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Níveis de energia do modelo de Bohr (derivação usando física)

Transcrição de vídeo

e nós temos aqui novamente o nosso modelo do átomo de bohr para o átomo de hidrogênio e nós iremos aqui determinar os diferentes níveis de energia para cada um dos raios possíveis e que já determinamos nos últimos vídeos ea primeira coisa que nós vamos fazer aqui é determinar a energia cinética de seleto ea energia cinética do elétron vai ser igual à metade da massa do elétron vezes a velocidade do elétron elevada ao quadrado só relembrando aqui no modelo do átomo de bora a gente tem um núcleo que é formado por um próton e esse elétron aqui com carga negativa orbitando ao redor desse núcleo que tem carga positiva supondo que esse elétron esteja orbitando aqui no sentido anti-horário nós temos aqui uma velocidade tangencial certo nessa velocidade que a gente representa com a letra v e claro que esse elétron também possui uma massa e esses elétrons se encontra uma certa distância r desse núcleo e nós já vimos nos últimos vídeos como determinar esse raio a gente não pode esquecer também que esse elétron está sendo atraído por esse núcleo com uma força elétrica e essa força elétrica é uma força centrípeta em graças a isso que esse elétron está se mantendo nessa órbita circular agora pra gente determinar a magnitude dessa força elétrica a gente utiliza que além de coulomb e que a força elétrica é igual a ca vezes que um vez que dois sobre é o quadrado que um nesse caso seria a carga do próton e que dois seria carga elétrica do elétron a gente pode por exemplo re escrever isso aqui e falar que a força elétrica entre o elétron e o próton ser igual essa constante eletrostática vezes a carga do próton é que a carga elementar que nesse caso é positiva ea carga do elétron que possui a mesma intensidade só que é negativo isso é dividido pela distância entre eles elevada ao quadrado no entanto pela 2ª lei de newton a gente tem que essa força elétrica é igual à massa do elétron vezes a aceleração e como se trata de uma força centrípeta essa aceleração vai ser uma aceleração sempre mas como já falei aqui no último vídeo nós estamos interessados em saber apenas a magnitude dessa força elétrica então a gente pode determinar que o módulo dessa força elétrica assim isso é que poderia ser reinscrito da seguinte forma constante eletrostática é vezes é nesse caso qual é o módulo gente vai ter apenas a carga elétrica elementar elevada ao quadrado dividido pela distância entre eles ao quadrado e isso sendo igual à massa do elétron vezes a aceleração centrípeta como vimos nos últimos vídeos também essa aceleração centrípeta é igual a velocidade do elétron ao quadrado / esse raio aqui que a distância do elétron ao pronto ainda pode anular esse quadrado aqui com esse r e assim a gente teria algo dessa forma conca vezes é o quadrado sobre r isso aqui é igual a emi vezes vê ao quadrado se você reparar bem agora a gente tem algo muito parecido com a energia cinética em que a energia cinética é a metade da massa - a velocidade ao quadrado e aqui a gente já tem um produto entre essa massa ea velocidade ao quadrado então pra gente conseguir fazer isso aqui se transformar nessa expressão bastaria apenas x 1 sobre dois em ambos os lados dessa equação ea gente pode fazer isso e que multiplicar por um sobre dois aqui e um sobre dois aqui agora sim a gente já tem algo aqui que se assemelha é as energia cinética ou seja metade da massa vezes a velocidade ao quadrado então podemos dizer então que isso aqui vai ser igual a energia cinética desses elétrons inclusive a gente pode até escrever isso aqui a energia cinética do elétron vai ser igual a 1 sobre 2 vezes cá vezes é o quadrado sobre r é que caia constante eletrostática é a carga elétrica elementar e r a distância em o elétron e o núcleo do átomo agora que a gente já determinou essa energia cinética do elétron nós podemos determinar também a energia potencial do elétron e como que a gente pode fazer isso a energia potencial elétrica que nesse caso vai ser do elétron mais igual até colocar a energia potencial elétrica é igual a ca vezes que um que a carga do próton vezes que dois que a carga do elétron dividido pela distância entre o próton e um elétron não é elevada ao quadrado que não confunda com a lei de cunho militar é apenas o r aqui então essa energia potencial do elétron a gente consegue determinar ela da seguinte forma constante eletrostática vezes a carga do próton que é vezes a carga elétrica do elétron que a menos - a carga elétrica elementar / r e agora a gente não pode desconsiderar esse sinal de celetro aqui porque isso é um resultado da consideração que a gente faz sobre a energia potencial dizendo que a energia potencial lan no infinito é igual a zero então por isso a gente não pode desconsiderar a esse sinal dessa forma a gente teria que essa energia potencial do elétron ser igual a menos car vezes e o quadrado / r agora que a gente já tem tanto a energia cinética que do elétron quanto a energia potencial desses elétrons a gente pode determinar a energia total desse elétron pra gente determinar agora essa energia total do elétron basta a gente somar a energia cinética do elétron com a energia potencial do elétron e nesse caso a gente pode vim aqui agora e pegar tudo isso e colocar aqui e também pega tudo isso aqui incluindo o sinal e colocar que assim a gente tem que a energia total de celetro vai ser igual o total desses elétrons vai ser igual a 1 sobre dois meses cá vezes é o quadrado sobre r isso aqui mais a energia potencial mas como tem um sinal de menos aqui a gente tem que manter sinal aqui negativo - cá vezes e ao quadrado sobre r só que nesse caso como a gente já tem aqui um sobre 2 vezes essa parte menos um que está implícito aqui vezes tudo isso basta a gente subtrair esses dois números aqui com o meio menos um e um meio menos um é igual a menos o meio então essa energia total do elétron vai ser igual a menos 11 sobre 2 vezes ficar vezes é o quadrado sobre r então aqui a gente já conseguiu determinar toda essa energia do elétron então essa energia total vai ser igual a menos 1 sobre 2 vezes cac a constante eletrostática vezes é o quadrado / r e agora que a gente já tem essa expressão a gente consegue determinar essa energia total para um determinado raio permitido por exemplo vamos supor que esse raio seja igual ao raio 1 a gente já viu nos últimos vídeos ea gente já sabe quanto vale esse raio 1 ou seja com valor igual a 5,3 vezes 10 elevado a menos 11 metros a gente também fez uma generalização para esse raio nos últimos vídeos dizendo que r para 1 n qualquer ser igual a eni ao quadrado vezes r 1 então por exemplo podemos determinar essa energia total para o n igual a 1 e é nesse caso a gente já viu também no último vídeo que a gente pode substituir aqui por um ao quadrado e esse r 1 seria o próprio r 1 que a 5,33 estreia - 11 então a gente pode pegar isso aqui e substitui aqui no lugar de sr então a energia para o primeiro raio seja a primeira energia aqui seria igual a menos 1 sobre dois vezes a constante eletrostática no vácuo que é nove vezes 10 elevado a nove vezes a carga elétrica elementar do elétron que é 1,6 vezes 10 elevado a menos 19 colombini e os elevado ao quadrado isso aqui / sr que vai ser o r1 que é 5,3 vezes 10 elevado a menos 11 eu não vou parar para fazer toda essa conta que agora não mas se você fizer vai chegar a um valor igual a menos 2,17 vezes 10 elevado a -18 jales e já unidade de medida de energia então essa energia para o primeiro raio permitido do elétron para o modelo de átomo de bordo do átomo de hidrogênio vai ser igual a menos 2,17 vezes 10 elevado a -18 de aulas nós fizemos todas essas contas para determinar energia nesse primeiro nível a que permitido certo mas será que a gente conseguiria fazer uma generalização pra conseguir determinar energia para qualquer nível permitido para esses elétrons sim a gente poderia simplesmente linha que substituem e se te por n e esse r por rn então vamos fazer isso a energia para qualquer estado permitindo desse elétron vai ser igual a menos 1 sobre dois meses cá vezes é o quadrado sobre rn e como a gente sabe esse rn é igual a enel quadrado vezes a rio não é só a gente pode quem aqui substituir aqui então a gente teria algo dessa forma é n que a energia para qualquer nível permitido vai ser igual a menos 1 sobre 2 vezes cá vezes é o quadrado / rn e rn é igual a enel quadrado vezes o r 1 a gente pode ainda receber ver isso aqui pra ficar um pouco melhor da seguinte forma - um sobre 2 vezes k vezes é o quadrado sobre r 1 e assim a gente consegue determinar a energia para qualquer nível permitido agora porque eu reescrevi isso aqui dessa forma se você observar bem isso aqui lembra alguma coisa não lembra vamos voltar aqui em cima a gente não determinou essa energia para o r1 aqui ea gente calculando para r onde chegou a esse valor aqui - 2,17 vezes 10 ou menos 18 isso para um elmo não foi então tudo isso daqui para esse r 1 e a gente já calculou chegou a esse valor aqui então a gente poderia substituir tudo isso por esse número então a gente teria isso aqui a energia para qualquer nível vai ser igual a menos 2,18 sete vezes 10 elevado a menos 18 / m ao quadrado e eu ainda posso reescrever isso aqui porque simplesmente substituindo esse número é 1 assim a gente teria que a energia para qualquer nível é igual a é 1 sobre el quadrado e claro você pode utilizar qualquer uma dessas duas formas aqui ou essa em que a gente já tenha que o valor de é um cálculo lado para o r1 e aqui sem deixar explícito esse valor e no próximo vídeo nós vamos utilizar essas equações para determinar diferentes energias em diferentes níveis de energia ou seja vamos mudar esse n aqui para achar diferentes energias aqui para cada um dos raios permitidos para esse seleto com esse vídeo aqui chegamos à conclusão também que a energia é coach zada e também é muito importante pensar na energia dessa forma por isso o modelo de bóia agradava os nossos olhos porque nos dá essa energia quantização ainda e isso explica os diversos fenômenos que veremos nos próximos vídeos e no próximo vídeo vamos voltar a falar sobre a energia e um pouco mais sobre o modelo de bordo o átomo de hidrogênio