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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 1
Lição 5: Vídeos antigos sobre movimento de projéteisMovimento de um projétil (parte 4)
Solução para o tempo quando é dada a variação na distância, aceleração e velocidade vetorial inicial. Versão original criada por Sal Khan.
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A resposta está correta, mas o desenvolvimento da questão está equivocada, pois a função quadrática deverá ser -5t²+30t+500=0, descrevendo uma parábola com a cavidade para baixo, demonstrando claramente um lançamento de projétil, em uma função positiva, e que você obteria o ponto máximo.
O valor de ax² positivo, indica uma parábola com a cavidade voltada para cima, demonstrando um trajeto como um mergulho, em que seu vértice determinaria o ponto de mínimo, então não faz sentido em um lançamento de projétil eu ter um ponto de mínimo ao invés de ter o ponto de máximo, o que para encontrar os vértices daria errado, mesmo as duas funções com os mesmos zeros reais, pois uma é o inverso da outra.
Outro problema com os vértices é você dividir toda a equação quadrática por 5 como foi feito, continuaremos com os mesmos zeros reais, mas os vértices estarão afastados um do outro por 5 como o produto por escalar.(4 votos)
olá! como o objetivo era apenas obter as raízes da equação, não tem problema fazer transformações na função quadrática. Apesar que isso deturpe o modelo, ele não precisa ser igual ao original para o cálculo, e sim somente as raízes. Tanto as transformações inversão e divisão não as alteram, por isso foi utilizado esse método no vídeo :)(1 voto)
Quando é dada a distância, aceleração e velocidade inicial?(1 voto)
Pode parecer redundante, mas essas informações geralmente são dadas no ponto de partida fornecido no problema. Porém se essas informações não forem entregues "de bandeja" você deve utilizar fórmulas e noções relacionados ao assunto em questão.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA12 Se vocês lembram dos últimos vídeos desta série que
nós estamos fazendo sobre lançamento de projéteis, vocês devem lembrar que existia um exercício em que
eu tinha um abismo, uma montanha ou um precipício e eu jogava... eu acho que era um
exercício em que eu acabei me jogando, mas vamos supor que eu jogasse uma moeda. Então, a gente tinha a distância que, no caso,
era a altura desse precipício, que era 500 metros, a nossa velocidade inicial era de 30 m/s que eu lançava para baixo... que
eu lançava, desculpa, para cima... porque tanto eu fiz um exercício em
que a gente lançava direto para baixo, que, na verdade, começava
no repouso e começava a cair, tanto quanto eu fiz um exercício em que a gente
jogava com velocidade inicial e, depois, então, a moeda começava a cair. E este é o exercício aqui:
com uma velocidade inicial. E a gente tinha também que a
nossa aceleração era igual a -10 m/s². -10, neste caso, porque estou adotando como
referência o meu eixo "y" como positivo (para cima). Então, positivo é para cima;
negativo, para baixo. E "x" positivo, para a direita;
e negativo, para a esquerda, assim como o plano cartesiano (como
o sistema de coordenadas cartesianas)... (opa, acabei apagando o meu plano de fundo)... então, assim como o sistema
de coordenadas cartesianas... (então, deixe-me apagar isso,
vamos apagar isso)... ok. Então, tirando toda esta sujeira aqui do
quadro só um pouquinho. Vamos começar do zero. Então, o que a gente tem?
Quais dados a gente tem? Nós temos que a nossa variação na
distância ou o nosso deslocamento, que eu vou chamar aqui de...
(meu Deus! O que eu acabei de fazer?!)... que eu vou chamar aqui de Δx (delta "x").
Então, deixe-me só pegar a ferramenta certa. Então, o que eu tinha aqui como Δx vai ser
a altura do precipício, que era 500 metros. Mas não se esqueçam
de um detalhe importante: como a altura nós estamos medindo de cima,
que é o ponto zero, e embaixo é o ponto -500, isto daqui tem um sinal negativo. Então, isto daqui, na verdade, vai ser -500 metros.
Nosso Δx, nossa variação na posição, é de -500 metros. Nós também temos a
velocidade inicial, que é de 30 m/s, ou seja, a velocidade inicial é
para cima (porque é positiva). E nós também temos a aceleração,
que é igual a "g", que é igual a -10 m/s², ou seja,
é uma aceleração para baixo. Então, quando a gente resolveu
este exercício pela primeira vez, eu lembro que a gente
usou esta fórmula daqui que é: a nossa velocidade final ao quadrado é igual
à velocidade inicial ao quadrado mais "2aΔx”. E esta fórmula aqui, que é a chamada fórmula de
Torricelli, é aquela fórmula que eu usei na aula passada para derivar uma outra fórmula,
que vai ser ainda mais importante, que é a fórmula do Δx é
igual a "Vi" vezes o tempo mais "at²" sobre 2.
Ou 1/2 de "at²", tanto faz. Eu só estou passando este 1/2 aqui para frente. E, neste exercício, nós vamos calcular
tudo... nós vamos calcular o tempo... nós vamos calcular o tempo
necessário para esta nossa moeda cair, levando em conta esta fórmula aqui. Nós vamos usar uma fórmula
diferente para resolver isto. E vocês vão ver como a gente vai
chegar em um resultado bem fácil. Então, começando, nós vamos começar a
trocar nossos valores. O nosso Δx é -500. Então, -500. E isto daqui vai ser igual
à minha velocidade inicial, que é de 30 m/s,
vezes o tempo. Eu não vou escrever aqui as unidades
como eu fazia nos outros vídeos para não ocupar muito espaço (porque vai ter bastante número aqui, isto vai
ficar uma conta um pouco extensa se eu digitar se eu escrever todas as unidades). Então, agora, mais a aceleração, que é -10, só que dividido por 2 (então,
a aceleração dividida por 2). Vai ficar -5 (então, deixe-me apagar
este "mais" que eu escrevi aqui: "mais"). Agora, então, aqui fica -5 vezes "t²". Ok. Então, agora, vocês já devem ter percebido
que isto vai virar uma equação do segundo grau, e, para descobrir, nós vamos ter que calcular Δ,
e, depois, achar as duas raízes reais. Então, vamos começar passando
estes dois termos para o lado esquerdo (ou, no caso, nós vamos somar o
inverso destes termos nos dois lados). Então, passando isto daqui para lá, vai
ficar... deixe-me botar o "5t²" na frente... então, vai ficar "5t²" menos 30t... não esqueçam que inverte o sinal... e o -500 continua com o mesmo sinal. E isto daqui tem que ser igual a zero
porque é uma equação do segundo grau. E nós temos que achar as raízes. Então, agora, a gente pode dividir tudo por 5, e nós vamos ficar com "t²" menos "6t" menos 100.... (espere aí que eu acho que
eu mudei sem querer o tamanho do pincel)... menos 100... e isto daqui tem que ser igual a zero. Ok. Então, agora, vamos calcular o nosso Δ. Se vocês não lembram como resolve
uma equação do segundo grau, tem vídeo sobre isto aqui na Khan Academy.
Então, vocês podem voltar nos vídeos e olhar. Mas, caso vocês lembrem, então vamos lá. Nosso Δ é calculado como sendo "b² - 4ac", em que "b" é este coeficiente, "a" é este coeficiente (que aqui,
no caso, não aparece, mas é 1) e "c" é este número inteiro aqui (não é um coeficiente
porque não está multiplicando outra letra, no caso). Então, vamos começar.
Então, o nosso Δ vai ser igual a "b²" vai ser "(-36)²"... desculpa, "(-6)²", que vai dar 36 (eu já
dei a resposta sem querer)... então, 36. Agora, menos 4 vezes o "a",
que aqui é 1 (então, 4 vezes 1), vezes o "c", que é -100.
Então, 4 vezes -100. E este nosso Δ vai dar 36 mais... porque aqui tem um
"menos" multiplicando com "menos"... mais 400. Isto daqui dá 436. Ok. E, agora, para achar as raízes (nós já
temos o nosso Δ), a gente faz "x" igual a menos o valor de "b" ("-b") mais ou
menos a raiz quadrada deste valor de Δ. Então, no último vídeo,
a gente já tem este resultado. Na verdade, não tinha chegado neste
resultado exatamente, mas eu vou dar para nós um número aproximado para a gente
não trabalhar com número quebrado. Então, isto aqui vai ser aproximadamente 21. Se vocês quiserem usar ainda mais aproximado
o valor, o número mais próximo do real, isto vai dar 20,9. Mas eu vou trabalhar com 21 para a gente não ter muitos números quebrados
aqui, para a conta não ficar muito extensa. Então, isto daqui vai ser mais ou menos 21, dividido por 2 vezes o "a",
que é 2 vezes 1, que é o próprio 2. Ok. Então, o nosso "x" vai ser igual a "-b"...
então, aqui eu tenho -6, então fica +6. Então, isto daqui vai ser igual a +6
mais ou menos 21 dividido por 2. E, agora, a gente chegou em uma coisa bem bonita. Eu quero perguntar para vocês o
que vocês acham que acontece quando eu tirar 21 deste 6 e dividir por 2. Eu vou ficar com um tempo negativo? Lembrando que, aqui, este nosso "x"... (eu deveria ter escrito de outra maneira)... lembrando que este nosso "x", na verdade, é "t".
Nós estamos procurando o valor do tempo. Então, "x" é igual a "t". O valor que a
gente achar aqui é igual ao valor do tempo. Então, existe tempo negativo? Que é o que aconteceria se a
gente subtraísse 21, neste caso. Bom, eu não quero entrar
em muita filosofia aqui, mas, na verdade, não faz sentido
eu utilizar um tempo negativo. E vocês vão entender isto mais para frente. Mas, por enquanto, nós vamos tomar como resposta
válida uma resposta em que o tempo é positivo, ou seja, minha resposta
final vai ser "t" igual a +6 mais 21 dá 27,
dividido por 2. Isto dá 13,5... isto dá aproximadamente...
(deixe-me escrever aproximadamente aqui)... isto dá aproximadamente 13,5 segundos. E eu espero ter ajudado, espero
que vocês tenham entendido, e vamos continuar mais um vídeo ainda
nesta nossa saga de movimento de projéteis. Até o próximo!