No exemplo da 3ª fórmula cinemática, eu não entendi o porquê da gravidade estar negativa. Se para cima está sendo considerado positivo e o objetivo é saber o tempo de deslocamento de um ponto ACIMA de onde ele foi jogado, o objeto não estaria com a gravidade positiva, já que ele está subindo, e não descendo?

A aceleração da gravidade aponta na mesma direção da força peso que a gera, para baixo, para o centro do planeta... Vaja a análise vetorial da segunda lei de newton!

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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 1

Lição 4: Fórmulas cinemáticas e movimento de projétil

O que são as fórmulas cinemáticas?

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Aqui estão as principais equações que você pode usar para analisar situações com aceleração constante.

O que são as fórmulas cinemáticas?

As fórmulas cinemáticas são um conjunto de fórmulas que relacionam as cinco variáveis da cinemática listadas abaixo.

Δ x Deslocamento

t Intervalo de tempo

v_{0} Velocidade vetorial inicial

v Velocidade vetorial final

a Aceleração constante

t

nestas fórmulas representa o intervalo de tempo que o objeto levou para se deslocar

Δ x

. Seria conceitualmente mais claro escrever o intervalo de tempo como

Δ t

porém, as fórmulas cinemáticas já são tão complicadas que normalmente deixamos de fora o sinal

Δ

na frente do tempo

t

para melhor clareza.

Só precisamos garantir que sabemos que quando escrevemos

t

estamos representando o intervalo de tempo

Δ t

Se sabemos três destas cinco variáveis cinéticas—

Δ x, t, v_{0}, v, a

—para um objeto sob aceleração constante, nós podemos utilizar uma fórmula cinética, veja abaixo, para resolver uma das variáveis desconhecidas.

As fórmulas cinéticas são normalmente escritas como as quatro equações que seguem.

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Como as fórmulas cinemáticas só são precisas se a aceleração for constante durante o intervalo de tempo considerado, temos que ter o cuidado para não usá-las quando a aceleração varia. Além disso, as fórmulas cinemáticas consideram que todas as variáveis se referem à mesma direção: horizontal

x

, vertical

y

, etc.

Se você substitui numa fórmula cinemática uma velocidade vetorial horizontal inicial

v_{0 x}

, todas as outras variáveis que você substituir na fórmula—

Δ x, v_{x}, a_{x}

—também deverão ser na direção horizontal.

Se você substituir na fórmula cinemática uma velocidade vetorial vertical inicial

v_{0 y}

, todas as demais variáveis que você substituir na fórmula—

Δ y, v_{y}, a_{y}

—também deverão ser na direção vertical.

Em outras palavras, para ser realmente claro, as fórmulas cinemáticas para uma determinada direção — por exemplo,

x

— deveriam ser escritas com um subscrito para indicar aquela direção:

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

\frac{v_{x} + v_{0 x}}{2} = \frac{Δ x}{t}

No entanto, incluir todos estes subscritos pode começar a ficar confuso. Então, livros didáticos, cursos e professores muitas vezes deixam de fora os subscritos e apenas lembre-se que as fórmulas cinemáticas funcionarão para qualquer direção —mesmo diagonal— em que a aceleração é constante, contanto que você inclua apenas as variáveis nesse sentido em particular.

O que é um objeto voando livremente — ou seja, um projétil?

Pode parecer que o fato das fórmulas cinemáticas só funcionarem para intervalos de tempo onde a aceleração é constante, limite fortemente a aplicabilidade destas fórmulas. No entanto, uma das formas mais comuns de movimento, queda livre, é uma aceleração constante.

Todos os objetos que voam livremente—também chamados de projéteis—na terra, independente de sua massa, têm uma aceleração constante para baixo devido à gravidade com magnitude de

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} (Magnitude da aceleração da gravidade)

Um objeto em queda livre é definido como qualquer objeto que está acelerando somente devido à influência da gravidade. Normalmente, assumimos o efeito da resistência do ar como suficientemente pequeno para ser ignorado, o que significa que qualquer objeto que cai, é lançado, ou que voa livremente através do ar, é normalmente considerado um projétil em queda livre com uma aceleração constante descendente de magnitude

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Isso é ao mesmo tempo estranho e bom, se pensarmos bem. É estranho porque significa que uma pedra grande irá acelerar para baixo com a mesma aceleração que um pedregulho e, se largados da mesma altura, atingirão o solo ao mesmo tempo.

E é bom porque não precisamos saber a massa dos objetos quando resolvemos as fórmulas cinemáticas, já que um objeto em queda livre terá a mesma aceleração,

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, independente de sua massa — desde que a resistência do ar seja desprezível.

Observe que

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

é a magnitude da aceleração da gravidade. Se a direção para cima for escolhida como positiva, devemos considerar a aceleração da gravidade como negativa

a_{y} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

para um projétil quando usarmos as fórmulas cinemáticas.

Atenção: esquecer de incluir um sinal negativo é uma das fontes mais comuns de erro no uso das fórmulas cinemáticas.

Como você seleciona e usa uma fórmula cinemática?

Escolhemos a fórmula cinemática que inclui a variável desconhecidas que procuramos e três das variáveis cinemáticas já conhecidas. Desta forma, podemos resolver para a incógnita que queremos encontrar, que será a única desconhecida na fórmula.

Por exemplo, digamos que sabemos que um livro no chão foi chutado para a frente com uma velocidade vetorial inicial de

v_{0} = 5 m/s

, depois do qual levou um intervalo de tempo

t = 3 s

para o livro escorregar

Δ x = 8 m

. Poderíamos usar a fórmula cinemática

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

para resolver algebricamente a aceleração desconhecido

a

do livro—supondo que a aceleração era constante—uma vez que sabemos todas as outras variáveis na fórmula, além de

a

—

Δ x, v_{0}, t

Dica para resolver o problema: Repare que em cada fórmula cinemática falta uma das cinco variáveis cinemáticas—

Δ x, t, v_{0}, v, a

1. v = v_{0} + a t (Esta fórmula não tem Δ x .)

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Esta fórmula não tem a .)

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (Esta fórmula não tem v .)

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (Esta fórmula não tem t .)

Para escolher a fórmula cinemática correta para seu problema, descubra qual variável que não é dada nem pedida. Por exemplo, no problema acima, a velocidade vetorial final do livro

v

, não foi nem dada, nem pedida. Então devemos escolher uma fórmula que não inclui

v

de jeito nenhum. Na fórmula cinemática

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

está faltando

v

, por isso é a escolha certa neste caso para resolver para a aceleração

a

Sim, há.

5. Δ x = v t - \frac{1}{2} a t^{2} (Esta fórmula não tem v_{0} .)

A quinta fórmula cinemática parece com a terceira fórmula cinemática

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

exceto com a velocidade vetorial inicial

v_{0}

sendo substituída com a velocidade vetorial final

v

e o sinal positivo, substituído por um sinal negativo. Pode ser obtida substituindo a primeira fórmula cinemática na terceira fórmula cinemática.

A quinta fórmula cinemática geralmente não é tão útil, já que a velocidade vetorial inicial normalmente é dada/conhecida em várias situações.

Como você deriva a primeira fórmula cinemática, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Essa fórmula cinemática é, provavelmente, a mais fácil de derivar, já que ela é realmente uma versão reorganizada da definição da aceleração. Podemos começar com a definição da aceleração,

a = \frac{Δ v}{Δ t}

Sim, se o intervalo de tempo

Δ t

for grande, a fórmula

a = \frac{Δ v}{Δ t}

é a aceleração média ao longo do intervalo de tempo.

Então, a derivação que passamos abaixo realmente pressupõe que a

a

na fórmula é a aceleração média

a_{m e d}

. No entanto, se a aceleração é constante, a aceleração instantânea

a_{i n s t}

será igual à aceleração média

a_{m e d}

, nesse caso não é necessário ser específico e podemos chamá-la

a

Assim, para a fórmula cinemática que vamos derivar ser precisa, a aceleração deve ser constante. Ou então a

a

na fórmula está se referindo à aceleração média e não à aceleração instantânea.

Agora podemos substituir

Δ v

com a definição de mudança de velocidade vetorial

v - v_{0}

a = \frac{v - v_{0}}{Δ t}

Por fim, se calcularmos

v

obtemos

v = v_{0} + a Δ t

E se estamos de acordo em usar apenas

t

para

Δ t

, isto se torna a primeira fórmula cinemática.

v = v_{0} + a t

Como você deriva a segunda fórmula cinemática, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Uma forma legal de visualmente derivar esta fórmula cinemática é analisando o gráfico de velocidade vetorial de um objeto com aceleração constante—em outras palavras, uma inclinação constante—e começar com velocidade vetorial inicial

v_{0}

, como pode ser visto no gráfico abaixo.

A área sob qualquer gráfico de velocidade vetorial dá o deslocamento $Δ x$ ‍. Então, a área sob o gráfico de velocidade vetorial será o deslocamento

Δ x

do objeto.

Δ x = área total

Podemos convenientemente dividir essa área em um retângulo azul e em um triângulo vermelho, como visto no gráfico acima.

A altura do retângulo azul é

v_{0}

e a largura é

t

, então a área do retângulo azul é

v_{0} t

.
A base do triângulo vermelho é

t

e a altura é

v - v_{0}

, então a área do triângulo vermelho é

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

A área total vai ser a soma das áreas do retângulo azul e do triângulo vermelho.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

Se distribuímos o fator de

\frac{1}{2} t

temos

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

Podemos simplificar, combinando os termos

v_{0}

para obter

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

E finalmente podemos reescrever o lado direito para obter a segunda fórmula cinemática.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Essa fórmula é interessante já que se dividir ambos os lados por

t

, obtém-se

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

. Isso mostra que a velocidade vetorial média

\frac{Δ x}{t}

é igual à média das velocidades vetoriais final e inicial

\frac{v + v_{0}}{2}

. Contudo, isso só é verdade quando consideramos que a aceleração é constante, porque derivamos essa fórmula de um gráfico de velocidade vetorial com inclinação/aceleração constante.

Como derivar a terceira fórmula cinemática, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Há algumas maneiras para derivar a equação

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

. Há uma derivação geométrica legal e uma derivação de substituir-e-calcular menos excitante. Primeiro vamos fazer a derivação geométrica legal.

Considere um objeto que inicia com uma velocidade vetorial

v_{0}

e mantém uma aceleração constante até uma velocidade vetorial final de

v

como vista no gráfico abaixo.

Como a área sob um gráfico de velocidade vetorial representa o deslocamento

Δ x

, cada termo do lado direito da fórmula

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

representa uma área do gráfico acima.

O termo

v_{0} t

representa a área do retângulo azul, já que

A_{r e t â n g u l o} = h w

O termo

\frac{1}{2} a t^{2}

representa a área do triângulo vermelho, já que

A_{t r i â n g u l o} = \frac{1}{2} b h

É isso. A fórmula

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

tem que ser verdadeira, uma vez que o deslocamento deve ser dado pela área total sob a curva. Assumimos que o gráfico de velocidade vetorial era uma linha diagonal para que pudéssemos usar a fórmula do triângulo, então essa fórmula cinemática— como todo o resto das fórmulas de cinemática—só é verdadeira sob a condição de que a aceleração seja constante.

Aqui é a derivação alternativa substituir-e-calcular. A terceira fórmula cinemática pode ser derivada substituindo a primeira fórmula cinemática,

v = v_{0} + a t

, na segunda fórmula cinemática,

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

Se começamos com a segunda fórmula cinemática

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

e usamos

v = v_{0} + a t

para substituir por

v

, temos

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

Podemos expandir o lado direito e obter

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

Combinando os termos

\frac{v_{0}}{2}

no lado direito temos

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

E finalmente, multiplicando os dois lados por

t

, temos a terceira fórmula cinemática.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Outra vez, usamos outras fórmulas cinemáticas que possuem uma exigência de aceleração constante, então esta terceira fórmula cinemática também só é verdadeira sob a condição de que a aceleração seja constante.

Como se obtêm a quarta formula cinemática, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Para obter a quarta fórmula cinemática, vamos começar com a segunda fórmula cinemática:

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Queremos eliminar o tempo

t

desta fórmula. Para fazer isso, vamos resolver a primeira fórmula, cinemática

v = v_{0} + a t

, para o tempo pata ter

t = \frac{v - v_{0}}{a}

. Se substituírmos esta expressão para tempo

t

na segunda fórmula cinemática teremos

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

Multiplicar as frações no lado direito dá

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

E agora, resolvendo para

v^{2}

chegamos na quarta fórmula cinemática.

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

O que é confuso nas fórmulas cinemáticas?

As pessoas muitas vezes esquecem que as fórmulas cinemáticas só são verdadeiras assumindo que a aceleração é constante durante o intervalo de tempo considerado.

Às vezes uma variável conhecida não será fornecida explicitamente em um problema, mas estará implícita em palavras-código. Por exemplo, "começa a partir do repouso" significa

v_{0} = 0

, "largada" significa frequentemente

v_{0} = 0

, e "para" significa

v = 0

. Além disso, a magnitude da aceleração da gravidade em todos os projéteis em queda livre será considerada

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, então esta aceleração geralmente não será dada explicitamente em um problema, mas será considerada implícita para um objeto em queda livre.

As pessoas esquecem que todas as variáveis cinemáticas—

Δ x, v_{o}, v, a

—exceto

t

podem ser negativas. A falta de sinal negativo é uma fonte de erro muito comum. Se para cima é considerado positivo, então a aceleração devido a gravidade de um objeto em queda livre deve ser negativa:

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

A terceira fórmula cinemática,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, pode exigir o uso da fórmula de Bhaskara, veja o exemplo 3 resolvido abaixo.

As pessoas esquecem que, mesmo que se possa escolher qualquer intervalo de tempo durante a aceleração constante, as variáveis cinemáticas que se substituem numa fórmula cinemática devem ser consistentes com esse intervalo de tempo. Em outras palavras, a velocidade vetorial inicial

v_{0}

tem que ser a velocidade vetorial do objeto na posição inicial e no início do intervalo de tempo

t

. Da mesma forma, a velocidade vetorial final

v

deve ser a velocidade vetorial na posição final e o tempo

t

deve ser o final do intervalo de tempo sendo analisado.

Como são exemplos de problemas resolvidos envolvendo as fórmulas cinemáticas?

Exemplo 1: primeira fórmula cinemática, $v = v_{0} + a t$ ‍

Um balão cheio d'água é derrubado do topo de um prédio muito alto.

Qual é a velocidade vetorial do balão d'água após cair por $t = 2, 35 s$ ‍?

Supondo que para cima é o sentido positivo, nossas variáveis conhecidas são

v_{0} = 0

(Como o balão de água foi solto, ele começou em repouso.)

t = 2, 35 s

(Este é o intervalo de tempo para o qual queremos obter a velocidade vetorial.)

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(Isto é implícito, uma vez que o balão de água é um objeto em queda livre).

Se você esperar tempo o suficiente, sim, mas não usamos isso em nossa fórmula por duas razões.

Primeiro, estamos considerando somente o intervalo de tempo de

2, 35 s

, o qual podemos presumir que é menor que o tempo necessário para chegar ao chão.

Segundo, só podemos aplicar as fórmulas cinemáticas para um intervalo de tempo de aceleração constante. Quando o balão d'água atinge o chão, a aceleração varia drasticamente por causa da colisão. Então, se vamos dizer que a aceleração em nossa fórmula cinemática é de

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

porque o objeto está em queda livre, então não podemos dizer que a velocidade vetorial final é zero, já que essa é uma parte do trajeto na qual o objeto estava colidindo com o chão (ou seja, não estava em queda livre) e estaríamos caindo em contradição.

Se soubéssemos a aceleração com o impacto, e se essa aceleração fosse constante, poderíamos aplicar as fórmulas cinemáticas durante o intervalo de tempo do impacto. Mas essa não é a questão considerada aqui, e na maioria dos problemas de queda livre consideramos apenas o tempo após o lançamento e o tempo antes do impacto.

O movimento nesta situação é vertical, então usaremos

y

como nossa posição variável ao invés de

x

. O símbolo que escolhemos não importa desde que sejamos consistentes, mas as pessoas normalmente usam

y

para indicar um movimento vertical.

Uma vez que não sabemos o deslocamento

Δ y

e não foi pedido o deslocamento

Δ y

, usaremos a primeira fórmula cinemática

v = v_{0} + a t

, que não tem

Δ y

v = v_{0} + a t (Use a primeira fórmula cinemática uma vez que ela não tem Δ y .)

v = 0 m/s + (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (2, 35 s) (Substitua os valores conhecidos.)

v = - 23, 1 m/s (Calcule and comemore!)

Nota: A velocidade vetorial final era negativa, uma vez que o balão de água estava descendo.

Sim, estamos livres para chamar de positiva a direção para baixo em qualquer problema, mas temos que ser coerentes com essa decisão. Se chamarmos positivos os movimentos para baixo, então cada vetor apontando para baixo deve ser considerado positivo.

Então a aceleração teria que ser

+ 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

, e acabaríamos ficando com uma velocidade vetorial final positiva em vez de uma velocidade vetorial final negativa.

Exemplo 2: segunda fórmula cinemática, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Um leopardo está correndo a 6,20 m/s e, depois de ver uma miragem no formato de um caminhão de sorvete, o leopardo acelera até 23,1 m/s num tempo de 3,3 s.

Qual o espaço que o leopardo correu indo de 6,2 m/s a 23,1 m/s?

Assumindo que a direção inicial da viagem é o sentido positivo, nossas variáveis conhecidas são

v_{0} = 6, 20 m/s

(Velocidade inicial do leopardo)

v = 23, 1 m/s

(Velocidade final do leopardo)

t = 3, 30 s

(O tempo que o leopardo levou para acelerar)

Uma vez que não sabemos a aceleração

a

e ela não foi perguntada, utilizaremos a segunda fórmula cinemática para a direção horizontal

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

, que não tem

a

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Use a segunda fórmula cinemática uma vez que ela não tem a .)

Δ x = (\frac{23, 1 m/s + 6, 20 m/s}{2}) (3, 30 s) (Substitua os valores conhecidos.)

Δ x = 48, 3 m (Calcule e comemore!)

Exemplo 3: terceira fórmula cinemática, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Uma estudante está farta de fazer a lição de casa sobre fórmulas cinemáticas, então lança seu lápis em linha reta para cima a 18,3 m/s.

Quanto tempo o lápis leva para alcançar, pela primeira vez, um ponto 12,2 m acima de onde ele foi jogado?

Supondo que para cima é o sentido positivo, nossas variáveis conhecidas são

v_{0} = 18, 3 m/s

(A velocidade vetorial inicial para cima do lápis)

Δ y = 12, 2 m

(Queremos saber o tempo que o lápis levou para se deslocar.)

a = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(O lápis é um projétil em queda livre.)

Como não sabemos a velocidade vetorial final

v

e não foi pedido para encontrar a velocidade vetorial final, vamos usar a terceira fórmula cinemática para o sentido vertical

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

, que não tem

v

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (Comece com a terceira fórmula cinemática).

Normalmente só resolveríamos a expressão algebricamente para a variável que queremos encontrar, mas esta fórmula cinemática não pode ser resolvida algebricamente por tempo se nenhum dos termos é zero. Isso porque, quando nenhum dos termos é zero e

t

é a variável desconhecida, esta equação se torna uma equação de segundo grau. Podemos ver isto substituindo valores conhecidos.

12, 2 m = (18, 3 m/s) t + \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} (Substitua os valores conhecidos.)

Para colocar isto numa forma mais resolúvel da equação de segundo grau, mudamos tudo para um lado da equação. Subtraindo 12,2 m de ambos os lados temos

0 = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} + (18, 3 m/s) t - 12, 2 m (Coloque na forma de equação de segundo grau.)

Neste ponto, conseguimos resolver a equação quadrática para

t

tempo. As soluções de uma equação de segundo grau na forma de

a t^{2} + b t + c = 0

são encontradas usando a fórmula quadrática

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

. Para nossa equação cinemática

a = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})

b = 18, 3 m/s

, and

c = - 12, 2 m

Então, substituindo na equação de segundo grau, temos

t = \frac{- 18, 3 m/s \pm \sqrt{(18, 3 m/s)^{2} - 4 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (- 12, 2 m)]}}{2 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})]}

Uma vez que há um sinal positivo ou negativo na fórmula de Bhaskara, temos duas respostas para o tempo

t

: uma quando usamos o

+

e uma quando usamos o

-

. Resolvendo a equação de segundo grau acima chegamos a dois valores para t:

t = 0, 869 s

t = 2, 86 s

Existem duas soluções positivas, uma vez que existem dois momentos quando o lápis estava na altura de 12,2 m. O menor tempo se refere ao tempo necessário para subir e chegar pela primeira vez na posição de 12,2 m de altura. O maior tempo se refere ao tempo necessário para subir, passar pela altura de 12,2 m, atingir a altura máxima e depois cair de volta ao ponto de 12,2 m de altura.

Então, para encontrar a resposta para nossa pergunta de "quanto tempo o lápis leva para alcançar, pela primeira vez, um ponto 12,2 m acima de onde ele foi jogado?" escolheríamos o menor tempo

t = 0, 869 s

Se a fórmula quadrática dá um tempo negativo e um positivo, então o objeto em questão somente atinge o deslocamento especificado uma vez depois de ser lançado. Nesse caso, podemos simplesmente escolher o momento positivo e ignorar o tempo negativo.

O tempo negativo se refere ao tempo antes do objeto ser lançado, quando ele teria estado num ponto especifico. Em outras palavras, assuma que o objeto estava na sua trajetória antes de ser jogado e alcançou o ponto de lançamento com a velocidade vetorial inicial especificada.

Exemplo 4: Quarta fórmula cinemática, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Um motociclista europeu começa com uma velocidade de 23,4 m/s e, vendo o tráfego à frente, decide diminuir a velocidade ao longo de uma extensão de 50,2 m com uma desaceleração constante de magnitude

3, 20 \frac{m}{s^{2}}

. Assuma que a motocicleta está se movendo para frente durante toda a viagem.

Qual é a nova velocidade vetorial do motociclista após diminuir ao longo dos 50,2 m?

Assumindo que a direção inicial da viagem é o sentido positivo, nossas variáveis conhecidas são

v_{0} = 23, 4 m/s

(A velocidade vetorial inicial para frente da motocicleta.)

a = - 3, 20 \frac{m}{s^{2}}

(Aceleração é negativa, uma vez que a motocicleta está desacelerando com base na adoção de um referencial positivo para frente.)

Δ x = 50, 2 m

(Queremos saber a velocidade vetorial da motocicleta depois desse deslocamento.)

Já que não sabemos o tempo

t

e que não nos foi pedido encontrá-lo, usaremos a quarta fórmula cinemática para a direção horizontal

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

, onde não se tem

t

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (Começe com a quarta fórmula cinemática.)

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (Resolva algebricamente para a velocidade vetorial final.)

Observe que, tomando a raiz quadrada, podemos obter duas respostas possíveis: uma positiva e outra negativa. Já que nosso motociclista ainda irá na direção do movimento inicial, e que a direção é positiva, escolheremos a resposta positiva

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

Agora, podemos substituir os valores para obter

v_{x} = \sqrt{(23, 4 m/s)^{2} + 2 (- 3, 20 \frac{m}{s^{2}}) (50, 2 m)} (Substitua os valores conhecidos.)

v_{x} = 15, 0 m/s (Calcule e comemore!)

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Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “ótimo conteúdo,muito expl...” de Fabricio Gegenheimer
ótimo conteúdo,muito explicativo e claro.
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(6 votos)
Resposta
Patricia Machado
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “No exemplo da 3ª fórmula...” de Patricia Machado
No exemplo da 3ª fórmula cinemática, eu não entendi o porquê da gravidade estar negativa. Se para cima está sendo considerado positivo e o objetivo é saber o tempo de deslocamento de um ponto ACIMA de onde ele foi jogado, o objeto não estaria com a gravidade positiva, já que ele está subindo, e não descendo?
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- Luiz Portella
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “A aceleração da gravidade...” de Luiz Portella
  A aceleração da gravidade aponta na mesma direção da força peso que a gera, para baixo, para o centro do planeta... Vaja a análise vetorial da segunda lei de newton!
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Bruno Faria
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Não tinha entendido a pri...” de Bruno Faria
Não tinha entendido a primeira vez que olhei para o exemplo 3, pois trocam de posição o primeiro e o segundo termo.
Isso acontece porque o primeiro termo da fórmula da equação do segundo grau é justamente o termo x², e na fórmula cinemática o termo quadrático ficou como o segundo (após subtrair a distância dos dois lados).

São esses mínimos detalhes que as vezes a gente se esquece e erra tudo :)
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Resposta
Arthur Rodrigues
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Eu não ainda não aprendi ...” de Arthur Rodrigues
Eu não ainda não aprendi a fazer equação de segundo grau, por isso o 3° exemplo me pareceu mais complexo, porém eu consegui chegar ao mesmo resultado com o seguinte raciocínio:
Se temos V0, A e Δx. E queremos chegar a t, podemos com as três variáveis que temos podemos usar a quarta formula ( que não tem o t) para chegar ao valor de V.

4° formula: V²= V0²+2A.Δx
V²= 18,3²+ (-19,2).12,2
V²= 334,89+ (-239,364)
V²= 95,536
V= 9,77... (radiação do V²)

Agora com essas quatro variáveis (V,V0,A e Δx) fui capaz de reorganizar a formula de aceleração para me dar o t:

A=ΔV/t
t=ΔV/A
t=(9,77-18,3)/-9,81
t= -8,53/-9,81
t= 0,86...

Que é o resultado da terceira formula.
Agora gostaria de saber se essa linha de raciocínio se aplica a todas as questões parecidas?
Obrigado por ler até aqui, bons estudos.
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wellington gonçalves
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Como deriva ser a primei...” de wellington gonçalves
Como deriva ser a primeira fórmula cinemática, v=v_0+atv=v0 +atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t ?
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- Yuri Ganda
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Acho que o Wellington est...” de Yuri Ganda
  Acho que o Wellington está tentando derivar a equação do segundo grau.
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