao tempo vai aumentando, quando ele chega aqui, ele tem a máxima velocidade e começa a desacelerar até chegar aqui. Neste momento, ele está em -A, a velocidade dele é zero, ou seja, a variação de "x" em relação ao tempo é zero, e ele começa a acelerar novamente, a velocidade começa a ficar cada vez maior, até chegar aqui, onde ele está novamente em zero, então, ele volta a desacelerar, e vai desacelerando até chegar novamente em "A". Quando o bloco chega a "A", a mola está totalmente esticada nas condições e vai começar a puxar o bloco de novo, então, ele vai começar a ganhar novamente energia cinética, ou seja, ele vai acelerar novamente, até chegar no zero, que é onde a mola atinge o equilíbrio, e ele começa a desacelerar e continua indo até o -A, mas ele começa a desacelerar até que, quando ele chega em -A, a velocidade novamente é zero. E, assim, o ciclo se repete. Do nosso repertório de funções, esta curva lembra qual função? É uma função trigonométrica. E se eu tivesse que escolher uma função, eu escolheria o cosseno. Por quê? Por causa deste início aqui. Para o cosseno, quando o ângulo é zero, temos o cosseno valendo o seu valor máximo, que é 1. Esta função, então, vai ter uma cara parecida com "A", "A" porque é o número que aparece aqui, e aqui -A, multiplicando o cosseno de algo que envolve "t", e este "t" está multiplicado por um certo valor que eu vou indicar por ômega (ω). E, na verdade, o que descreve este movimento é exatamente esta expressão, mas eu vou demonstrar, você não precisa simplesmente acreditar na minha palavra. Neste momento, eu vou usar alguns recursos do cálculo incluindo a ideia de equações diferenciais. Se você não quiser se confundir muito com isto, eu sugiro que você feche os olhos ou que vá até os vídeos de cálculo para estudar um pouco sobre as equações diferenciais e sobre o que é uma derivada. Vamos começar por aqui. Voltando ao fato de que a força elástica é "F" igual a -kx, vamos reescrevê-la agora, lembrando que a força da mola aplicada sobre o bloco é a massa do bloco vezes a aceleração. Isto é igual a -k vezes "x", e "x" é o que nós estamos estudando, "x" em função do tempo. Vamos estudar um pouquinho a aceleração em termos de cálculo, mas antes eu vou precisar lembrar o que é a velocidade em termos de cálculo. A posição que é, na verdade, o "x" variando em função do tempo, a velocidade é a derivada em relação ao tempo justamente do "x" dependendo do tempo. Também posso indicar por "x" linha de "t". A taxa de variação de "x", da posição em relação ao tempo, é o que chamamos de velocidade. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da derivada de "x" em relação ao tempo. Ou seja, a aceleração é a derivada segunda de "x" em relação ao tempo 2 vezes, também indicada por "x" 2 linhas de "t". Agora, o nosso tempo está acabando. No próximo vídeo, vamos retomar e continuar. Lembrem-se do que eu escrevi até aqui. Até lá!