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Decaimento exponencial e gráficos semi-log

Transcrição de vídeo

aqui nós temos um gráfico de decaimento radioativo em que ele representa o núcleo de elementos radioativos que ainda temos em um determinado tempo te e aqui nós temos a equação que representa curva desse gráfico do decaimento radioativo em que n é o número de núcleos radioativos que temos em o tempo qualquer n0 é o número inicial aqui de núcleos radioativos lambida nesse caso aqui é uma constante de decaimento e t é um tempo qualquer só comentando aqui rapidinho esse lambida como eu falei ele é chamado de constante de decaimento e obviamente é um valor constante que vai travar e anos em diferentes tipos de duplo para outros núcleos ok a gente pode até representar esse valor também por um caso já que se trata de uma constante então pra gente começar a analisar esse gráfico do decaimento radioativo a primeira coisa que a gente vai fazer aqui é determinar o que significa esse ponto aqui certo e esse ponto aqui é o número de núcleos radioativos para um tempo igual a zero para o tempo igual a zero qual vai ser o número de núcleos radioativos aqui nesse caso então vamos pegar esse tempo aqui substituir nessa equação certo e então resolver essa equação para esse valor então o número de núcleos radioativos para um tempo igual a zero vai ser igual a zero que é o número de núcleos radioativos iniciais vezes é já que se trata de uma equação exponencial - lambda que a nossa constante de decaimento vezes 0 isso aqui vai ser igual então a eni para um tempo igual a zero igual a n0 vezes é levado a 0 e como a gente sabe todo o número elevado a 0 é igual a um então número de núcleos radioativos em um tempo igual a zero vai ser igual a n0 vezes um que é o próprio ele zero ou seja o número de núcleos radioativos do tempo inicial vai ser igual ao número inicial de núcleos radioativos e o legal é que com esse gráfico a gente consegue determinar o número de os radioativos em um tempo qualquer então vamos imaginar que a gente queira o número de núcleos radioativos zeni e um tempo ter qualquer não bastaria simplesmente vim aqui e substitui essa informação do tempo aqui nessa equação que a gente já conseguiu obter esse número de núcleos radioativos e é claro que a gente também tivesse esse número de núcleos radioativos a gente ia conseguir determinar o tempo desde o momento inicial então vamos aproveitar essa idéia é fazer isso para o tempo de meia vida como a gente sabe o tempo de meia vida é o tempo que leva para o número de núcleos iniciais é que chega à metade ou seja quando o enem foi igual a n 0 sobre dois certo e como falei o tempo que leva para isso que ocorreu o tempo de meia vida e um sobre dois é o tempo de meia vida então pegando essas duas informações aqui substituindo nessa equação a gente consegue determinar esse tempo de meia vida ou seja esse tempo vai ser igual ao tempo de meia vida e o número de núcleos radioativos nesse caso para esse tempo de meia vida vai ser igual a zero sobre dos então a gente vai pegar essas informações substituir aqui nessa equação tudo bem então deixou ganhar um pouquinho mais de espaço aqui pra gente fazer isso eu vou rescrever essa equação aqui ou seja rn dt é igual a n0 vezes é elevado a menos lambida vezes ter então pegando essas informações e substituindo nessa equação ntt que vai ser um número de núcleos radioativos para um tempo de meia vida vai ser igual a n 0 sobre do estudante coloca que n 0 sobre dois isso aqui vai ser igual a n0 vezes é elevado a menos lambda vezes o tempo de meia vida esses 20 em ambos os lados dessa equação podem ser anulados certo e aí a gente vai ter apenas um sobre dois que é igual a é elevado a menos lambida vezes o tempo de meia vida e claro que a gente tem que fazer é eliminar esse exponencial aqui dessa equação e pra fazer isso basta aplicar um logaritmo bpm ambos os lados dessa equação então vamos lá eliene de um sobre do eixo vai ser igual ao lnd é elevado a menos lambda vezes o tempo de meia vida se você pegar a calculadora e calcular sln de um sobre dois você vai chegar a um valor igual a menos 0,693 se coloca aqui - 0,693 isso aqui sendo igual há como a gente sabe o logaritmo natural de é elevado a um expoente qualquer é igual ao próprio expoente então a gente pode simplesmente colocar esse expoente aqui certo então teremos menos lambda vezes o tempo de meia vida como o nosso objetivo é determinar esse tempo de minha vida basta simplesmente zola e se falou aqui nessa equação e claro sinal negativo que não vai importar já quitamos esse negativo em ambos os lados da equação então o tempo de meia vida vai ser igual a 0,6 em 193 / essa constante de decaimento então chegamos a uma forma de determinar o tempo de meia-vida bastando apenas dividir esse número aqui pela constante de decaimento para o núcleo radioativo qualquer acerto e claro que a gente também conhecer esse tempo de minha vida a gente já consegue determinar essa constante de decaimento então essa constante de decaimento aki vai ser igual a 0,6 em 193 dividido pelo tempo de meia vida então a gente conhece a constante de decaimento a gente consegue determinar o tempo de meia vida e se a gente conhece o tempo de meia vida a gente consegue determinar constante de decaimento então a gente vai ver agora uma outra forma de trabalhar com esses dados e que de certa forma vai ajudar você a determinar esse tempo de meia vida e claro e depois você consegue determinar essa constante de decaimento então vamos fazer isso aqui agora então reescrevendo a nossa equação para o decaimento radioativo a gente tem isso aqui artur e como a gente viu essa equação descreve o comportamento exponencial que no caso é aquele gráfico do decaimento radioativo por aí a gente pode trabalhar um pouco nessa equação e obter um gráfico linear e para fazer isso a gente pega nessa equação de vídeo por m0 em ambos os lados da equação ok a gente vai ter e eni sobre n0 isso aki vai ser igual a é elevado a menos lambida vezes te e pra gente eliminar esse é aqui novamente a gente vai aplicar o ln em ambos os lados da equação então vamos tln dn sobre ele é zero isso aqui vai ser igual a lnd é elevado a menos lambida vezes ter ea gente sabe das propriedades do logaritmo quando a gente tem um logaritmo dia o número sobre o outro número isso vai ser igual à diferença do logaritmo de ambos os números certo então teremos aqui lnd n - lnd n0 certo isso aqui do lado esquerdo e do lado direito novamente a gente já sabe que o lnd é elevada ao expoente é o próprio expoente então isso aki vai ser igual a menos lambda vezes te e aí a gente pode reafirmar essa equação aqui a gente vai ter ele n dn igual a menos lambida vezes te mas lnd é zero o legal é que aqui a coisa fica interessante não fica se você observar muito bem essa equação aqui ela tem uma cara muito semelhante com algo que você provavelmente já viu isso aqui a equação da reta você lembra da equação da reta a equação da reta diz que y é igual à x mas b certo em que x nesse caso é a nossa variável independente a é o coeficiente angular que nesse caso da inclinação da reta e b o coeficiente linear ou seja aquele ponto que faz a interseção com o eixo y é óbvio que sou a nossa variável dependente aquela que depende dos valores atribuídos ao x ac e se a gente for comparar essas duas equações a gente tem que ir psi long é o lnd nx é o tempo nessa equação b é o lnd n0 ea nesse caso é esse - lamb daqui que da inclinação da reta então a gente pode pegar essas informações e colocaram gráficos e me love já que os dados apresentados neste gráfico não são necessariamente os números aqui que a gente tem mas sim celi ienes desses valores ok vou pilotar rapidinho aqui pra você a gente vai ter esse gráfico aqui e certo em que aqui nesse eixo y a gente vai ter na verdade esse lnd l certo e aqui no eixo x a gente tem nesse caso o nosso tempo te e como nosso lnd n0 que o nosso coeficiente linear a gente vai ter esse ponto aqui que é o lnd e zero ea gente consegue inclusive demonstrar isso aqui rapidinho ou seja atribuir um valor de tempo igual a zero a gente tem que o ln dn é igual a menos lambida vez 0 + lnd n0 - lambda vez 0 aqui é igual a zero certo a gente pode até anular essa parte aqui e então a gente vai ter que o ln dn é simplesmente igual ao ln dn josé não está demonstrado que esse ponto aqui de fato é o eliene dizendo e como isso aqui é uma equação da reta a gente vai ter uma reta aqui neste gráfico e como o nosso coeficiente angular aqui é negativo inclinação da reta é para baixo então a gente tem essa reta dessa forma que claro que não é necessariamente uma reta mas está muito próximo disso aqui e aí que tal nosso objetivo aqui encontrar o tempo de meia-vida certo e para encontrar esse tempo de meia vida a gente consegue determinar esse lambido aqui apenas observando a inclinação dessa reta ea inclinação dessa reta como a gente já sabe lá da geometria analítica vai ser igual a delta e y sobre delta x a gente consegue obter se delta y aqui nesse chu vertical e o nosso delta xis aqui nesse eixo horizontal e isso aqui nesse caso como é inclinação a inclinação é igual a menos lambidas e conhecendo a inclinação dessa reta ou seja esse - lambda gente consegue voltar aqui atrás e substitui essa informação aqui e determinar esse tempo de meia vida e é por isso que a gente fez esse gráfico seu blog já que facilita bastante observar essas informações dessa forma e isso claro vai te ajudar a determinar a inclinação dessa reta que por sua vez é a constante de decaimento aqui e determinando essa constante de decaimento você consegue determinar o tempo de minha vida e esse foi o objetivo principal desse vídeo mostrar que existem outras maneiras de olhar para esses dados