Velocidade vetorial de impacto a partir de uma dada altura

RKA12C Neste vídeo, quero responder a uma velha pergunta ou, no mínimo, uma pergunta interessante para mim. Digamos que eu tenha uma camada de rochas, um penhasco aqui ou algum tipo de prédio. E digamos que ele tenha uma altura "h", e que eu esteja no topo. Digamos que, se eu quisesse pular... bom, isso não é o mais recomendado, mas... Se eu empurrar algo, como uma pedra, com qual velocidade essa pedra atingiria o chão? Assim como em todos os outros vídeos sobre o movimento de projétil, vamos ignorar a resistência do ar neste exemplo. Para alturas pequenas e baixas velocidades razoáveis, ou se o objeto for muito aerodinâmico e denso, então a resistência do ar não vai interferir muito. Se eu pular de barriga de uma altitude, então, a resistência do ar terá grande interferência. Mas, para simplificar, não levaremos em conta os efeitos da resistência do ar então. Também podemos supor que este exemplo esteja ocorrendo em um planeta parecido com a Terra, onde não haja atmosfera. Tanto faz! Vamos pensar no problema. Alguém pode dizer: "Mas isto é irreal!". Mas esta pergunta seria real para uma altura pequena. Se uma pessoa pulasse do telhado de um prédio de apenas um andar, a resistência do ar não seria um componente importante na determinação de sua velocidade. Se fosse um prédio muito grande, aí isso seria importante! É claro que eu não recomendo que você faça isso! São coisas muito perigosas. Melhor seria trabalhar com uma pedra. Enfim, este é o exemplo que estamos considerando. Vamos pensar um pouco sobre isso. No topo de onde a pedra é jogada, temos uma velocidade inicial igual a zero. Mais uma vez, usamos a convenção de que o vetor positivo quer dizer para cima, e vetor negativo, para baixo. Teremos uma velocidade inicial igual a zero. Na parte inferior, teremos a velocidade final que será um número negativo. Sabemos que a aceleração da gravidade sobre um objeto em queda livre próximo à superfície da Terra, supondo que seja constante, será de -9,8 m/s². Portanto, daremos um valor à altura "h" e, sabendo que a velocidade inicial é zero e a aceleração é -9,8 m/s², queremos descobrir qual será a nossa velocidade final antes que a pedra atinja o chão. Aqui, ela terá alguma velocidade. É o que vamos descobrir. Vamos supor que esta altura "h" esteja em metros. Assim, teremos uma resposta em metros por segundo para a velocidade final. O objetivo aqui é mostrar que podemos deduzir essas perguntas mais interessantes a partir de algumas ideias básicas que conhecemos. Assim, sabemos que o deslocamento "S" é igual à velocidade média vezes a variação do tempo, o Δt. Sabemos que a velocidade média, se considerarmos que a aceleração seja constante e é o que estamos fazendo, é a velocidade final mais a velocidade inicial divididas por 2. E a nossa variação no tempo, o nosso tempo, é a mesma coisa que a variação da velocidade (Δv) dividida pela aceleração "a". E, para ter certeza de que vocês entenderam isso bem: a variação da velocidade (Δv) é igual à aceleração vezes a variação do tempo (Δt). Aí, se dividirmos os dois lados da equação pela aceleração, teremos isto aqui. Então, isto que é o deslocamento. Lembre-se de que quer uma expressão para deslocamento com base naquilo que já sabemos e naquilo que queremos descobrir. Para este exemplo, já sabemos algumas coisas. Vamos falar de cada uma delas. Sabemos que nossa velocidade inicial é zero, portanto isto é o que sobra para o exemplo em que estamos trabalhando. Então, a velocidade média será igual a apenas a velocidade final sobre 2, uma vez que a velocidade inicial é zero. A variação da velocidade é o mesmo que a velocidade final menos a velocidade inicial. Mais uma vez, sabemos que a velocidade inicial é zero, portanto a variação da velocidade é o mesmo que a velocidade final. Então, vezes a velocidade final sobre a aceleração. A velocidade final é o mesmo que a variação da velocidade, porque a velocidade inicial é zero. Tudo isto será o nosso deslocamento. Agora, parece que temos uma expressão com informações que conhecemos. Multiplicamos os dois lados dessa equação por duas vezes a aceleração. Duas vezes "a" deste lado, e, deste lado, eu vou ter duas também. Ficamos assim: à esquerda, temos duas vezes a aceleração vezes o deslocamento. Isso será igual a: à direita, eliminamos o 2 do denominador com o 2 do numerador e, da mesma forma, a aceleração. Assim, teremos como resultado a velocidade final ao quadrado ("Vғ vezes Vғ"). Podemos resolver a velocidade final aqui. Sabemos que a aceleração é -9,8 m/s². Então, deixe-me escrever isto aqui. Temos duas vezes -9,8. Vai dar 19,6 m/s². E qual vai ser o deslocamento agora? Qual é o deslocamento da pedra ao cair desta rocha ou telhado? Você pode ser tentado a dizer que o deslocamento é "h", mas lembre-se de que estamos trabalhando com grandezas vetoriais para termos certeza da direção certa. O que acontece desde o ponto de partida da pedra até onde ela termina? Ela irá percorrer uma distância "h", mas será uma distância de "h" para baixo, e, por convenção, para baixo é negativo. Portanto, neste exemplo, o deslocamento desde o ponto de partida até o solo será igual a "-h". A pedra percorrerá uma distância "h", mas para baixo. Por isso, esta noção de um vetor é muito importante. Nosso deslocamento será "-h" metros, sendo "h" a variável, e "m" a medida em metros. Se multiplicarmos estes dois, eliminaremos os negativos e ficaremos com "19,6 h" metros ao quadrado por segundo ao quadrado, que fica igual à nossa velocidade final ao quadrado. Perceba que, quando se eleva a alguma potência, perde-se a informação do sinal. Se a velocidade final for positiva e a elevarmos ao quadrado, teremos um valor positivo. Se for negativa e a elevarmos ao quadrado, teremos também um valor positivo. Mas lembre-se de que, neste exemplo, a direção da pedra é para baixo, portanto queremos a versão negativa disto. Para realmente descobrir a velocidade final, calculamos a raiz quadrada dos dois lados da equação e depois pegamos o valor negativo disso. Calculando a raiz quadrada de cada lado, teremos raiz, aqui... Velocidade final é igual à raiz quadrada de "19,6 h". Podemos calcular, inclusive, a raiz de "m²/s²". Assim, teremos "m/s" fora do radical. É preciso tomar cuidado, porque a raiz quadrada principal é positiva, mas sabemos que, por convenção, a velocidade está em sentido descendente. Então, temos que nos certificar de que se trata de uma raiz quadrada negativa. Agora, vamos tentar com alguns números. Basicamente, resolvemos o que definimos que resolveríamos no início deste vídeo: com que velocidade a pedra cairia em função da altura. Mas vamos tentar algumas hipóteses! Digamos que a altura seja 5 metros, o que provavelmente seria como saltar ou atirar uma pedra de um prédio comercial de um andar. Cinco metros equivalem. Nesta situação, com uma altura de 5 metros, se atirarmos uma pedra de um edifício comercial de um andar, teremos uma velocidade de 9,9 m/s quando ela atingir o solo. Como treino, vou deixar para que você descubra a velocidade em quilômetros por hora ou milhas por hora. Você descobrirá que a velocidade é muito grande, ou seja, você não vai querer pular de um prédio como este. Isto pode ser feito com qualquer altura desde que estejamos próximos à superfície da Terra e ignorarmos os efeitos da resistência do ar. Em alturas muito grandes, especialmente se o objeto não for tão aerodinâmico, a resistência do ar, aí, vai começar a ser importante!