Altura de um projétil em um dado tempo

RKA2G Digamos que você e eu estamos jogando um jogo onde tentamos descobrir o quão alto uma bola é arremessada no ar, ou o quão rápido nós estamos arremessando essa bola no ar. Um de nós segura a bola e um de nós segura um cronômetro. Isso se parece mais com um gato do que um cronômetro, mas acho que vocês entenderam a ideia. E o que fazemos é: um de nós arremessa a bola e o outro cronometra quanto tempo a bola vai permanecer no ar. Então, nós usamos aquele tempo todo no ar para descobrir com que velocidade a bola foi arremessada diretamente para cima e por quanto tempo ela permaneceu no ar. Ah, desculpe: e que altura ela alcançou. Essa é uma suposição que faremos em todos os problemas de movimento de projéteis, em que a resistência do ar é desprezível. Se isso fosse uma bola de beisebol ou algo parecido, é uma aproximação muito boa. Não vamos obter a resposta exata e eu os incentivo a realizarem os experimentos por si mesmos, ou para verificarem como a resistência do ar se relaciona aos seus cálculos. Nós vamos fazer uma suposição para esse movimento do projétil e para todos os futuros. Nós vamos supor que a resistência do ar, então, é desprezível. O que isso representa para nós é que nós podemos considerar que o tempo para cima é o mesmo tempo que ela leva para descer. Se vocês verificarem o vídeo anterior, onde representamos o deslocamento em relação ao tempo, vocês veem que, após dois segundos, a bola passa da posição no solo (ou das mãos do arremessador), percorrendo todo o caminho até a sua altura máxima. Nos próximos dois segundos, ela levou a mesma quantidade de tempo para retornar ao solo. Qualquer que seja a velocidade inicial, leva metade do tempo para chegar a zero, portanto, agora leva a mesma quantidade de tempo para acelerar na direção descendente, de volta àquela mesma magnitude de velocidade, mas agora na direção descendente. Então, vamos brincar um pouco com alguns números aqui. Digamos que eu arremesse uma bola no ar e vocês calculam com um cronômetro que a bola permanece no ar durante cinco segundos. Como podemos descobrir com que velocidade nós arremessamos a bola? A primeira coisa a fazer é dizer: veja, se o tempo total no ar foi 5 segundos, isso significa que o tempo, ou a variação de tempo, para subir será de 2,5 segundos. O que nos mostra que, durante esses 2,5 segundos, nós partimos da nossa velocidade inicial, qualquer que tenha sido, para a nossa velocidade final, que é uma velocidade de 0 m/s. Nos 2,5 segundos (e este não é o gráfico para este exemplo, é o gráfico do exemplo anterior, onde nós conhecíamos a velocidade inicial) mas, qualquer que seja o tempo, vocês vão partir da sua velocidade inicial até ficarem parados no alto, exatamente quando a bola está parada e ela começa a adquirir um aumento de velocidade na direção descendente. Leva 2,5 segundos para ir de determinada velocidade inicial para 0 m/s. Então, nós, de fato, sabemos qual é a aceleração da gravidade. Sabemos que a aceleração da gravidade aqui (estamos supondo que é constante, embora seja levemente inconstante, mas vamos supor que é constante porque estamos trabalhando com algo próximo à superfície da Terra) são 9,8 m/s² negativos. Então, vamos pensar sobre isso. Nossa variação de velocidade é a velocidade final menos a velocidade inicial, que vai ser igual a zero menos a velocidade inicial, que é o negativo da velocidade inicial. Qual é o outro modo de pensar sobre a variação da velocidade? Bem, apenas pela definição de aceleração, a variação da velocidade é igual à aceleração (9,8 m/s² negativos) vezes o tempo, ou vezes a variação de tempo. Nossa variação de tempo, estamos apenas falando sobre a primeira metade do tempo que a bola permanece no ar. Portanto, a variação de tempo nesse caso é de 2,5 segundos. Então, qual é a nossa variação de velocidade, que também terá o mesmo valor negativo da nossa velocidade inicial? Deixe-me pegar a calculadora e colocar isso na tela. Então, são 9,8 negativos vezes 2,5. Isso resulta em 24,5 negativos. Vou escrever aqui com uma nova cor. Então, ficamos com 24,5 m/s negativos. Esse segundo anula com os segundos do denominador, então temos apenas um dos denominadores agora. São metros por segundo. Isso é o mesmo que a velocidade inicial negativa, é o mesmo que a nossa variação da velocidade. Vocês multiplicam ambos os lados por 1 negativo e nós obtemos a nossa velocidade inicial. Então, desse jeito tão fácil, nós conseguimos descobrir qual era a nossa velocidade inicial. Literalmente, vocês pegam o tempo total no ar, peguem isso e dividam por 2, e então multipliquem isso pela aceleração da gravidade. E eu acredito que vocês poderiam pegar o valor absoluto disso ou usar a versão positiva disso. E assim, isso resulta na sua velocidade inicial. Portanto a sua velocidade inicial aqui é, literalmente, 24,5 m/s. É uma quantidade positiva, é ascendente nesse exemplo. Essa é a minha velocidade inicial. Nós já descobrimos parte desse jogo: a velocidade inicial quando eu arremesso a bola para cima. Nós também teremos o mesmo módulo de velocidade quando a bola está prestes a atingir o solo, apesar de estar em outra direção. Então, qual é a distância? Ou, deixe-me esclarecer, qual é o deslocamento da bola desde o seu ponto mais inferior, assim que sai da sua mão, até o ápice? Nós só temos que nos lembrar (mais uma vez, tudo isso vem de ideias bem simples): a variação da velocidade é igual à aceleração vezes a variação de tempo. Outra ideia simples é que o deslocamento é igual à velocidade média multiplicada pela variação de tempo. A velocidade média é igual à velocidade inicial, mais a velocidade final, dividido por 2, se considerarmos que a aceleração é constante. É, literalmente, apenas a média aritmética das nossas velocidades iniciais e finais. Vai ser: 24,5 m/s, mais... Qual é a velocidade final? Nós estamos apenas tratando dos primeiros 2,5 segundos, portanto, a nossa velocidade final é, mais uma vez, 0 m/s. Nós estamos falando apenas quando atingimos este ponto bem aqui. Então, a velocidade final é 0 m/s. Nós só vamos dividir isso por 2 e isso resultará na velocidade média. Então, nós queremos multiplicá-la por 2,5 segundos. Então, obtemos essa parte aqui... 24,5 dividido por 2, podemos ignorar o zero e isso ainda é 24,5, o que resulta em 12,25 vezes 2,5. Lembre-se que isso está em segundos. Eu vou escrever essas unidades. Apenas para recordar, estamos calculando o deslocamento naqueles primeiros 2,5 segundos. Eu vou pegar a calculadora mais uma vez. Então, nós temos 12,25 vezes 2,5, o que dá 30,625. O nosso deslocamento é 30,625 metros. Os segundos se anulam. Isso é, na verdade, uma tonelada. Isso resulta em um arremesso a uma altura aproximada de 28 metros. Isso seria como um prédio de nove andares e eu, francamente, não tenho braço para isso. Se alguém for capaz de arremessar a bola durante cinco segundos no ar, ela terá sido lançada a 30 metros de distância para o alto. Espero que vocês tenham achado isso divertido. No próximo vídeo, vou generalizar isso. Talvez nós possamos usar um pouco de fórmula para que vocês possam generalizar essa questão. Vocês podem obter o deslocamento no ar independentemente da medição de tempo, ou melhor ainda: tentem calcular isso sozinhos e, no próximo vídeo, vocês verão, pelo menos, como eu resolvo isso.