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Modelo de raios de Bohr (derivação usando física)

Transcrição de vídeo

no modelo de porta do átomo de hidrogênio temos um próton aqui no núcleo e esse próton tem carga elétrica positiva e um elétron orbitando ao redor desse núcleo assim como os planetas orbitam ao redor do sol claro mesmo que o modelo de porta não seja realidade e nem o modelo mais atual ele é útil para entender o conceito de ato e também é útil para determinar esse raio com o qual elétron está orbitando ao redor desse núcleo atômico e é isso que a gente vai ver esse vídeo a gente vai determinar esse raio aqui mas para determinar esse raio gente precisa ver alguns detalhes mas vamos lá voltando aqui o elétron vamos dizer que esse elétron esteja se movimentando aqui no sentido anti-horário ok então se esses elétrons está se movimentando no sentido anti-horário ele tem uma velocidade tangencial em uma velocidade tangente essa circunferência a gente pode representar isso aqui com o vetor que a velocidade desse eletro e esse eletro também possui uma certa massa mt a gente pode botar aqui que se elétron possui uma massa em e ele está sendo atraído pelo núcleo desse ato porque como a gente sabe cargas elétricas de sinais opostos se atraem então essa força que seria uma força centrípeta que é a força elétrica a força centrípeta uma força que mantém e seleto hall av quando esse movimento circular caso não existisse essa força elétron e fugir aqui pela tangente ok e essa força centrípeta ocorre devido à interação entre essas duas cargas aqui positiva e negativa se atrair essa força elétrica é descrita aqui pela lei de coulomb em que a gente tem aqui uma constante ea gente chama de constante eletrostática multiplicada pela primeira carga que a gente pode até dizer que é o próton pela segunda carga também a gente pode dizer que é o eletro tudo isso dividido pela distância entre os dois aqui elevada ao quadrado então a gente pode reescrever essa força elétrica aqui da seguinte forma então a gente tem aqui a constante eletrostática vezes a primeira carga que nesse caso que é a carga do próton ea carga do próprio gente pode dizer que é a carga leve é elementar que a mesma carga do elétron ea segunda carga é a própria carga do elétron a única diferença é que a carga do elétron é negativa enquanto que a carga do próton é positiva tudo isso dividido pela distância entre os dois e levado ao quadrado gente representa essa distância com o sr aqui é que eu coloquei desse jeito aqui mas é a mesma coisa e essa força elétrica que é essa força centrípeta está mantendo esses elétrons nessa órbita e de acordo com a segunda lei de newton isso aki vai ser igual à massa a massa do elétron vezes a aceleração centrípeta nesse caso já que se trata da força centrípeta essa força centrípeta gera uma aceleração centrípeta que também apontada que para o centro dessa circunferência agora como a gente já conhece o sentido da força elétrica ea gente sabe que essa força que vai ser igual à força sem trip está apontada para o centro a gente pode simplesmente trabalhar com esses valores aqui em termos positivos então a gente pode simplesmente trabalhar com o módulo dessas cargas aqui então a gente pode até escrever isso aqui da seguinte forma cá vezes é como as duas cargas aqui possuem os mesmos valores ea gente está trabalhando com o módulo que vai ser positivo nesse caso a gente pode simplesmente botar é um quadrado que a carga elétrica elementar e isso dividido pelo raio ao quadrado pela distância entre a carga positiva e negativa elevada ao quadrado só que vai ser igual à massa vezes a aceleração centrípeta a gente coloque a massa do elétron vezes a aceleração centrípeta porém essa aceleração centrípeta que é igual é ver ao quadrado seja velocidade do elétron dividido pelo raio então a gente pode pegar essa informação me colocar aqui é o quadrado dividido pelo rádio como você pode observar que a gente tem esse raio quadrado e esse raio é que a gente pode simplesmente anular esse quadrado que com esse raio é que eu tenho um raio fez raio e aqui apenas um raio então a gente pode reescrever isso aqui colocando cá vezes a carga elétrica elementar ao quadrado dividido pelo raio e isso aqui vai ser igual à massa vezes a velocidade ao quadrado ok então vamos deixar isso que guardado por enquanto e vamos trabalhar com outro conceito da física clássica e agora que a idéia do momento angular o momento angular e existe sempre que o corpo está realizando um movimento circular aqui nesse caso eo momento angular a gente consegue determinar calculando o produto vetorial entre o raio esse movimento aqui no caso essa distância produto vetorial gente coloca desse jeito com o momento linear para a gente terminar o momento linear basta simplesmente multiplicá a massa do elétron com a velocidade que ele está se movimentando que ao longo dessa órbita o r1 vetor e que nesse caso aqui ele tem um sentido apontado do centro para fora apontada que para o eletro e sempre vai estar apontada para o elétron enquanto ele está se movimentando ao longo dessa órbita então pra gente de terminar esse l abrindo esse produto vetorial basta simplesmente multiplicar o r nesse caso a gente vai pegar o valor escalar dele que nesse caso com o momento linear tac nesse caso é a massa vezes a velocidade do elétron vezes o selo detenta em que esse teto é o ângulo entre os dois vetores que nesse caso seria o rq é um vetor e o vetor momento linear como o momento linear e determinado pela massa ea velocidade do elétron ea massa é um escalar enquanto que a velocidade é o victor a gente precisa saber aqui qual é a direção e o sentido dessa velocidade como eu já mostrei pra vocês é que a velocidade tem uma direção tangencial aqui é assim conferência e um sentido de ele vai estar aqui desse lado aqui já que o elétron está se movimentando no sentido anti-horário se esse ângulo aqui é o ângulo entre esse vetor r o vetor ver dá para a gente perceber claramente aqui que é um ângulo de 90 graus certo e oceano de um ângulo de 90 graus é igual a 1 pode simplesmente substituir esse sendo aqui por um l então vai ser igual a r vezes e me exige ver vezes os e no teta que é igual a gente pode deixar isso aqui desse jeito então esse seria o momento angular do eletro o que borja fez um interessante é que foi afirmar que o momento angular do elétron tem que ser quantização ou seja que assume apenas números inteiros então você poderia colocar aqui 1234 não importa mas vamos assumir aqui que esse momento angular seria igual ao número inteiro ea gente vai representar com n vezes hq a constante de planck / 2pi bota fez isso para resolver essa equação aqui para a velocidade é isso que a gente vai fazer então o que a gente vai fazer é resolver essa equação para essa velocidade a gente pode fazer isso aqui a velocidade desse elétron vai ser igual a eni que é o número inteiro qualquer vezes a constante de planck / r vezes e me vezes 2 p ok agora que a gente já conseguiu determinar se a velocidade a gente pode pegar tudo isso aqui e substituirá quinaz a outra equação então vamos fazer isso a gente tem aqui cá vezes é ao quadrado / r isso aqui vai ser igual à massa vezes a velocidade ea velocidade vai ser tudo isso aqui então a gente pode colocar aqui é n vezes h sobre r vezes em me vezes do isp tudo isso aqui é levado ao quadrado a gente pode ainda abrir esse quadrado aqui e ter algo desse jeito cá vezes é o quadrado sobre r isso aqui é igual à massa vezes n ao quadrado vezes h ao quadrado tudo isso aqui / r é o quadrado vezes é meu quadrado vezes 4 e ao quadrado e aqui se você reparar a gente consegue simplificar um pouco mais isso aqui também anulando esse m com esse outro e me aqui do quadrado e esse r aqui com esse ao quadrado que também então a gente teria algo da seguinte forma cá vezes é ao quadrado isso aqui é igual a um quadrado vezes h ao quadrado / r vezes e me vezes 4p ao quadrado agora como objetivo desse problema encontrar esse raio aqui do elétron a gente vai resolver essa equação para sr e pra fazer isso a gente pode simplesmente multiplicar ambos os lados aqui da equação por r sobre kaká vezes é ao quadrado então aqui deste lado também a gente vai multiplicar r sobre o ca vezes é o quadrado isso porque a gente consegue anular esses dois aqui e também anular sr é que com esse é rick desse lado ok então reescrevendo isso aqui a gente teria algo desse tipo aqui r é igual à m ao quadrado vezes h ao quadrado tudo isso dividido por cá vezes é o quadrado vezes e me vezes quatro pi ao quadrado então aqui a gente já consegue determinar agora esse raio da órbita do eletro e se a gente pegar tudo isso aqui - o iene que seriam vários números inteiros toda essa parte aqui e trabalhar com eles ea gente teria isso aqui resolvendo apenas essa parte hq é a constante de planck é 6,626 vezes 10 elevado a menos 34 isso claro elevada ao quadrado que já está aqui tudo isso aqui / cá constante eletrostática que no wako tem o valor igual a nove vezes 10 elevado a nove vezes a carga elétrica elementar que é igual a 1,6 vezes 10 elevado a menos 19 isso aqui também elevada ao quadrado vezes a massa do elétron que é igual a 1,11 vezes 10 elevado a menos 31 vezes quatro pelo quadrado a gente coloca que vezes 4 e ao quadrado eu não vou fazer toda essa conta que agora porque é muita matemática que pra fazer nesse vídeo mas você pode pegar a calculadora e em tentar resolver isso aqui e você vai chegar a um valor igual a 5,3 vezes 10 elevado a menos 11 e isso claro se você também trabalhar com as unidades vai perceber que vai sobrar apenas um metro aqui então você teria 5,3 vezes 10 elevado a menos 11 metros então esse raio aqui da órbita desse elétron ser igual a eni elevada ao quadrado vezes 5,3 vezes 10 elevado a menos 11 metros nesse caso você vai ver mais adiante que a gente poderia substituir esse eniac por um e isso aqui representaria o estado fundamental de um elétron de átomo de hidrogênio então por exemplo siena é igual a um agente teria r vou botar que o índice 11 seria igual a um quadrado vezes 5,3 vezes 10 elevado a menos 11 metros então esse seria que o raio da órbita do elétron dirceu estado fundamental mas vamos voltar aqui em cima do desenho para te mostrar isso aqui um pouco melhor esse valor é muito importante porque a gente conseguiu determinar o raio do elétron de um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental e agente chamou nesse caso o sr de r 1 eo mais legal disso tudo é que quando porca usou o momento angular ele conseguiu limitar esse raio aqui desse hidrogênio ou seja só poderia assumir certos valores específicos que seria determinado aqui através dessa expressão aqui então se a gente generalizar essa equação aqui a partir dessa idéia da quantidade ação a gente tem algo dessa forma que o rn ser igual à que nesse caso o iene elevada ao quadrado vezes o r1 e esse r 1 seria esse valor é aqui que a gente calculou e essa expressão aqui seria uma generalização para qualquer estado quântico do elétron e e se ele seria um número inteiro que representaria esse estado quântico assim a gente consegue determinar esse raio chegando e se falou aqui de r 1 que é 5,3 vezes 10 a menos 11 metros e multiplicando por um inteiro elevada ao quadrado assim se eleva estivesse ser o segundo estado fundamental bastaria colocar os dois elevada ao quadrado e daria quatro vezes esse r 1 aqui e isso é muito importante porque significa apenas certos raios são permitidos já que com a quantidade ação do momento angular você tem um raio muito específico ea gente vai falar sobre isso no próximo vídeo