Derivação do deslocamento em função do tempo, aceleração e velocidade vetorial inicial

RKA11E- Bom, o que eu quero fazer com esse vídeo é pensar sobre o que acontece com algum tipo de projétil, talvez uma bola ou uma pedra, se eu jogasse direto para o ar... Para fazer isso, eu quero traçar uma distância em relação ao tempo. Existem algumas coisas que eu vou lhe dizer sobre jogar a pedra para o ar. A pedra terá uma velocidade inicial "Vᵢ" de 19,6 metros por segundo. E eu escolhi essa velocidade inicial, porque ela vai tornar a matemática um pouco mais fácil. Também conhecemos a aceleração perto da superfície da terra. Sabemos que a força da gravidade perto da superfície da terra, é a massa do objeto vezes aceleração. Deixe-me anotar isso. A força da gravidade vai ser a massa do objeto vezes "g" minúsculo. G minúsculo é a gravidade perto da superfície da terra, "g" é de 9,8 m/s² , certo? Agora, se você quiser a aceleração na terra, você apenas deve pegar à força dividida pela massa, porque temos a equação geral, força é igual à massa vezes aceleração, "F=ma". Se você quiser aceleração, divida ambos os lados pela massa, de modo que possa obter força sobre massa. Então, vamos apenas dividir isso pela massa. Se você dividir ambos os lados pela massa, no lado esquerdo você obterá a aceleração, e no lado direito, você obterá a grandeza "g" minúsculo. A razão pela qual fiz isso, é que quando olhamos para o "g", ele realmente vem da lei da gravitação universal. Você pode realmente ver o "g", como que medindo a força do campo gravitacional próximo da superfície da terra. Então, isso nos ajuda a descobrir a força, quando você multiplica a massa vezes "g". Então você usa, "F=ma" segunda lei, para chegar a "g" novamente, que na verdade é a aceleração. Isso está acelerando você em direção ao centro da terra. Bom, outra coisa que eu quero deixar bem claro, quando você fala sobre a força da gravidade, geralmente a força da gravidade é igual a "G" maiúsculo. "G" maiúsculo que é diferente do "g" minúsculo, vezes o produto das massas das duas coisas, sobre quadrado da distância entre as duas coisas. Você pode estar pensando: "Espere, claramente a força da gravidade depende da distância, se eu jogasse algo para o ar, a distância não mudaria?" E você estaria certo em pensar assim, isso tecnicamente está correto. Mas a realidade é que quando você joga alguma coisa para o ar, essa variação na distância, tão pequena em relação entre o objeto e o centro da terra, que para tornar a matemática simples, quando estamos na superfície ou perto da superfície da terra, incluímos isso na nossa atmosfera, podemos assumir que ela é constante. Lembre-se que esse "g" minúsculo ali, é todos esses termos combinados. Se assumirmos que a massa 1, "m₁", é a massa da terra, e que "r" é o raio da terra, a distância ao centro da terra, então você estaria correto em pensar que ela muda um pouco, a força da gravidade mudou um pouco. Mas para efeito de jogar as coisas em nossa atmosfera, podemos assumir tranquilamente que ela é constante. Se fôssemos calculá-la, ela é de 9,8 m/s². E eu arredondei aqui para o décimo mais próximo. Eu quero ser claro que essas são grandezas vetoriais. Quando começamos a atirar coisas para o ar, a convenção é: se algo está se movendo para cima, é lhe dado um valor positivo, e se está se movendo para baixo, vamos dar-lhe um valor negativo. Bem, para um objeto que está em queda livre, a gravidade estaria acelerando-o para baixo ou a força da gravidade seria para baixo. Assim "g" minúsculo aqui, se você quiser dar a ele a sua direção, é negativa. "g" minúsculo é -9,8 m/s². Então, temos a aceleração devido à gravidade, a aceleração devido à gravidade é "ag". É negativa a 9,8 m/s². Para fazer isso, eu quero traçar a distância em relação ao tempo. Vamos pensar sobre como podemos criar uma fórmula, criar uma fórmula na qual se inserirmos o tempo como uma variável, podemos obter a distância. Podemos assumir esses valores bem aqui. Bem, na verdade eu quero traçar o deslocamento sobre o tempo porque isso vai ser mais interessante. Sabemos que o deslocamento é a mesma coisa que velocidade média vezes a variação do tempo. Deslocamento = vm vezes (t₂ - t₁). Agora, temos algo em termos de tempo, distância e velocidade média, mas não em termos de velocidade inicial e aceleração. Sabemos que a velocidade média é a mesma coisa que a velocidade inicial "vᵢ" mais a velocidade final "vf" sobre 2. Isso, se assumirmos a aceleração constante. Só podemos calcular "vm" desta fórmula, assumindo a aceleração constante. Mais uma vez, estamos lidando com objetos não muito longe do centro da terra e podemos fazer essa suposição. Assumindo que temos uma aceleração constante, mais uma vez, não temos o que nossa velocidade final é. Então, precisamos pensar sobre isso um pouco mais. Podemos expressar a nossa velocidade final em termos da nossa velocidade inicial e tempo. Lidando apenas com essa parte, a velocidade média. Assim poderemos reescrever essa expressão, como velocidade inicial mais algo sobre 2. E qual é a velocidade final? Bem, a velocidade final será a sua velocidade inicial mais a sua aceleração vezes a variação no tempo. Se você está começando com 10 m/s, e está acelerando a 1 m/s²... Deixe-me ter certeza de que essas coisas são todas as grandezas vetoriais. Todas essas são grandezas vetoriais. Bom, espero que a essa altura, você já tenha incorporado que todas essas são grandezas vetoriais, questões de direção. Vamos ver como podemos simplificar isso. Bem, esses dois termos... Lembre-se que estamos lidando apenas com velocidade média aqui. esses dois termos, se você combiná-los, tornam-se duas vezes a velocidade inicial. "2vᵢ". Duas vezes a minha velocidade inicial. E em seguida dividido por esse 2, mais todo esse negócio dividido por esses 2, que é a minha aceleração vezes a minha variação de tempo dividido por 2, tudo isso foi outra maneira de escrever a velocidade média. O motivo pelo qual fiz isso, é porque não temos a velocidade final, mas temos aceleração. E vamos usar a variação no tempo como nossa variável independente. Ainda temos que multiplicar isso por essa variação de tempo verde aqui. Multiplicar tudo isso vezes a variação de tempo verde. Tudo isso é o nosso valor de deslocamento. Esse é o deslocamento. Podemos multiplicar a variação de tempo vezes tudo isso, realmente esses dois segundos cancelam, e temos, continuando aqui, temos deslocamento é igual a velocidade inicial vezes variação de tempo. Algumas aulas de Física ou livros, colocam o tempo ali, mas é realmente a variação de tempo. Variação de tempo é um pouco mais preciso. Mais ½, que é o mesmo que dividir por 2, mais ½ vezes aceleração. Vezes a aceleração. Vezes, temos um Δt, vezes Δt. Variação de tempo vezes variação de tempo. O triângulo é delta, e isso só significa variação de. Assim, variação de tempo vezes a variação de tempo, é apenas uma variação de tempo ao quadrado. Em algumas aulas você verá escrito isso como: d = s = s0 + v0t vezes at² sobre 2. E isso é exatamente a mesma coisa. Eles estão apenas usando "s = s0" para deslocamento, e "t" no lugar de Δt. A única coisa que eu quero que você perceba com esse vídeo, é que isso é uma coisa muito simples de obter. Talvez, em uma situação em que você esteja sob pressão, com pouco tempo, você pode querer isso tudo num estalo. Mas o importante, é que você se lembre de como fazer isso quando você tiver 30, 40 ou 50 anos, ou quando você for um engenheiro, e estiver tentando mandar o foguete para o espaço, e não tiver um livro de Física por perto para pesquisar. É que isso vem do simples fato que deslocamento é igual a velocidade média vezes a variação do tempo, e assumimos a aceleração constante. E você pode simplesmente obter o restante disso. Bom, vou parar por aqui nesse vídeo. Deixe-me apagar essa parte aqui. Vamos deixar isso bem aqui, no próximo vídeo, vamos usar essa fórmula que acabamos de obter. Nós vamos usar isso para traçar o deslocamento versus tempo porque isso é interessante. Vamos pensar sobre o que acontece com a velocidade e aceleração enquanto nos movemos mais e mais no tempo.