Modelo de Bohr do hidrogênio

Como o moledo do hidrogênio do Bohr explica espectros de emissão atômicos.

Principais pontos

  • O Modelo de Bohr de Hidrogênio se baseia no pressuposto não-clássico de que os elétrons viajam em cascas específicas, ou órbitas, em torno do núcleo.
  • O Modelo de Bohr resultou nas seguintes energias para um elétron numa órbita nn:
E(n)=1n213,6eVE(n)=-\dfrac{1}{n^2} \cdot 13{,}6\,\text{eV}
  • Bohr explicou o espectro do hidrogênio em termos de elétrons absorvendo e emitindo fótons para pular entre os níveis de energia, onde a energia do fóton é
hν=ΔE=(1nbaixa21nelevada2)13,6eVh\nu =\Delta E = \left(\dfrac{1}{{n_{baixa}}^2}-\dfrac{1}{{n_{elevada}}^2}\right) \cdot 13{,}6\,\text{eV}
  • O modelo de Bohr não funciona para sistemas com mais de um elétron.

O modelo planetário do átomo

No início do século XX, surgiu um novo campo de estudo conhecido como mecânica quântica. Um dos fundadores deste campo foi o físico dinamarquês Niels Bohr, que estava interessado em explicar o espectro de linhas discretas observado quando a luz era emitida por diferentes elementos. Bohr também estava interessado na estrutura do átomo, que era um tema de muito debate naquele momento. Vários modelos do átomo tinham sido postulados com base em resultados experimentais, incluindo a descoberta do elétron por J. J. Thomson e a descoberta do núcleo por Ernest Rutherford. Bohr apoiava o modelo planetário, no qual os elétrons giravam em torno de um núcleo de carga positiva como os anéis de Saturno—ou, alternativamente, os planetas em torno do sol.
No entanto, os cientistas ainda tinham muitas perguntas sem resposta:
  • Onde ficam os elétrons, e o que eles fazem?
  • Se os elétrons estão orbitando ao redor do núcleo, por que não caem nele, conforme previsto pela física clássica?
  • Como a estrutura interna do átomo se relaciona com as linhas discretas de emissão produzidas por elementos excitados?
Bohr tratou destas questões usando um pressuposto aparentemente simples: e se alguns aspectos da estrutura atômica, como as órbitas e energias dos elétrons, pudesse apenas assumir determinados valores?

Quantização e fótons

No início dos anos 1900, os cientistas estavam cientes de que alguns fenômenos ocorriam de uma forma discretizada, ao contrário de uma forma contínua. Os físicos Max Planck e Albert Einstein tinham recentemente teorizado que a radiação eletromagnética não só se comporta como uma onda, mas também, em alguns momentos, como partículas, chamadas fótons. Planck estudou a radiação eletromagnética emitida por objetos aquecidos e propôs que a radiação eletromagnética emitida era "quantizada", visto que a energia da luz só poderia ter valores de acordo com a seguinte equação: Eftonoˊ=nhνE_{\text{fóton}}=nh\nu, onde nn é um inteiro positivo, hh é a constante de—6,626×1034Js6,626 \times10^{-34}\,\text {J}\cdot \text s—e ν\nu é a frequência da luz, que tem unidades de 1s\dfrac{1}{\text s}.
Como conseqüência, a radiação eletromagnética emitida deve possuir energias que são múltiplos de hνh\nu. Einstein usou os resultados de Planck para explicar porque uma frequência mínima de luz era necessária para ejetar elétrons de uma superfície de metal, no efeito fotoelétrico.
Quando algo é quantizado, isso significa que apenas valores específicos são permitidos, tais como quando tocamos um piano. Uma vez que cada tecla do piano é afinada para uma nota específica, apenas um determinado conjunto de notas—que correspondem às frequências de ondas sonoras— pode ser produzido. Desde que seu piano esteja ajustado corretamente, você pode tocar um Fa ou Fa sustenido, mas você não pode tocar a nota que está a meio caminho entre um Fa e um Fa sustenido.

Espectros contínuos atômicos

O espectro de linhas atômicas são outro exemplo de quantização. Quando um elemento ou íon é aquecido por uma chama ou excitado pela corrente elétrica, os átomos excitados emitem luz de uma cor característica. A luz emitida pode ser refratada por um prisma, produzindo espectros com uma aparência listrada distintiva, devido a emissão de certos comprimentos de onda da luz.
No caso relativamente simples do átomo de hidrogênio, os comprimentos de onda de algumas linhas de emissão podem até corresponder a equações matemáticas. Entretanto, as equações não explicam porque o átomo de hidrogênio emitiu esses comprimentos de onda específicos. Anteriormente ao modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, os cientistas não sabiam com certeza qual a razão por trás da quantização de espectros de emissão atômicos.

Modelo de Bohr do átomo de hidrogênio: quantização da estrutura eletrônica

O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio começou a partir do modelo planetário, mas acrescentou uma suposição sobre os elétrons. E se a estrutura eletrônica do átomo fosse quantizada? Bohr sugeriu que talvez os elétrons só pudessem orbitar o núcleo em órbitas específicas ou conchas com um raio fixado. Apenas conchas com um raio dado pela equação abaixo seriam permitidas e o elétron não poderia permanecer entre essas órbitas. Matematicamente, podemos escrever os valores permitidos do raio atômico como r(n)=n2r(1)r(n)=n^2\cdot r(1), onde nn é um inteiro positivo e r(1)r(1) é o raio de Bohr, o menor raio permitido para o hidrogênio.
Ele descobriu que o r(1)r(1) tem o valor de
Raio de Bohr=r(1)=0,529×1010m\text{Raio de Bohr}=r(1)=0{,}529 \times 10^{-10} \,\text{m}
Ao manter o elétron em órbitas circulares e quantizadas em torno do núcleo carregado positivamente, Bohr foi capaz de calcular a energia de um elétron no nnésimo nível do hidrogênio: E(n)=1n213,6eVE(n)=-\dfrac{1}{n^2} \cdot 13,6\,\text{eV}, onde o menor nível de energia possível ou estado de energia fundamental de um elétron de hidrogênio—E(1)E(1)—é 13,6eV-13,6\,\text{eV}.
Observe que a energia sempre vai ser um número negativo e o estado fundamental, n=1n = 1, tem o valor mais negativo. Isto ocorre pois a energia de um elétron em órbita é relativa à energia de um elétron que foi completamente separado de seu núcleo, n=n = \infty, que é definido como tendo uma energia de 0eV0\,\text{eV}. Uma vez que um elétron em órbita ao redor do núcleo é mais estável do que um elétron que está infinitamente longe de seu núcleo, a energia de um elétron em órbita é sempre negativa.

Absorção e emissão

Bohr poderia até agora, precisamente, descrever os processos de absorção e de emissão em termos de estrutura eletrônica. De acordo com o modelo de Bohr, um elétron pode absorver energia na forma de fótons para ser excitado até um nível mais elevado de energia, desde que a energia do fóton seja igual à diferença de energia entre os níveis de energia inicial e final. Depois de saltar para o nível de energia mais alto — também chamado de o estado excitado—o elétron excitado estaria numa posição menos estável, então, ele poderia rapidamente emitir um fóton para retornar até um nível de energia mais baixo e mais estável.
Os níveis de energia e as transições entre eles podem ser ilustrados usando um diagrama de nível de energia, como no exemplo acima mostrando elétrons retornando ao nível n=2n=2 do hidrogênio. A energia do fóton emitido é igual à diferença de energia entre os dois níveis de energia para uma transição em particular. A diferença de energia entre os níveis de energia naltan_{alta} e nbaixan_{baixa} pode ser calculada usando a equação para E(n)E(n) da seção anterior:
ΔE=E(nelevada)E(nbaixa)=(1nelevada213,6eV)(1nbaixa213,6eV)=(1nbaixa21nelevada2)13,6eV\begin{aligned} \Delta E &= E(n_{elevada})-E(n_{baixa}) \\ \\ &=\left( -\dfrac{1}{{n_{elevada}}^2} \cdot 13{,}6\,\text{eV} \right)-\left(-\dfrac{1}{{n_{baixa}}^2} \cdot 13{,}6\,\text{eV}\right) \\ \\ &= \left(\dfrac{1}{{n_{baixa}}^2}-\dfrac{1}{{n_{elevada}}^2}\right) \cdot 13{,}6\,\text{eV} \end{aligned}
Visto que nós já sabemos a relação entre a energia de um fóton e a sua frequência, graças à equação de Planck, nós podemos descobrir o valor da frequência do fóton emitido:
hν=ΔE=(1nlow21nhigh2)13,6eV            Considerando que a energia do fton  igual a diferença de energiaoˊeˊν=(1nlow21nhigh2)13,6eVh                      Descobrindo o valor da frequnciaeˆ\begin{aligned} h\nu &=\Delta E = \left(\dfrac{1}{{n_{low}}^2}-\dfrac{1}{{n_{high}}^2}\right) \cdot 13{,}6\,\text{eV} ~~~~~~~~~~~~\text{Considerando que a energia do fóton é igual a diferença de energia}\\ \\ \nu &= \left(\dfrac{1}{{n_{low}}^2}-\dfrac{1}{{n_{high}}^2}\right) \cdot \dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{h}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Descobrindo o valor da frequência}\end{aligned}
Nós podemos também encontrar a equação do comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida usando a relação entre a velocidade da luz c\text c, a frequência ν\nu e o comprimento de onda λ\lambda:
c=λν                                                                  Rearrange e resolva para ν.cλ=ν=(1nbaixo21nalto2)13,6eVh            Divida ambo os lados por c e resolva para 1λ.1λ=(1nbaixo21nalto2)13,6eVhc\begin{aligned}\text c &=\lambda \nu ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Rearrange e resolva para }\nu . \\ \dfrac{\text c}{\lambda}&=\nu=\left(\dfrac{1}{{n_{baixo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot \dfrac{13,6\,\text{eV}}{h}~~~~~~~~~~~~\text{Divida ambo os lados por c e resolva para }\dfrac{1}{\lambda}.\\ \\ \dfrac{1}{\lambda} &=\left(\dfrac{1}{{n_{baixo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot \dfrac{13,6\,\text{eV}}{h\text c} \end{aligned}
Assim, podemos ver que a frequência—e o comprimento de onda—do fóton emitido varia de acordo com as energias das órbitas inicial e final do elétron no hidrogênio.

O que aprendemos desde que Bohr propôs seu modelo de hidrogênio?

O modelo de Bohr funcionou maravilhosamente para explicar o átomo de hidrogênio e outros sistemas de elétron-unitário como o He+\text{He}^+. Infelizmente, não foi tão bem quando aplicado nos espectros de átomos mais complexos. Além disso, o modelo de Bohr não tem como explicar porque algumas linhas são mais intensas do que as outras ou porque algumas linhas espectrais se dividem em várias linhas na presença de um campo magnético—o efeito Zeeman.
Nas décadas seguintes, o trabalho de cientistas como Erwin Schrödinger mostrou que o comportamento dos elétrons pode ser considerado parecido com o de ondas e com o de partículas. Isto significa que não é possível saber a posição de um determinado elétron no espaço e sua velocidade ao mesmo tempo, conceito que é colocado mais precisamente no princípio de incerteza de Heisenberg. O princípio de incerteza contradiz a ideia de Bohr de que os elétrons existam em órbitas específicas, com velocidade e raio conhecidos. Na verdade, podemos apenas calcular probabilidades de encontrar os elétrons em uma determinada região do espaço ao redor do núcleo.
O modelo de mecânica quântica moderna pode soar como um enorme salto do modelo de Bohr, mas a ideia-chave é a mesma: a física clássica não é suficiente para explicar todos os fenômenos em nível atômico. Bohr foi o primeiro a reconhecer isso, incorporando a ideia de quantização na estrutura eletrônica do átomo de hidrogênio e ele foi capaz de explicar, assim, os espectros de emissão do hidrogênio, bem como outros sistemas de elétron-unitário.
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