Decaimento exponencial e gráficos semi-log

RKA2G Aqui nós temos um gráfico de decaimento radioativo em que "N" representa o núcleo de elementos radioativos que ainda temos em um determinado tempo "t". E aqui nós temos a equação que representa a curva desse gráfico do decaimento radioativo, em que "N" é o número de núcleos radioativos que temos em um tempo qualquer, "N₀" é o número inicial de núcleos radioativos, lambda (λ), nesse caso aqui, é uma constante de decaimento e "t" é um tempo qualquer. Só comentando aqui, rapidinho: esse λ, como eu falei, é chamado de constante de decaimento e, obviamente, é um valor constante que vai estar variando de diferentes tipos de núcleo para outros núcleos, ok? A gente pode até representar esse valor também por um "k", já que se trata de uma constante. Então, para começar a analisar esse gráfico do decaimento radioativo, a primeira coisa que a gente vai fazer aqui é determinar o que significa esse ponto, certo? E esse ponto é o número de núcleos radioativos para um tempo igual a zero. Para um tempo igual a zero, qual vai ser o número de núcleos radioativos nesse caso? Então, vamos pegar esse tempo aqui, substituir nessa equação, certo? E então, resolver essa equação para esse valor. Então, o número de núcleos radioativos para um tempo igual a zero vai ser igual a N₀, que é o número de núcleos radioativos iniciais, vezes "e", já que se trata de uma equação exponencial, menos λ, que é a nossa constante de decaimento, vezes zero. Isso aqui vai ser igual, então, a "N", para um tempo igual a zero, igual a N₀ vezes "e" elevado a zero. E, como a gente sabe, todo número elevado a zero é igual a 1. Então, o número de núcleos radioativos em um tempo igual a zero vai ser igual a N₀ vezes 1, que é o próprio N₀, ou seja, o número de núcleos radioativos no tempo inicial vai ser igual ao número inicial de núcleos radioativos. E o legal é que, com esse gráfico, a gente consegue determinar o número de núcleos radioativos em um tempo qualquer. Então, vamos imaginar que a gente queira o número de núcleos radioativos "N" em um tempo "t" qualquer. Bastaria simplesmente vir aqui e substituir essa informação do tempo aqui, nessa equação, que a gente ia conseguir obter esse número de núcleos radioativos. E é claro que, se a gente também tivesse esse número de núcleos radioativos, a gente ia conseguir determinar o tempo desde o momento inicial. Então, vamos aproveitar essa ideia e fazer isso para o tempo de meia-vida? Como a gente sabe, o tempo de meia-vida é o tempo que leva para o número de núcleos iniciais chegar à metade. Ou seja, quando "N" for igual a "N₀" sobre 2, certo? E, como eu falei, o tempo que leva para isso ocorrer é o tempo de meia-vida. A gente tem aqui: t1/2, que é o tempo de meia-vida. Então, pegando essas duas informações e substituindo nessa equação, a gente consegue determinar esse tempo de meia-vida. Ou seja, esse tempo vai ser igual ao tempo de meia-vida e o número de núcleos radioativos nesse caso, para esse tempo de meia-vida, vai ser igual a N₀ sobre 2. Então, a gente vai pegar essas informações e substituir nessa equação, tudo bem? Deixe-me ganhar um pouquinho mais de espaço para a gente fazer isso. E eu vou rescrever essa equação aqui, ou seja, N(t) é igual a N₀ vezes "e" elevado a -λ vezes "t". Então, pegando essas informações e substituindo nessa equação, N(t), que vai ser o número de núcleos radioativos para um tempo de meia-vida, vai ser igual a N₀ sobre 2, a gente coloca aqui: N₀/2. Isso aqui vai ser igual a N₀ vezes "e", elevado a -λ vezes o tempo de meia-vida. Esses dois N₀ em ambos os lados dessa equação podem ser anulados, certo? E aí a gente vai ter apenas 1/2, que é igual a "e" elevado a -λ vezes o tempo de meia-vida. E agora, o que a gente tem que fazer é eliminar esse exponencial da equação. E para fazer isso, basta aplicar o logaritmo neperiano em ambos os lados dessa equação, então vamos lá. ln(1/2) vai ser igual ao ln("e" elevado a -λ vezes o tempo de meia-vida). Se você pegar a calculadora e calcular esse ln(1/2), você vai chegar a um valor igual a -0,693. A gente coloca aqui: -0,693. Isso aqui sendo igual a... Como a gente sabe, o logaritmo natural de "e" elevado a um expoente qualquer é igual ao próprio expoente, então a gente pode simplesmente colocar esse expoente aqui. Então, teremos -λ vezes o tempo de meia-vida. Como o nosso objetivo é determinar esse tempo de meia-vida, basta simplesmente isolar esse valor nessa equação. E claro, esse sinal negativo aqui não vai importar, já que temos esse negativo em ambos os lados da equação. Então, o tempo de meia-vida vai ser igual a 0,693 divido por essa constante de decaimento. Então, chegamos a uma forma de determinar o tempo de meia-vida, bastando apenas dividir esse número aqui pela constante de decaimento para um núcleo radioativo qualquer, certo? E claro, se a gente também conhecesse esse tempo de meia-vida, a gente ia conseguir determinar essa constante de decaimento. Então, essa constante de decaimento vai ser igual a 0,693, dividido pelo tempo de meia-vida. Então, se a gente conhece a constante de decaimento, a gente consegue determinar o tempo de meia-vida e, se a gente conhece o tempo de meia-vida, a gente consegue determinar a constante de decaimento. Então, a gente vai ver agora uma outra forma de trabalhar com esses dados e que, de certa forma, vai ajudar você a determinar o tempo de meia-vida. E, claro, depois você consegue determinar essa constante de decaimento. Vamos fazer isso. Reescrevendo a nossa equação para o decaimento radioativo, a gente tem isso aqui. E, como a gente viu, essa equação descreve o comportamento exponencial, que, no caso, é aquele gráfico do decaimento radioativo. Porém, a gente pode trabalhar um pouco nessa equação e obter um gráfico linear. E para fazer isso, a gente pega nessa equação e divide por N₀ em ambos os lados da equação. Então, vamos ter: "N" sobre N₀, isso vai ser igual a "e" elevado a -λ vezes "t". E para eliminar esse "e" aqui, novamente a gente vai aplicar o ln em ambos os lados da equação. Então, vamos ter: ln(N/N₀), isso aqui vai ser igual a ln("e" elevado a -λ vezes "t".) E a gente sabe, das propriedades do logaritmo, quando a gente tem um logaritmo de um número sobre o outro número, isso vai ser igual à diferença do logaritmo de ambos os números, certo? Então, teremos aqui: ln(N) - ln(N₀), certo? Isso aqui do lado esquerdo. E, do lado direito, novamente a gente já sabe que o ln de "e" elevado a um expoente é o próprio expoente. Então, isso aqui vai ser igual a -λ vezes "t". E aí, a gente pode rearrumar essa equação e a gente vai ter: ln(N) igual a -λ vezes "t", mais ln(N₀). E o legal é que aqui a coisa fica interessante, não é? Se você observar muito bem essa equação, ela tem uma cara muito semelhante com algo que você provavelmente já viu. Isso aqui é a equação da reta. Você lembra da equação da reta? A equação da reta diz que "y = ax + b", certo? Em que "x", nesse caso, é a nossa variável independente, "a" é o coeficiente angular, nesse caso da inclinação da reta, e "b" é o coeficiente linear, ou seja, aquele ponto que faz a interseção com o eixo "y". E óbvio que "y" é a nossa variável dependente, aquela que depende dos valores atribuídos ao "x" aqui. E, se a gente for comparar essas duas equações, a gente tem que "y" é o ln(N), "x" é o tempo nessa equação, "b" é o ln(N₀) e "a", nesse caso, é esse -λ aqui, que dá a inclinação da reta. Então, a gente pode pegar essas informações e colocar em um gráfico semi-log, já que os dados apresentados nesse gráfico não são necessariamente os números que a gente tem, mas sim os "ln" desses valores, ok? Vou plotar rapidinho aqui para você... A gente vai ter esse gráfico aqui, certo? Em que aqui, nesse eixo "y", a gente vai ter, na verdade, esse ln(N), certo? E aqui, no eixo "x", a gente tem o tempo "t". E como ln(N₀), que é o coeficiente linear, a gente vai ter esse ponto aqui, que é o ln(N₀). E a gente consegue, inclusive, demonstrar isso rapidinho. Ou seja, atribuindo um valor de tempo igual a zero, a gente tem que ln(N) é igual a -λ vezes 0 + ln(N₀). -λ vezes 0 é igual a 0, certo? A gente pode até anular essa parte aqui. Então, a gente vai ter que o ln(N) é simplesmente igual ao ln(N₀). Está demonstrado que esse ponto aqui, de fato, é o ln(0). E, como isso é uma equação da reta, a gente vai ter uma reta aqui neste gráfico. E, como o coeficiente angular é negativo, a inclinação da reta é para baixo. Então, a gente tem essa reta dessa forma. Claro, isso não é necessariamente uma reta, mas está muito próximo disso. E aí é que está. O nosso objetivo é encontrar o tempo de meia-vida, certo? E, para encontrar esse tempo de meia-vida, a gente consegue determinar esse λ apenas observando a inclinação dessa reta. E a inclinação dessa reta, como a gente já sabe lá da geometria analítica, vai ser igual a Δy sobre Δx. A gente consegue obter esse Δy aqui, nesse eixo vertical, e o nosso Δx aqui, nesse eixo horizontal. Isso aqui, nesse caso, como é a inclinação, a inclinação é igual a -λ. E, conhecendo a inclinação dessa reta, ou seja, esse -λ, a gente consegue voltar aqui atrás, substituir essa informação e determinar esse tempo de meia-vida. E é por isso que a gente fez esse gráfico semi-log, já que facilita bastante observar as informações dessa forma. E isso, claro, vai te ajudar a determinar a inclinação dessa reta, que, por sua vez, é a constante de decaimento aqui. E, determinando essa constante de decaimento, você consegue determinar o tempo de meia-vida. E esse foi o objetivo principal deste vídeo. Mostrar que existem outras maneiras de olhar para esses dados.